7. Cấu trúc luận văn
2.2.2. Vận dụng vào chủ đề Hàm số
Hàm số là một vấn đề quan trọng ở bậc học phổ thông. HS được bắt đầu làm quen với khái niệm này từ quan hệ tỉ lệ ở lớp 7, hàm số bậc nhất và hàm số y = ax2 ở lớp 9, và còn được học tiếp tục ở trường PTTH.
Theo mục tiêu của chương trình toán THCS thì việc dạy học khái niệm hàm số chỉ yêu cầu hình thành khái niệm tương quan hàm số thông qua quan hệ tỉ lệ thuận, quan hệ bậc nhất. Nội dung của tương quan hàm số ở trường THCS được trình bày ở Chương II, SGK Toán 7 (tập một); Chương II, SGK
Toán 9 (tập một) và Chương IV, SGK Toán 9 (tập hai).
Mục này nói lên cách vận dụng những thành tố cơ sở của PPDH để thực hiện dạy học vấn đề tương quan hàm số trong chương trình toán ở trường THCS theo quan điểm hoạt động, phát huy tính tích cực độc lập của HS. Trong toàn bộ chương trình chúng tôi chọn một bài thuộc Chương II, SGK
Toán 7 (tập một) - Hàm số và đồ thị để làm ví dụ. Mục tiêu của chương là:
Học xong chương này HS cần phải:
- Hiểu được công thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Biết vận dụng các công thức và tính chất để giải được các bài toán cơ bản về hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Có hiểu biết ban đầu về khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số.
- Biết vẽ hệ trục toạ độ, xác định toạ độ của một điểm cho trước và xác định một điểm theo toạ độ của nó.
- Biết vẽ đồ thị hàm số y = ax.
- Biết tìm trên đồ thị giá trị của biến số và hàm số.
Nội dung của chương được trình bày trong 7 bài và dạy trong 17 tiết, bao gồm 7 tiết lý thuyết + 7 tiết luyện tập + 2 tiết ôn tập + 1 tiết kiểm tra.
Tiết thứ 8 của chương (tiết 29 của phân phối chương trình), bài “Hàm số” là một ví dụ.
Ví dụ 2: Vận dụng các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học vào dạy học bài “Hàm số” (Tiết 29, Đại số 7).
Mục tiêu:
Học xong bài này HS cần phải: - Biết được khái niệm hàm số.
- Nhận biết được đại lượng này có phải là hàm số của đại lượng kia hay không trong những cách cho (bằng bảng, bằng công thức) cụ thể và đơn giản.
- Tìm được giá trị tương ứng của hàm khi biết giá trị của biến số.
Hoạt động dạy học Đặt vấn đề
Trong thực tiễn và trong toán học ta thường gặp những đại lượng thay đổi phụ thuộc vào sự thay đổi của các đại lượng khác. Em thử lấy vài ví dụ về điều đó ?
Sau khi đã học về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch HS có thể lấy ngay được ví dụ hoặc có thể nhờ gợi ý của GV.
Ví dụ: Chu vi và cạnh của hình vuông; quãng đường đi được và thời gian một vật chuyển động đều; nhiệt độ T(0C) và thời gian trong ngày hoặc là mối quan hệ giữa các số tự nhiên và dư của phép chia chúng cho một số tự nhiên nhất định, vv...
Các ví dụ như trên đây đều nhằm minh hoạ cho một khái niệm toán học mà các em chưa biết, đó là khái niệm hàm số. Vậy hàm số là gì? Nó được biểu diễn bằng những dạng nào? Bài học hôm nay sẽ làm sáng tỏ điều đó.
Các thành phần của thành tố cơ sở được vận dụng là:
• Gợi động cơ mở đầu
- Xuất phát từ nội bộ toán học.
Dạy học bài mới
Hoạt động 1: Tạo tiền đề xuất phát (một số ví dụ về hàm số)
HĐTP 1.1: Ví dụ 1
- HS nghiên cứu ví dụ 1 (SGK toán 7, tập 1, tr 62).
Em hiểu thế nào về bảng giá trị biểu thị nhiệt độ T(0C) tại các thời điểm t (giờ) trong cùng một ngày ở ví dụ 1? (tại mỗi thời điểm trong ngày thì ứng với một nhiệt độ xác định, sự thay đổi nhiệt độ T(0C) phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ)).
Nếu HS gặp khó khăn thì GV có thể hỏi bằng câu hỏi khác:
Trong bảng các giá trị ở ví dụ 1 người ta khảo sát mấy thời điểm trong ngày? Đó là thời điểm lúc mấy giờ? (0 giờ, 4 giờ, 8 giờ, 12 giờ, 16 giờ, 20 giờ).
Tại mỗi thời điểm người ta xác định được mấy nhiệt độ tương ứng? Em hãy đọc các giá trị tương ứng đó?
Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Hoạt động và hoạt động thành phần
- Phân tách hoạt động thành những hoạt động thành phần - Lựa chọn những hoạt động dựa vào mục tiêu
• Gợi động cơ trung gian
- Hướng đích: tiến tới hình thành khái niệm hàm số.
- Xét sự biến thiên và phụ thuộc: xem xét sự thay đổi của T phụ thuộc vào sự thay đổi của t như thế nào.
•Phân bậc hoạt động
- Sự trừu tượng, khái quát của đối tượng. - Tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết. - Dạy học phân hoá.
Từ công thức m = 7,8V. GV yêu cầu HS tính giá trị tương ứng của m khi V = 1; 2; 3; 4. Kết quả của phép tính này yêu cầu HS trình bày cụ thể như sau:
V = 1; m = 7,8. V = 2; m = 15,6. V = 3; m = 23,4. V = 4; m = 31,2.
Với việc tìm kết quả và trình bày như trên, HS dễ dàng trả lời các câu hỏi như sau:
Ta đã lần lượt thay đổi các giá trị của đại lượng nào? Các giá trị của đại lượng nào thay đổi theo?
Cứ mỗi giá trị của V ta xác định được mấy giá trị của m theo công thức trên?
Nếu ta lấy thêm 1 giá trị khác nữa của V, ta có thể tính được mấy giá trị của m?
Các thành phần của thành tố cơ sở được vận dụng là:
• Hoạt động và hoạt động thành phần
- Phân tách hoạt động thành những hoạt động thành phần - Lựa chọn những hoạt động dựa vào mục tiêu
• Gợi động cơ trung gian
- Hướng đích: tiến tới hình thành khái niệm hàm số.
- Xét sự biến thiên và phụ thuộc: xem xét sự thay đổi của m phụ thuộc vào sự thay đổi của của V như thế nào.
• Phân bậc hoạt động
Bậc thấp: HS biết tính giá trị của m khi biết các giá trị tương ứng của V. Bậc cao: HS tính được giá trị của m khi biết các giá trị tương ứng của V và nhận biết sự tương ứng của các đại lượng này.
Bậc cao hơn nữa: HS đạt được như bậc cao và tự mình lấy thêm các giá trị khác nữa của V để tính được các giá trị của m tương ứng, hiểu sâu về sự tương ứng giữa các đại lượng.
HĐTP 1.3: Ví dụ 3
(Hoạt động tương tự ví dụ 2)
HĐTP 1.4: Nhận xét
HĐTP 1.4.1: Khẳng định T là hàm số của t
Qua ví dụ 1 em có nhận xét gì về mối liên hệ giữa nhiệt độ T(0C) và thời gian t(giờ)?
- Nhiệt độ T(0C) phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ). (1)
- Với mỗi giá trị của t ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của T. (2)
Với nội dung này tuỳ thuộc vào đối tượng HS, nếu HS yếu hơn ta có thể đặt câu hỏi phù hợp hơn.
- Nhiệt độ T(0C) trong ngày phụ thuộc vào sự thay đổi của yếu tố nào? (HS trà lời (1)).
- Với mỗi giá trị của t ta luôn xác định được mấy giá trị tương ứng của T? (HS trả lời (2)).
Qua nhận xét (1) và (2), GV kết luận T là hàm số của t. (3)
Các thành phần của thành tố cơ sở được vận dụng vào HĐTP 1.4.1 là:
• Hoạt động và hoạt động thành phần
- Phân tách hoạt động thành những hoạt động thành phần. - Lựa chọn những hoạt động dựa vào mục tiêu
• Gợi động cơ trung gian
- Hướng đích: tiến tới hình thành khái niệm hàm số.
- Xét sự biến thiên và phụ thuộc: xem xét sự thay đổi của T phụ thuộc vào sự thay đổi của của t như thế nào.
• Phân bậc hoạt động
Bậc thấp: HS trả lời câu hỏi với nội dung cụ thể hơn. Bậc cao: HS trả lời câu hỏi với nội dung tổng quát hơn.
HĐTP 1.4.2: Khẳng định trong ví dụ 2 và 3, m là hàm số của V và t là hàm số của v.
Để kết luận trong ví dụ 2, m là hàm số của V và trong ví dụ 3, t là hàm số của v, GV không nên thông báo cho HS ngay mà dẫn dắt họ tiến hành hoạt động thông qua câu hỏi gợi mở như sau để họ tự mình đưa ra kết luận.
Các công thức ở ví dụ 2 (m = 7,8V) và ví dụ 3 (t = 50
v ) có phải là hàm số không? Vì sao?
HS suy nghĩ thảo luận và đưa ra kết luận: Các công thức trong ví dụ 2 và 3 là các hàm số, m là hàm số của V và t là hàm số của v. (nếu HS gặp khó khăn thì GV có thể đưa ra gợi ý để HS rút ra kết luận).
• Hoạt động và hoạt động thành phần
- Phân tách hoạt động thành những hoạt động thành phần: HĐTP 1.4 ta có thể phân tách thành hai hoạt động HĐTP 1.4.1 và HĐTP 1.4.2 như trên để HS nhận rõ là hàm số phải thoả mãn hai điều kiện.
- Lựa chọn những hoạt động dựa vào mục tiêu
• Gợi động cơ trung gian
- Hướng đích: tiến tới hình thành khái niệm hàm số.
- Xét sự biến thiên và phụ thuộc: xem xét sự thay đổi của m phụ thuộc vào sự thay đổi của của V, sự thay đổi của t phụ thuộc vào sự thay đổi của v như thế nào.
• Phân bậc hoạt động
Bậc thấp: HS kết luận các công thức ở ví dụ 2 và ví dụ 3 là hàm số dưới sự gợi ý của giáo viên.
Bậc cao: HS đưa ra kết luận dưới sự trao đổi với bạn. Bậc cao hơn nữa: HS độc lập đưa ra kết luận.
Hoạt động 2: Khái niệm hàm số
Khái niệm hàm số trong chương trình SGK Đại số 7 hiện hành được phát biểu như sau: “Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.”
Việc dạy học khái niệm này có thể được thực hiện bởi các hoạt động sau:
HĐTP 2.1: Tiếp cận khái niệm
Qua nhận xét trên đây, để khẳng định T là hàm số của t thì phải thoả mãn những điều kiện gì? (thoả mãn 2 điều kiện: T phụ thuộc vào sự thay đổi của t và ứng với mỗi t ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của T).
Tuy nhiên GV có thể dẫn dắt HS để HS ngầm hiểu thêm một điều kiện nữa của x và y đó là các đại lượng x và y đều nhận các giá trị số.
GV lặp đi lặp lại những câu hỏi tương tự như vậy để HS tự rút ra kết luận:
- Vì m phụ thuộc vào sự thay đổi của V và ứng với mỗi V ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của m nên m được gọi là hàm số của V.
- Vì t phụ thuộc vào sự thay đổi của v và ứng với mỗi v ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của t nên t được gọi là hàm số của v.
Những câu hỏi như trên nhằm làm cho HS hình thành trong HS một ấn tượng về sự tương quan giữa hai đại lượng. Nếu gọi một đại lượng là x và đại lượng kia là y thì dẫn tới HS định nghĩa được khái niệm hàm số. HS trình bày được theo cách hiểu của mình.
Sau khi nghe HS diễn đạt, GV diễn đạt lại chính xác khái niệm hàm số như SGK.
• Hoạt động và hoạt động thành phần
- Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung: phân tích so sánh những đối tượng riêng lẻ thích hợp, trừu tượng hoá tách ra các đặc điểm đặc trưng của một lớp đối tượng, chúng góp phần tác động để HS kiến tạo khái niệm hàm số.
- Phân tách hoạt động thành các hoạt động thành phần. - Lựa chọn những hoạt động dựa vào mục tiêu.
• Gợi động cơ trung gian
- Hướng đích.
- Xét sự tương tự: Từ việc khẳng định T là hàm số của t, bằng cách tương tự khẳng định được m là hàm số của V và t là hàm số của v.
- Khái quát hoá: Phát triển các ví dụ, đặt vấn đề phát biểu khái niệm hàm số một cách tổng quát.
- Xét sự biến thiên và phụ thuộc.
• Gợi động cơ kết thúc: Các hoạt động dạy học ở các ví dụ và nhận xét
trên nhằm hình thành khái niệm hàm số.
• Phân bậc hoạt động
- Căn cứ vào sự trừu tượng, khái quát của đối tượng
- Điều khiển quá trình học tập dựa vào phân bậc hoạt động bằng cách
chính xác hoá mục tiêu. HĐTP 2.2: Chú ý
Để dạy học nội dung này HS có thể được thực hiện các hoạt động như sau:
HĐTP 2.2.1: Hoạt động thể hiện khái niệm hàm số
HS nhắc lại vài lần khái niệm hàm số và làm các bài tập sau: a) Cho một ví dụ về hàm số tương tự như trong ví dụ 1.
c) Cho một ví dụ về hàm số có đặc điểm là khi cho các giá trị khác nhau của biến số mà ta luôn nhận được cùng một giá trị tương ứng của hàm số.
Hoạt động này có thể được tiến hành theo nhóm, mỗi nhóm HS thực hiện một ví dụ để tiết kiệm thời gian.
HĐTP 2.2.2: Sau khi tiến hành cho HS hoạt động ở HĐTP 2.2.1, để HS hiểu rõ đặc điểm và độc lập nhận dạng khái niệm hàm số dưới dạng bảng hoặc dạng công thức, GV có thể nêu câu hỏi như sau:
Từ các ví dụ ở mục 1 và bài tập ở HĐTP 2.2.1 các em có thể phân hàm số ra làm mấy dạng? Đó là những dạng nào?
HS gặp khó khăn GV có thể nêu thêm câu hỏi:
Từ các ví dụ và bài tập trên các em có thể cho biết Những hàm số nào cho bởi dạng bảng? Những hàm số nào cho bởi công thức? (Các hàm số ở bài tập a và ở ví dụ 1 là hàm số cho bởi dạng bảng, các hàm số còn lại trong ví dụ và bài tập là cho bởi dạng công thức).
HĐTP 2.2.3: Giới thiệu hàm hằng
- GV yêu cầu HS lấy thêm một ví dụ như câu c (bài tập trên).
- GV nêu chú ý các hàm số như vậy được gọi là hàm hằng, tức là khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.
Trong trường hợp hàm hằng, HS rất khó hình dung được sự phụ thuộc của x vào y. Nếu GV chỉ giới thiệu mà không cho HS tiến hành hoạt động để tiếp cận hiểu rõ khái niệm thì HS chắc chắn sẽ rơi vào trường hợp trên. Do vậy, thay cho lời giải thích điều đó GV cho HS tiến hành hoạt động như sau:
Cho HS lấy tuỳ ý mỗi giá trị của x (thay vào hàm số ở câu c), luôn xác định được một giá trị tương ứng của y (đều bằng nhau và bằng hằng số đó).
Như vậy, khi học về khái niệm hàm số chúng ta chú ý ba điều sau đây (GV tóm tắt lại các chú ý như SGK).
- Hàm số có thể được cho bằng bảng (như trong ví dụ 1), bằng công thức (như trong ví dụ 2 và 3)...
- Khi y là hàm số của x ta có thể viết y = f(x), y = g(x)...Chẳng hạn, với hàm số được cho bởi công thức y = 2x + 5, ta còn có thể viết y = f(x) = 2x + 5 và khi đó, thay cho câu (khi x bằng 3 thì giá trị tương ứng của y là 11” (hoặc câu “khi x bằng 3 thì y bằng 11” ta viết f(3) = 11.
Các thành phần của thành tố cơ sở được thể hiện trong hoạt động là: