3.1 GIỚI THIỆU (tầm quan trọng, ứng dụng, các thuật ngữ)
Suy luận được xem là một trong những nền tảng xây dựng nên các ngành khoa học tự nhiên. Từ xưa đến nay, nhờ suy luận mà người ta có thể nhận thức được cái chưa biết từ những cái đã biết. Suy luận còn là cơ sở của sự sáng tạo. Từ các phán đoán, đưa đến các chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ một vấn đề nào đó.
Suy luận toán học dựa trên nền tảng của các phép toán mệnh đề, chủ yếu là phép kéo theo. Để chứng minh một vấn đề nào đó, thông thường người ta phải xác định điểm ban đầu (có thể gọi là giả thiết) và điểm kết thúc (gọi là kết luận). Quá trình đi từ giả thiết đến kết luận gọi là quá trình chứng minh và quá trình này đươc thực thi bằng cách nào thì gọi đó là phương pháp chứng minh. Một khẳng định mà chưa được chứng minh được gọi là phỏng đoán.
Trong toán học, chứng minh là công việc đưa ra minh chứng thuyết phục (dựa vào những kiến thức chuẩn trong ngành học) một mệnh đề toán học là đúng cho mọi trường hợp, không trừ một trường hợp cụ thể nào. Một mệnh đề đã được chứng minh thì gọi là các định lý và nó có thể được sử dụng để chứng minh cho các mệnh đề khác .
Vai trò của chứng minh:
Các phương pháp chứng minh là rất quan trọng vì không những chúng thường được sử dụng trong toán học mà còn được áp dụng nhiều trong tin học. Ví dụ, sự kiểm tra tính đúng đắn của một chương trình, của một hệ điều hành, xây dựng các luật suy diễn trong lĩnh vực trí tuệ nhận tạo... Do đó, chúng ta cần phải nắm vững các phương pháp chứng minh.
• Trong toán học chứng minh là :
– Một luận cứ đúng đắn (dựa trên lập luận logic vững chắc) and và đầy đủ (rõ ràng và chi tiết) dựa trên những thiết lập không thể chối cái của các khẳng định toán học.
• Tại sao luận cứ lại phải đúng đắn và đầy đủ lại?
– Đúng đắn sẽ tránh cho chúng ta những ngộ nhận từ chính chúng ta.
Correctness prevents us from fooling ourselves.
– Đầy đủ cho phép bất kỳ ai cũng có thể kiểm định kết quả.
đầy đủ cho
bất kỳ một chứng minh nào!
• Các phương pháp chứng minh một luận cứ toán học có thể được công thức
hóa thành các luật suy diến.
• Các chứng minh toán học có thể được thể hiện hình thức như là chính các cấu trúc rời rạc. Một số thuật ngữ: Một hệ thống toán học bao gồm • Định lý (Theorem) – Một mệnh đề được chứng minh là đúng. • Tiên đề, giả thiết (Axioms, hypotheses)
– Một giả định (không chứng minh) định nghĩa về các cấu trúc mà
chúng ta dùng để lập luận.
• Luật suy diễn (rules of inferences)
– Một hình thức dùng logic để lập luận từ những giả thiết để đi tới kết
luận.
• Bổ đề (Lemma) - Một định lý nhỏ được dùng như là một bước vững chắc để
chứng minh định lý chính.
• Hệ quả (Corollary) – Một định lý nhỏ được chứng minh một cách dễ dàng từ định lý chính.
• Sự phỏng đoán (Conjecture) – Một khẳng định mà chưa được chứng minh
• Lý thuyết (Theory) – Bao gồm một tập các định lý đã được chứng minh từ
Có hai kiểu chứng minh trong chứng minh toán học [3]. Thứ nhất là chứng minh informal proof, ở đó những diễn tả bằng ngôn ngữ tự nhiên nhằm hướng mọi người tới sự thật của định lý. Đây là kiểu chứng minh đặc trưng trong toán học. Bởi vì dùng ngôn ngữ tự nhiên, nó phụ thuộc nhiều vào kiến thức nền tảng chứng minh của người đọc.
Thứ hai là kiểu chứng minh hình thức (formal proof). Đó là việc sử dụng một chuỗi các ký hiệu và những định nghĩa chính xác. Chứng minh hình thức và tính chất của nó được nghiên cứu trong lý thuyết chứng minh. Chứng minh hình thức không được phổ biến.