2) Phép nhân: Xét bài toán nhân hai số nguyên viết ở dạng nhị phân.
7.5.2 Tổ hợp Ðịnh nghĩa
Ðịnh nghĩa
Cho X là một tập hợp gồm n phần tử, và r là một số nguyên không âm nhỏ hơn hoặc bằng n. Mỗi phép chọn r phần tử phân biệt của X mà không phân biệt thứ tự trước sau sẽ cho ta một tổ hợp n chọn r. Nói cách khác, ta có thể xem một tổ hợp n chọn r như là một tập hợp con gồm r phần tử của một tập hợp có n phần tử.
Ví dụ 3. Cho tập hợp S = 1, 2, 3, 4 . Ta có tập S' = 1, 3, 4 là một tổ hợp 4
chọn 3.
Số các tổ hợp n chọn r được ký hiệu là C(n,r). Ví dụ : C(4,2) = 6 vì ta có thể liệt kê ra tất cả các tập hợp con 2 phần tử của một tập hợp có 4 phần tử và thấy có tất cả là
6 tập con. Ðịnh lý sau đây cho ta một công thức để tính C(n,r).
Công thức tổ hợp
Ðịnh lý II.1. Số các tổ hợp n chọn r , với n và r là các số nguyên thỏa 0 ≤ r ≤ n, là
Chứng minh: Ta sẽ tính số tổ hợp thông qua việc thiết lập công thức li ên hệ giữa C(n,r) và A(n,r). Các chỉnh hợp n chọn r thể đạt được bằng cách lấy một tổ hợp n chọn r (hay tập con r phần tử của tập hợp n phần tử cho trước) rồi sau đó chọn một hoán vị của r phần tử trong tổ hợp. Từ đó, theo qui tắc nhân, ta có:
A(n,r) = C(n,r) . A(r,r) = C(n,r) . r! Suy ra :
hoặc là
Ví dụ 4. Số danh sách không kể thứ tự trước sau gồm 5 người của một lớp học gồm
10 người là C(10,5) = 10! / (5!5!) = 252.
Công thức nhị thức Newton:
Ðịnh lý II.2. Cho x và y là 2 biến thực, n là một số nguyên không ấm tùy ý. Ta có:
Chứng minh: Ta có thể khai triển tích của n thừa số trong biểu thức (x+y)n = (x+y) (x+y) . . . (x+y)
thành tổng của 2n số hạng có dạng t1t2…tn trong đó ti = x hay ti = y, với mọi i từ 1..
Một cách khác, ta có thể dựa vào tam giác Pascal:
Một số tính chất khác của tổ hợp
Dưới đây ta nêu lên một số tính chất của tổ hợp. Các tính chất nầy có thể được
chứng minh dễ dàng từ công thức tổ hợp. Với mọi số thự nhiên n ta
có: C(n, 0) = 1 C(n, n) = 1
Cho n và r là 2 số nguyên không âm và r n. Ta có: C(n,r) = C(n,n-r)
C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1).
Công thức Vandermonde: Cho m, n, và r là các số nguyên không âm với r nhỏ hơn
hoặc bằng m và n. Ta có:
Tổ hợp lặp.
Một tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một cách chọn không có thứ tự k phần tử có thể lặp lại của tập đã cho. Như vậy một tổ hợp lặp kiểu này là một dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử. Do đó có thể là k > n.
k
Mệnh đề 1: Số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử bằng Cn+k 1− . Chứng minh. Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử có thể biểu diễn bằng một dãy n−1 thanh đứng và k ngôi sao. Ta dùng n − 1 thanh đứng để phân cách các ngăn. Ngăn thứ i chứa thêm một ngôi sao mỗi lần khi phần tử thứ i của tập xuất hiện trong tổ hợp. Chẳng hạn, tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử được biểu thị bởi:
* * | * | | * * *
mô tả tổ hợp chứa đúng 2 phần tử thứ nhất, 1 phần tử thứ hai, không có phần tử thứ
3 và 3 phần tử thứ tư của tập hợp.
Mỗi dãy n − 1 thanh và k ngôi sao ứng với một xâu nhị phân độ dài n + k − 1 với k số 1. Do đó số các dãy n − 1 thanh đứng và k ngôi sao chính là số tổ hợp chập k từ tập n + k − 1 phần tử. Đó là điều cần chứng minh.
Thi dụ 8: 1) Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm những tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ. Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được chọn là không quan trọng, các tờ tiền cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ.
Vì ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền và vì ta chọn đúng 5 lần, mỗi lần lấy
một từ 1 trong 7 loại tiền nên mỗi cách chọn 5 tờ giấy bạc này chính là một tổ hợp
lặp chập 5 từ 7 phần tử. Do đó số cần tìm là
C7+5 1−
= 462.
2) Phương trình x1 + x2 + x3 = 15 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?
Chúng ta nhận thấy mỗi nghiệm của phương trình ứng với một cách chọn 15 phần tử từ một tập có 3 loại, sao cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại 2 và x3 phần tử loại 3 được chọn. Vì vậy số nghiệm bằng số tổ hợp lặp chập 15 từ tập có 3 15 phần tử và bằng C3 15+ 1− = 136. 7.5.3 Hoán vị
Trong toán học , đặc biệt là trong đại số trừu tượng và các lĩnh vực có liên quan, một
hoán vị là một song á n h từ một tập hợp hữu h ạn X vào chính nó. Trong lý thuyết tổ hợp , khái niệm hoán vị cũng mang một ý nghĩa
truyền thống mà nay ít còn được dùng, đó là mô tả một bộ có thứ tự không lặp, và không nhất thiết phải chứa đầy đủ số phần tử.
Khái niệm hoán vị diễn tả ý tưởng rằng những đối tượng phân biệt có thể được sắp xếp theo những thứ tự khác nhau. Ví dụ, với các số từ một đến sáu, mỗi cách sắp thứ tự sẽ tạo thành một dãy các số không lặp lại. Một hoán vị như thế là: "3, 4, 6, 1,
2, 5".
Có nhiều cách định nghĩa khái niệm hoán vị một cách chính quy hơn. Một hoán vị là một dãy có thứ tự chứa mỗi phần tử của một tập hợp một và đúng một lần; như vậy "1, 2, 2, 3, 4, 5, 6" và "1, 2, 4, 5, 6" đều không phải là hoán vị của tập "1, 2, 3,
4, 5, 6". Do đó, điểm khác nhau cơ bản giữa một hoán vị và một tập hợp là: những
phần tử của một hoán vị được sắp xếp theo một thứ tự xác định.
Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình và Châu chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai hay ba vận động viên cùng về đích một lúc thì
Kết quả cuộc thi là một danh sách gồm 3 người xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba. Danh sách này là một hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu}. Nếu kí hiệu tập hợp {An, Bình, Châu} là {a,b,c} thì tập
hợp này có tất cả 6 hoán vị là
(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a). Một cách tổng quát ta có:
Cho tập hợp A có n phần tử (n >0). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được 1 ho á n vị các phần tử của tập A.
Khi xây dựng một tổ hợp, có n khả năng chọn cho phần tử đầu tiên. Sau đó, n-1 còn lại, vì vậy phần tử thứ hai sẽ có n-1 khả năng. Như vậy để chọn 2 phần tử đầu tiên, sẽ có
n × (n − 1) hoán vị có thể có
Với phần tử thứ ba, còn n − 2 phần tử còn lại, nên sẽ có n × (n − 1) × (n − 2) hoán vị có thể có.
Tiếp tục như vậy cho tới khi còn 2 phần tử, đến lúc này sẽ có 2 lựa chọn cho phần
tử n-1, nên ta có số hoán vị cho n-1 phần tử n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2.
Đến lúc này chỉ còn duy nhất một phần tử, nên không có sự lựa chọn nào khác. Như
vậy, số hoán vị cho n phần tử là n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1 Vậy ta có định lý:
Số
cá c hoán vị của một tập h ợ p có n ph ầ n t ử là
Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng hoán vị tổng quát: một hoán vị là một bộ có thứ tự không lặp , có thể thiếu một số phần tử. Có thể dễ dàng đếm được số hoán vị có kích thước r khi chọn từ một tập hợp có kích thước n (với r≤n).
Ví dụ, nếu chúng ta có 10 phần tử, các số nguyên {1, 2, ..., 10}, một hoán vị của ba phần tử từ tập hợp này là {5, 3, 4}. Trong trường hợp này, n=10 và r=3. Vậy có bao nhiêu cách để thành lập một hoán vị
như vậy
1. Để chọn phần tử đầu tiên của một hoán vị, chúng ta có n cách, bởi vì có n
phần tử phân biệt của tập hợp.
vị sẽ có (n − 1) cách để chọn từ tập hợp còn lại.
3. Phần tử thứ ba có thể được chọn bằng (n − 2) cách.
4. Công việc này lặp lại cho đến khi có đủ r phần tử của hoán vị. Nghĩa là phần
tử cuối cùng của hoán vị sẽ có (n - (r - 1) ) = (n − r + 1) cách chọn. Tóm lại, chúng ta có:n(n − 1)(n − 2) ... (n − r + 1) hoán vị khác nhau chứa r phần tử
chọn từ n đối tượng
Trong ví dụ trên, chúng ta có n = 10 và r = 3, vậy số hoán vị là: P(10,3) = 720. Những cách ký hiệu cũ bao gồm: nPr, Pn,r, or nPr P(n, r) = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × (n − r + 1). Vì vậy: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1 = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × (n − r + 1) × (n − r) × ... × 2 × 1 = P(n, r) × (n − r) × ... × 2 × 1 = P(n, r) × (n − r)!. Nhưng nếu n! = P(n, r) × (n − r)!, thì P(n, r) = n! / (n − r) Hoán vị lặp
Trong các phần trên ta đã biết một hoán vị của n phần tử là một chỉnh hợp n chọn n của các phần tử đó và số hoán vị là n!. Tuy nhiên trong nhiều bài toán ta có thể gặp tình huống xét sự sắp xếp của một danh sách các phần tử mà trong đó có thể có các phần tử bằng nhau, chẳng hạn như trong ví dụ sau đây:
Ví dụ: Hãy tính xem có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau của 6 mẫu tự trong từ
PEPPER.
Giải: Trước hết ta nhận xét rằng từ mỗi cách sắp xếp 6 mẫu tự đã cho, nếu ta phân biệt 3 mẫu tự P (tức là ta đánh chỉ số cho các mẫu tự P và xem chúng khác nhau) thì ta sẽ có 3! = 6 cách sắp xếp khác nhau. Ví dụ 6 cách sắp xếp sau:
P1 E P2 P3 E R, P1 E P3 P2 E R, P2 E P1 P3 E R, P2 E P3 P1 E R, P3 E P1 P2 E R, P3 E P2 P1 E R. Cả 6 cách sắp xếp nầy trùng với cách sắp xếp
cách sắp xếp dãy 6 mẫu tự trong đó các mẫu tự P đã được đánh chỉ số ta sẽ có 2 cách sắp xếp khác nhau nếu các mẫu tự E được phân biệt bằng cách đánh chỉ số cho chúng. Chẳng hạn, Nếu phân biệt 2 mẫu tự E thì sự sắp xếp P1 E P2 P3 E R có 2 cách sắp xếp tương ứng là P1 E1 P2 P3 E2 R và P1 E2 P2 P3 E1 R. Từ đó chúng ta có:
(2!).(3!).(Số cách sắp xếp của các mẫu tự trong từ PEPPER) = (Số hoán vị của 6 phần tử P1, E1, P2, P3, E2, R)
= 6
Suy ra số cách sắp xếp của các mẫu tự trong từ PEPPER là 6! / (3! 2!) = 60
Một cách tổng quát, ta có số công thức về số hoán vị lặp của n phần tử được phát biểu trong định lý sau đây:
Trong bài toán đếm, một số phần tử có thể giống nhau. Khi đó cần phải cẩn thận, tránh đếm chúng hơn một lần. Ta xét thí dụ sau.
Thí dụ 9: Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ
cái của từ SUCCESS?
Vì một số chữ cái của từ SUCCESS là như nhau nên câu trả lời không phải là số hoán vị của 7 chữ cái được. Từ này chứa 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U và 1 chữ E. Để xác định số xâu khác nhau có thể tạo ra được ta nhận thấy có C(7,3) cách chọn 3 chỗ cho 3 chữ S, còn lại 4 chỗ trống. Có C(4,2) cách chọn 2 chỗ cho 2 chữ C, còn lại 2 chỗ trống. Có thể đặt chữ U bằng C(2,1) cách và C(1,1) cách đặt chữ E vào xâu. Theo nguyên lý nhân, số các xâu khác nhau có thể tạo được là:
3 1C = = 7!4!2 1! ! 3! 4. ! 2. ! 2. ! 1. ! 1. ! 1. ! 0. ! = 7! 3! 2. ! 1. ! 1. ! = 420.
Mệnh đề 2: Số hoán vị của n phần tử trong đó có n1 phần tử như nhau thuộc loại 1,
n2 phần tử như nhau thuộc loại 2, ..., và nk phần tử như nhau thuộc loại k, bằng
Giới thiệu:
Một số vấn đề được đếm (counting problem) mà không thể được giải quyết bằng cách sử dụng các kỹ thuật được thảo luận trong chương 4, nhưng chúng lại có thể được giải quyết bằng cách tinding các mối quan hệ. được gọi là các quan hệ truy hồi (Recurrence Relations). Giữa các thuật ngữ của một chuỗi, như là đã được làm trong vấn đề bao gồm bacteria. Chúng ta sẽ tìm
hiểu sự đa dạng của các Counting problem mà có thể được mô hình hóa (làm mẫu) sử dụng các quan hệ truy hồi.
Chúng tôi sẽ phát triển các phương thức trong phần này và trong phần dưới để tìm công thức rõ ràng cho các thuật ngữ của các chuỗi mà chắc chắn đáp ứng được các loại quan hệ truy hồi.