2) Có các thuật toán hiệu quả hơn thuật toán thông thường để nhân hai số nguyên Ở đây ta sẽ có một trong các thuật toán
9.2.2 Định nghĩa quan hệ 2 ngôi, biểu diễn và tính chất trên một tập Định nghĩa
bộ L = (X1, …, Xk, G(L)), trong đó G(L) là tập con của tích Đềcác X1 × … × Xk. G(L) được gọi là đồ thị của L.
Một quan hệ thường được viết dưới dạng ký tự đậm a = (a1, …, ak) hay biến X=
(x1, …, xk).
9.2 QUAN HỆ NHỊ PHÂN9.2.1 Giới thiệu 9.2.1 Giới thiệu
Trong toán học, quan hệ nhị phân là một sự liên kết của phần tử trong tập hợp này với phần tử trong tập hợp khác.
Một ví dụ của quan hệ chia hết giữa tập các số nguyên tố P và tập
các số nguyên Z, trong đó mỗi số nguyên tốt p liên hệ với các số
nguyên z là bội số của p/ Trong quan hệ này, ví dụ với số nguyên tố 2 liên hệ với các số −4, 0, 6, 10, nhưng không 1 hay 9; số nguyên tố 3 liên hệ với các số 0, 6, và 9, nhưng không 4 hay 13.
Các quan hệ nhị phân được dùng trong nhiều nhánh của toán học, giống như "lớn hơn", "nhỏ hơn", hay "là cạnh kề" trong lý thuyết đồ thị,…Một khái niệm rất quan trọng là hàm, được định nghĩa như là một trường hợp đặc biệt của quan hệ nhị phân. Quan hệ nhị phân rất được quan tâm trong khoa học máy tính, đặc biệt là trong mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ.
Một quan hệ nhị phân là trường hợp n = 2 của quan hệ n-ngôi.
9.2.2 Định nghĩa quan hệ 2 ngôi, biểu diễn và tính chất trên một tậpĐịnh nghĩa Định nghĩa
và cặp (a,b) thì ta ký hiệu .
• Nếu A = B thì một tập con của tích Descartes AxA được gọi là quan hệ trên A.
• Mở rộng của quan hệ hai ngôi là quan hệ n ngôi dẫn đến cấu trúc bảng trong cơ sở dữ liệu quan hệ .
• Lưu ý rằng tập tích Descarter là tập các cặp có thứ tự nên quan hệ định nghiã ở đây là quan hệ có hư ớ ng từ A vào B . Ta hình dung như
các phần tử thuộc tập A là các phần tử "chủ động" trong quan hệ, còn các phần tử của B (nếu có mặt trong quan hệ) là các phần tử "bị
động". Điều lưu ý này rất hữu ích cho các quan hệ xã hội như quý và
được quý, hâm mộ và bị hâm mộ, hay trong quan hệ bao hàm :chứa
và được chứa trong ...
Ví dụ
• Các quan hệ trong đời sống xã hội đều là các quan hệ theo nghĩa toán học: quan hệ hôn nhân (khác giới) là quan hệ từ tập người là nam vào tập người là nữ, quan hệ bạn bè, quan hệ đồng nghiệp, đồng hương, quan hệ chống đối... đều là các quan hệ giữa các tập người.
• Các quan hệ trong toán như quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa các số
thực, quan hệ chia hết giữa các số tự nhiện ....
• Các quan hệ tuỳ ý giữa các tập hữu hạn có thể dẫn ra làm ví dụ rất nhiều,
chẳng hạn cho A = {a, b, c, d}; B= {1, 2, 3}. Quan hệ ={ (a,1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}.
Để biểu diễn quan hệ (trên các tập hữu hạn), nhất là khi phải giải quyết các bài toán về quan hệ trên máy tính, ta có biểu diễn bằng ma trận logic hoặc bằng đồ thị.
Ma trận logic của quan hệ hai ngôi
Cho tập A có m phần tử A = {a1,a2,...,am}
và tập B có n phần tử B = {b1,b2,...,bn}
Ma trận logic của quan hệ A x B là ma trận cấp m
Ví dụ ma trân biểu diễn quan hệ ở trên là
Biểu diễn đồ thị của quan hệ hai ngôi
a có thể biểu diễn quan hệ từ tập X và tập Y bằng một đồ thị có hướng như hình bên. Nếu A = thì đồ thị biểu diễn là đồ thị hai phía.
Trong hình bên phần tử A có thể "chủ động" quan hệ với ba phần tử 1, 2, 5 của Y, còn B chủ động không quan hệ với phần tử nào. Về phía Y, phần tử 2 và5 bị hai phần tử cùng quan tâm, còn 3, 4 không được phần tử nào của X quan hệ tới.
Ánh xạ là một loại quan hệ trong đó tất cả các phần tử của tập
chủ động đều có
quan hệ và chỉ quan hệ với một phần tử thuộc tập bị động
Từ biểu diễn đồ thị của quan hệ và biểu diễn ánh xạ , có thể nhận ra rằng ánh xạ
(hay hàm) là một quan hệ đặc biệt, mà ta gọi là quan hệ hà m . Ánh xạ f : AB là một quan hệ từ A vào B thoả mãn điều kiện sau:
Mỗi phần tử a A đều có quan hệ f với đúng một phần tử b B.
Chú ý rằng trong định nghĩa này không loại trừ khả năng hai (hoặc nhiều hơn) phần
tử của A cùng có quan hệ f với nhau
Quan hệ tương đương Quan hệ thứ tự
Quan hệ bù
Quan hệ nghịch đảo