3.5.1 Định nghĩa
Quy nạp và đệ quy là hai khái niệm cực kì quan trọng trong toán học và trong tin học. Vì vậy nắm rõ được bản chất về mặt kiến thức, về mặt phương pháp cũng như tư duy là điều bất cứ ai trong chúng ta đều mong muốn hướng tới. Thêm vào đó, khá nhiều bạn trong chúng ta còn cho rằng, bản chất của phép quy nạp chính là phép đệ quy đòi hỏi phép quy nạp.
Về mặt định nghĩa, người ta cho rằng, quy nạp là kết luận đi từ trường hợp riêng đi tới trường hợp tổng quát. Nghĩa là, kết luận tổng quát dựa trên việc nghiên cứu các tính chất của nhiều sự kiện, nhiều thí nghiệm hay nhiều quan sát riêng lẻ. Nếu kết luận chung dựa vào nghiên cứu tất cả các sự kiện riêng (các đối tượng, các hình, các số, vv…) thì quy nạp
chung dựa vào nghiên cứu một phần của tâp hợp tất cả các sự kiện
(các đối tượng) thì quy nạp được gọi là không đầy đủ hay không hoàn chỉnh.
Trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học ( số học, hình học, giải tích...) ta thường gặp những bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến n.
Một cách khái quát, để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) là một mệnh đề đúng
với mọi giá trị nguyên dương của n, ta thực hiện hai bước sau:
Bước 1: ( bước cơ sở hay bước mở đầu) Chứng minh P(n) đúng khi n=1. Bước 2: ( bước quy nạp hay bước di truyền) Với k là một số nguyên dương, xuất phát từ giả thiết ( được gọi là giả thiết quy nạp) P(n) đúng với n=k, ta chứng minh P(n) cũng là mệnh đề đúng với n=k+1.
Chú ý rằng khi chúng ta sử dụng quy nạp toán học để chứng minh, đầu tiên chúng ta chỉ ra rằng P(1) là đúng. Khi đó chúng biết rằng P(2) là đúng, bởi vì P(1) đã ngầm dẫn tới P(2). Hơn nữa, chúng ta cũng chỉ ra được P(3) là đúng vì P(2) đã ngầm dẫn tới P(3). Tiếp tục như vậy P(k) là đúng cho bất kỳ số nguyên dương k nào. Chú ý thêm rằng trong chứng minh quy nạp chúng ta không giả định là P(n) đúng với mọi số nguyên dương! Đó chỉ là việc giả định rằng nếu P(n) mà đúng thì P(n+1) cũng đúng.
Một minh họa hình thức cho quy nập toán học có thể hình ảnh hóa bằng hiệu ứng đổ
của các quân domino.
Tại sao chứng minh quy nạp là đúng? Kỹ thuật chứng minh quy nạp dựa trên cơ sở lập luận chính xác. Giả sử chúng ta đã có P(1) là đúng và mệnh đề P(n)P(n+1) là đúng cho mọi số nguyên n. Để chỉ ra P(n) đúng cho mọi số nguyên dương, giả định có ít nhất một số P(n) là sai. Thì khi đó tập S gồm các số nguyên dương để P(n) sai là khác rỗng. Từ đó ta kết luận S có ít nhất 1 phần tử, trong các phần tử sai đó ta chọn một phần tử, chúng
ta ký hiệu là k sao cho P(k) sai còn P(k-1) đúng
(chúng ta luôn chọn được k như vậy nếu không thì sao? Sinh viên có thể chứng minh điều này? ). Rõ ràng rằng k khác 1, bởi vì P(1) là đúng (đã được kiểm tra). Bởi vì k dương và lớn hơn 1 nên k-1 nguyên dương. Hơn nữa k-1 nhỏ hơn k, và k-1 không nằm trong tập S nên P(k-1) đúng. Phép kéo theo P(k-1)P(k) đúng, mà P(k-
1) đúng nên P(k) phải đúng. Vì vậy, điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn của k. Như
vậy, P(n) đúng cho mọi số nguyên dương n.