7. Cấu trúc luận văn
2.2.3.Vận dụng vào chủ đề Phương trình, Bất phương trình
Mục đích dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình có thể tóm tắt như sau:
- HS nắm vững khái niệm phương trình, bất phương trình và những khái niệm có liên quan: nghiệm của phương trình hoặc bất phương trình, giải phương trình hoặc giải bất phương trình,...
- HS có kỹ năng giải phương trình và bất phương trình, thành thạo việc giải phương trình và bất phương trình theo thuật giải, theo công thức hay một hệ thống quy tắc biến đổi xác định, chẳng hạn phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình trùng phương,...
- HS có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, nhất là đối với phương trình bậc nhất và bậc hai, thông qua đó rèn luyện khả năng toán học hoá những tình huống thực tế. Làm quen với một số bài toán tối ưu đơn giản và có vận dụng kiến thức về phương trình và bất phương trình.
- HS được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải phương trình và bất phương trình theo thuật giải hoặc theo một hệ quy tắc xác định, được rèn luyện về tính linh hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong việc giải những phương trình theo nội dung, những phương trình không mẫu mực.
- HS được rèn luyện về tính quy cũ, tính kế hoạch, tính kỷ luật trong việc giải phương trình và bất phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định, được giáo dục về tính cẩn thận, chính xác và thói quen tự kiểm tra trong việc giải phương trình và bất phương trình nói chung, đó là những phẩm chất không thể thiếu của con người lao động [30, tr. 67 - 68].
Để đạt được mục tiêu nói trên, GV phải nắm vững tinh thần SGK, tài liệu chuẩn kiến thức. Đồng thời phải thực hiện đổi mới phương pháp dạy học
theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của HS để HS luôn được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động. Và điều cần thiết ở đây là phải nắm vững và vận dụng tốt những thành tố cơ sở của PPDH vào dạy học từng chương, từng bài, từng mục,... của chủ đề. Sau đây là các ví dụ.
Ví dụ 3: Vận dụng các thành tố cơ sở của PPDH vào dạy học bài: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (tiết 53, Đại số 9).
A. Mục tiêu:
- HS nhớ biệt thức ∆ = b2 - 4ac và nhớ kĩ điều kiện nào của ∆ thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt.
- HS nhớ và vận dụng thành thạo được công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải phương trình bậc hai.
B. Các hoạt động dạy học (+) Kiểm tra bài cũ
GV có thể kiểm tra những nội dung sau:
Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn? (định nghĩa SGK toán 9, tập 2, tr 40). Giải phương trình 3x2 + 12x + 3 2 = 0 (1) - Chuyển 3 2 sang vế phải 3x2 + 12x = - 3 2 - Chia hai vế cho 3, ta được x2 + 4x = - 1 2 hay x2 + 2.x.2 = - 1
2.
- Thêm vào hai vế cùng một số để vế trái thành một bình phương: x2 + 2.x.2 +... = - 1
2 + ... 22
GV nêu vấn đề: Bài học trước các em đã học cách giải phương trình thông qua những ví dụ cụ thể. Bài toán trên đây cũng là một trong các dạng toán có cùng cách giải với các ví dụ bài học trước. Sau khi giải nhiều phương trình bậc hai cụ thể chúng ta rút ra nhận xét, các em đã lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một thao tác khi biến đổi các phương trình cụ thể, như chia cả hai vế cho hệ số của x2, thêm bớt các số thích hợp, dùng hằng đẳng thức,... đó là một điều bất hợp lý, làm lãng phí thời gian, công sức. Vậy có cách nào hợp lý hơn, tổng quát hơn mà thay thế cách đó không? Bài hôm nay sẽ xây dựng một phương pháp tổng quát để giải một phương trình bậc hai rất thuận tiện. Không cần phải lặp đi lặp lại nhiều lần như các em đã từng làm.
(+) Dạy học bài mới
Căn cứ vào nội dung dạy học, ta có thể phân thành các hoạt động như sau: Hoạt động 1: Xây dựng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Hoạt động 2: Áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn.
Tuỳ thuộc vào đối tượng HS mà ta có thể giúp HS phân tách các hoạt động trên thành các hoạt động thành phần như sau:
Hoạt động 1: Xây dựng công thức nghiệm của phương trình bậc hai
HĐTP 1.1: Tiếp cận vấn đề
- HS bắt chước các bước biến đổi từ phương trình 3x2 + 12x + 3 2 = 0 (a ≠ 0), dẫn tới các bước biến đổi phương trình tổng quát ax2 +bx + c = 0 thành dạng bình phương của một nhị thức 2 2 2 4 2 4 b b ac x a a − + = ÷ (2). Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Gợi động cơ trung gian theo các cách:
- Khái quát hoá.
• Phân bậc căn cứ vào độ thành thạo của hoạt động.
- Bậc thấp: HS thực hiện hoạt động dưới sự dẫn dắt của giáo viên. - Bậc cao: HS độc lập thực hiện.
HĐTP 1.2: Giới thiệu biệt thức ∆ (đenta)
Trong thực tiễn dạy học hoạt động này thường được GV giới thiệu trực tiếp để HS nắm vững ký hiệu này. Nhưng nếu làm như vậy thì áp đặt đối với HS và HS sẽ nhớ một cách máy móc và dễ quên. Ta có thể dẫn dắt HS hoạt động để hình thành trong họ biểu tượng một biểu thức đặc biệt bằng cách dẫn dắt HS tách thành phần b2 - 4ac trong phương trình (2) và sau đó giới thiệu kí hiệu, kí hiệu đó chính là biệt thức ∆ của phương trình. GV có thể dẫn HS hoạt động bằng việc nêu các câu hỏi như sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Vế trái của phương trình 2 có đặc điểm gì? (bình phương của một nhị thức).
- Em nhận thấy điều gì ở mẫu thức của phân thức vế phải? (với a ≠ 0
thì 4a2 luôn luôn dương).
- Vậy để phân biệt phương trình (2) có nghiệm hay vô nghiệm thì ta cần quan tâm đến thành phần nào? (b2 - 4ac).
Từ đó GV giới thiệu b2 - 4ac là biệt thức của phương trình. Kí hiệu là ∆
, đọc là đenta (∆ = b2 - 4ac).
Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Phân tách hoạt động thành những hoạt động thành phần. • Gợi động cơ mở đầu:
- Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ sự hạn chế.
- Hướng tới sự tiện lợi, hợp lý hoá công việc.
HĐTP 1.3: Xét mọi khả năng có thể xảy ra đối với ∆ để suy ra số nghiệm của phương trình.
HĐTP 1.3.1: HS điền vào chỗ trống (...) những biểu thức thích hợp: a) Nếu ∆ > 0 thì phương trình (2) suy ra x +
2
b
a = ±... Do đó phương trình (1) có hai nghiệm: x1 =..., x2 =... b) Nếu ∆ = 0 thì từ phươnB trình (2) suy ra x +
2
b a =... Do đó phương trình (1) có nghiệm kép x =...
c) Hãy giải thích vì sao ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
HĐTP 1.3.2: Kết luận chung
HS dựa vào HĐTP 1.3.1 để đưa ra kết luận chung về công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b2 - 4ac. - Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 2 b x a − + ∆ = , 1 2 b x a − − ∆ = ;
- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
x1 = x2 =
2
b a
−
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Gợi động cơ kết thúc.
• Dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Phân bậc hoạt động Hoạt động 2: Áp dụng.
Trong dạy học, việc cho HS áp dụng trực tiếp công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai sẽ gặp khó khăn. Bởi vậy ta cần dựa vào công thức
nghiệm để xây dựng quy trình giải để HS có thể áp dụng công thức nghiệm một cách dễ dàng hơn.
HĐTP 2.1: Xây dựng quy trình giải.
Thầy giáo lặp đi lặp lại những câu hỏi có dụng ý chỉ dẫn HS để tìm quy trình giải phương trình bậc hai theo công thức nghiệm (đã nêu ở HĐTP 1.3.2). Những câu hỏi đó có thể như sau:
Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai trước hết ta phải làm gì? (tính ∆).
Để tính ∆ ta cần xác định những thành phần nào? (xác định các hệ số a, b, c của phương trình).
Sau khi tính ∆ ta cần vận dụng công thức nào để xác định nghiệm của phương trình? (công thức nghiệm của phương trình bậc hai).
Vậy em hãy tóm tắt lại quy trình giải phương trình bậc hai một ẩn? Quy trình 1:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c; Bước 2: Kiểm tra điều kiện a ≠ 0.
Bước 3: Viết biểu thức tính ∆
Bước 4: Thay bước 1 vào bước 3 rồi thực hiện phép tính ∆ (∆ = b2 - 4ac).
Bước 5: So sánh giá trị ∆ với số 0.
Bước 6: Xác định nghiệm của phương trình. Nghiệm của phương trình được xác định dựa vào giá trị của ∆ (∆ > 0, ∆ = 0, ∆ < 0). Rút gọn kết quả mỗi khi có thể.
Bước 7: Kết luận.
Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Phân tách hoạt động thành những hoạt động thành phần.
- Hướng tới sự tiện lợi, hợp lý hoá công việc. - Tìm sự liên hệ và phụ thuộc.
• Gợi động cơ kết thúc.
• Phân bậc hoạt động: Dựa vào sự phức tạp, sự trừu tượng, khái quát của đối tượng hoạt động.
HĐTP 2.2: Áp dụng vào giải phương trình bậc hai.
HĐTP 2.2.1: Ví dụ 1:
Giải phương trình 3x2 - 7x + 2 = 0 (1). HS thực hiện các bước như sau:
- Xác định các hệ số của phương trình. Ta có: a = 3, b = -7, c = 2.
- Viết biểu thức tính ∆: ∆ = b2 - 4ac.
- Thay các hệ số vào rồi tính ∆: ∆ = (-7)2 - 4.3.2 = 25 - So sánh ∆ với 0: ∆ = 25 > 0.
Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 7 25 6 x = + = 2, 1 7 25 6 x = − = 2 1 6 =3;
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2; x2 = 1 3. Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Tri thức phương pháp: Dạy học tường minh tri thức phương pháp
được phát biểu một cách tổng quát. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Phân bậc hoạt động dựa vào tính độc lập của HS.
Bậc thấp: HS áp dụng công thức giải bài toán dưới sự hướng dẫn của GV. Bậc cao: HS độc lập trình bày lời giải.
Việc thực hiện các bước giải phương trình bậc hai theo công thức nghiệm như quy trình 1 nói trên là khá chi tiết, dễ dàng thực hiện đối với mọi đối tượng HS. Tuy nhiên, sau khi HS đã nắm vững quy trình 1, để rèn luyện
kỹ năng giải phương trình bậc hai, thầy giáo có thể dẫn dắt HS quy gọn các bước giải ở quy trình 1 để đi đến quy trình giải gọn hơn, tổng quát hơn.
Quy trình 2:
- Bước 1: Xác định hệ số a, b, c. - Bước 2: Tính ∆ = b2 - 4ac.
- Bước 3: Tính nghiệm theo công thức nếu ∆ ≥ 0.
Dựa vào quy trình này thì ví dụ 1 có thể trình bày gọn như sau: - Tính ∆ = b2 - 4ac.
Các hệ số của phương trình là a = 3, b = -7, c = 2. ∆ = (-7)2 -4.3.2 = 25
- Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 7 25 6 x = + = 2, 1 7 25 6 x = − = 2 1 6=3;
- Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2; x2 = 1 3. Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Gợi động cơ mở đầu hướng tới sự hợp lý hoá công việc.
• Dạy học tường minh tri thức được phát biểu một cách tổng quát.
HĐTP 2.2.2: Rèn luyện kỹ năng áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai.
Áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình (SGK toán 9, tập 2, tr 45):
A) 4x2 - 4x + 1 = 0; B) -3x2 + x + 5 = 0;
Đối với bài toán (cả câu a và câu b) HS trình bày theo cách hiểu của mình. Có thể trình bày theo các bước ở quy trình 1, cũng có thể trình bày theo
các bước ở quy trình 2. Tuy nhiên, khi trình bày GV cần định hướng cho HS trình bày lời giải gọn theo quy trình 2.
Trong khi trình bày lời giải, HS thường hay mắc phải sai lầm ở bước 2 (quy trình 2), đặc biệt đối với các phương trình bậc hai có các hệ số a hoặc b âm. Do vậy, bước này GV cần cho HS rèn luyện kĩ việc tính ∆ bằng cách cần phải thực hiện tốt bước 4 (quy trình 1).
Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung.
• Lựa chọn những hoạt động dựa vào mục tiêu.
• Tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp.
• Phân bậc hoạt động dựa vào tính độc lập của hoạt động HS.
Bậc thấp: HS thực hiện lời giải dưới sự hướng dẫn, gợi ý của bạn cùng nhóm hoặc của GV.
Bậc cao: HS độc lập thực hiện lời giải.
• Điều khiển quá trình học tập dựa vào sự phân bậc hoạt động theo hướng dạy học phân hoá:
Bậc thấp: HS có năng lực thấp hoạt động theo quy trình 1. Bậc cao: HS khá, giỏi hoạt động theo quy trình 2.
HĐTP 2.3: Nhận biết trường hợp phương trình có hai nghiệm nhờ các hệ số a và c mà không thực hiện giải phương trình.
GV có thể nêu câu hỏi: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Trường hợp a và c trái dấu, tức là ac < 0, ta có nhận xét gì về giá trị của ∆? (∆ > 0).
- Trường hợp này phương trình có mấy nghiệm? (phương trình có hai nghiệm, vì ∆ > 0).
Thành phần của thành tố cơ sở là: Thông báo tri thức trong quá trình hoạt động.
Hoạt động 3: Củng cố bài
GV yêu cầu HS làm bài tập sau: Giải các phương trình:
a) 2x2 - 7x + 3 = 0; b) 3915x2 - 2517 = 0;
- Phương trình a) HS được củng cố lại cách giải phương trình bằng cách dùng công thức nghiệm.
- Phương trình b) nhằm giúp HS nhận thấy rằng việc giải phương trình dạng đặc biệt bằng công thức nghiệm có thể phức tạp.
Nếu giải phương trình b) bằng công thức nghiệm, ta có:
∆ = 02 -4.3915.(-2517) = 39416220 rồi nghiệm 1 0 39416220 ... 2.3915 x = − = ; 2 0 39416220 ... 2.3915 x = + = ;
Trong khi giải bằng phương pháp riêng, ta có ngay: x = 2517 839 .
3915 1305
± = ±
Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Tri thức trong hoạt động
Dạy học tường minh tri thức đã được phát biểu một cách tổng quát.
• Phân bậc hoạt động dựa vào chất lượng hoạt động.
HDVN: - Nắm vững công thức nghiệm của phương trình bậc hai. - Bài tập 15 a, c và bài tập 16 a, b, e. tr. 45 SGK.
Ví dụ 4: Vận dụng các thành tố cơ sở của PPDH vào dạy học tiết “luyện tập bất phương trình bậc nhất một ẩn” (tiết 63, Đại số 8).
I. MỤC TIÊU
- Thành thạo việc giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. - Vận dụng giải các bài toán có nội dung thực tiễn. Chuẩn bị:
- GV chuẩn bị phiếu học tập một số lời giải sai của HS (HĐ4).
- GV chuẩn bị các bài tập để tiến hành luyện tập và đề kiểm tra 15 phút (HĐ7).
- HS ôn lại phần bất phương trình, làm các bài tập 24; 25; 27 đã cho về nhà từ trước.
II. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Hoạt động 1: Giải bài tập về nhà
- GV yêu cầu 2 HS lên bảng giải các bài tập 24b và 25c.