2) Phép nhân: Xét bài toán nhân hai số nguyên viết ở dạng nhị phân.
6.2.4 Số nguyên tố (đọc thêm)
Có thể nói rằng số nguyên tố là số được chú ý từ trước đến nay không những của cộng đồng toán học, mà còn của cộng đồng tin học, không bởi vì tính chất đặc biệt của nó mà còn vì những ứng dụng hết sức thực tế của số nguyên tố (ví dụ ứng dụng điển hình là trong mã hóa RSA http:// en.wiki p edia.org/wiki/RSA )
Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1
và chia hết
cho chính nó.
Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11..
Định lý cơ bản của số học
Phát biểu định lý: "Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích những thừa số nguyên tố, và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số."
Từ đó có dạng phân tích tiêu chuẩn của một số tự nhiên bất kỳ là:
Trong đó p1,p2,...,pm, là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Ta có n
chia hết cho
(k1+1)(k2+1)...(km+1) số tự nhiên. Ví dụ:
300 = 22.52.3
Ký hiệu nghĩa là b là ước của a, ký hiệu a b nghĩa là a chia hết cho b.
Tuy nhiên, vì tập hợp số nguyên tố là tập con của số tự nhiên, mà tập hợp số tự nhiên là đếm được nên tập hợp các số nguyên tố là đếm được.
Một thông tin khác về số nguyên tố:
Nhà khoa học Josh Findley đã dùng máy vi tính để tìm ra số nguyên tố lớn nhất từ trước tới nay với 7.235.733 chữ số - nếu được viết ra. Số này sẽ trải dài đến 25km và thời gian viết là 6 tuần!
Sàng Eratos t hene
mọi hợp số n đều có ước nguyên tố không vượt quá căn của chính nó (sqrt(n)). Giải thuật đầu tiên xóa số 1 ra khỏi tập các số nguyên tố. Số tiếp theo số 1 là số 2, là số nguyên tố. Bắt đầu từ số 2 xoá tất cả các bội của 2 ra khỏi bảng. Số đầu tiên không bị xoá sau số 2 (số 3) là số nguyên tố. Tiếp theo lại xoá các bội của 3... Giải thuật tiếp tục cho đến khi găp số nguyên tố nhỏ hơn sqrt(n) thì dừng lại. Tất cả các số chưa bị xoá là số nguyên tố. Theo ngôn ngữ thuật toán ta có thể diễn đạt giải thuật sàng Eratosthene như sau: Eratosthene(n)
Câu chuyện về số nguyên tố: Giả thiết Goldbach - Euler
Năm 1742, nhà toán học Đức Goldbach viết thư cho Ơ-le biết rằng ông mạo hiểm
số nguyên tố. Ơ-le trả lời rằng theo ông, mọi số chẵn lớn hơn 2 đều biểu diễn được
dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố. Nếu chứng minh được một trong hai mệnh đề
thì sẽ chứng minh được mệnh đề còn lại. 200 năm sau, đến năm 1937, nhà toán học
Liên Xô Vi-nô-gra-đốp đã giải quyết gần trọn vẹn bài toán đó bằng cách chứng
minh rằng mọi số lẻ đủ lớn đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 số
nguyên tố.
Cho đến nay, bài toán Goldbach-Euler vẫn chưa giải được hoàn toàn. Nếu mệnh đề
của Ơ-le là đúng, hãy chứng minh mệnh đề Gôn-bách. Giải: Cho số tự nhiên n>5, ta
sẽ chứng minh rằng n viết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Xét: 1. Trường hợp 1: Nếu n chẵn thì n=2+m với m chẵn, m>3.
2. Trường hợp 2: nếu n lẻ thì n=3+m với m chẵn, m>2. Theo mệnh đề Ơ-le, m
chẵn, m>2 nên m viết được dưới dạng tổng hai số nguyên tố. Do đó n viết
được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố.
Số nguyên tố lớn nhất với hơn 9 triệu chữ số (đây là bài viết năm 2005) Một nhóm các nhà khoa học thuộc Đại học Missouri, Mỹ, đã sử dụng hơn 700 máy
tính để tìm ra số nguyên tố lớn nhất cho đến nay, một con số khổng lồ với
9.152.052 con số.
Phát hiện này được thực hiện vào ngày 15/12 và đã được xác nhận lại vào ngày
24/12 vừa qua, đánh dấu lần thứ hai trong năm nay dự án kết hợp máy tính có tên
Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne trên Internet (GIMPS - Great Internet Mersenne
Prime Search) tìm ra một số nguyên tố lớn nhất. Nhưng cũng tương tự như phát
con số cần thiết để giành được giải thưởng 100.000 USD từ Quỹ điện tử có tên là
Electronic Frontier Foundation.
Dự án GIMPS khai thác sức mạnh của hơn 200.000 máy tính được cung cấp mộtbcách tình nguyện với nhiệm vụ tìm kiếm tất cả các số nguyên tố Mersene. Một số
nguyên tố là một số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, và một số nguyên tố
Mersenne (Đây là số nguyên tố Mersenne thứ 43, được đặt tên theo Marin
Mersenne, một tu sĩ người Pháp sống vào thế kỷ thứ 17, người đã nghiên cứu số
nguyên tố hiếm cách đây 300 năm). là một dạng đặc biệt có công thức 2p-1 trong
đó p cũng là một số nguyên tố. Thí dụ, 7 cũng là một số nguyên tố Mersenne bởi nó
là một số nguyên tố và bằng
Đã vài năm nay, những số nguyên tố lớn lớn nhất được phát hiện đều là các số
nguyên tố Mersenne. Chúng được đặt tên theo tên của Marin Mersenne, một tu sĩ
người Pháp sinh năm 1588, người đã khám phá ra dạng số này.
Các số nguyên tố Mersenne trong nhiều trường hợp đã được các cá nhân tìm ra,
nhưng lần này thì thành quả lại là của một nhóm tình nguyện viên. Nhóm này tới
nay đã cống hiến một năng lực xử lý nhiều hơn bất cứ ai: tương đương với khả năng
xử lý của của một máy tính Pentium 90MHz chạy liên tục trong 67.000 năm. Hai
giáo sư Curtis Cooper và Steven Boone là những người phụ trách dự án này.