Định nghĩa:
Một tập hợp là một sự lựa chọn các đối tượng được định nghĩa, trong đó mỗi một đối tượng được gọi là một thành viên hay là một
phần tử của tập đó. Ký hiệu x ∈A
nghĩa là x là một phần tử của tập A. Ký hiệu x ∉ A nghĩa là x không là thành viên của A.
Tập rỗng: ∅ = {} = {x|False} (“null”, “the empty set”) là tập duy nhất không chứa
bất kỳ một phần tử nào.
Biểu diễn tập hợp
Không phải mọi tập hợp đều cần phải liệt kê rành mạch theo thứ tự nào đó. Chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng mà nhờ chúng có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không.
Tập hợp có thể được xác định bằng lời: A là tập hợp bốn số nguyên dương đầu tiên. B là tập hợp các màu trên quốc kỳ Pháp.
Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng giữa cặp dấu {}, chẳng hạn:
C = {4, 2, 1, 3}
D = {đỏ, trắng, xanh}
Các tập hợp có nhiều phần tử có thể liệt kê một số phần tử. Chẳng hạn tập hợp 1000
số tự nhiên đầu tiên có thể liệt kê như sau: {0, 1, 2, 3,..., 999},
Tập các số tự nhiên chẵn có thể liệt kê: {2, 4, 6, 8,... }.
Tập hợp F của 20 số chính phương đầu tiên có thể cho như sau F = {n2 / n là số nguyên và 0 ≤ n ≤ 19}
Tập hợp có thể xác định bằng đệ quy. Chẳng hạn tập các số tự nhiên lẻ L có thể cho như sau:
Nếu thì
Các tập hợp có thể biểu diễn bằng biểu đồ Venn, tên của nhà toán học người anh John Venn, giới thiệu năm 1881. Trong đó biểu đồ Venn, tập vũ trụ U, chứa tất cả các đối tượng được quan tâm, biểu diễn bằng hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật
Biểu diễn tập hợp trong máy tính:
hiệu quả đối
với các phép toán tập hợp.
Dùng các chuỗi bit để biểu diễn sự tồn tại của một phần tử trong tập hợp. - Xét tập vũ trụ U có n phần tử. Ví dụ U={a,b,c,d,e}
- Mỗi tập A Ucó thể biểu diễn bằng chuỗi gồm n bit. Ví dụ A={a,d,e} được biểu diễn bằng 10011. - Khi n lớn thì sao? Dùng một danh sách có thứ tự. 4.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 4.2.1 Các định nghĩa Hợp: Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A B Ta có A B = {x: x A hoặc x B} {a,b,c}∪{2,3} = {a,b,c,2,3} {2,3,5}∪{3,5,7} = {2,3,5,3,5,7} ={2,3,5,7}
Giao: Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A B Ta có A B = {x: x A và x B} Ví dụ: {a,b,c}∩{2,3} = ?
{2,4,6}∩{3,4,5} = ?
Hiệu: Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng
không thuộc B, ký hiệu A B
Ta có: A \ B = {x: x A và x B} Lưu ý, A \ B B \ A
Phần bù: là hiệu của tập hợp con. Nếu A B thì B \ A được gọi là phần bù của A
trong B, ký hiệu CAB
Phần bù của A trong B
Trong nhiều trường hợp, khi tất cả các tập hợp đang xét đều là tập con của một tập hợp U (được gọi là tập vũ trụ-đôi khi có nghĩa như trường hay không gian - trong vật lý), người ta thường xét phần bù của mỗi tập A, B, C,... đang xét trong tập U, khi đó ký hiệu phần bù không cần chỉ rõ U mà ký hiệu đơn giản là CA,CB,... hoặc
, ... Ví dụ:
Z − N = {… , -1, 0, 1, 2, … } − {0, 1, …
}
= {x | x is a negative integer} = {… , -3, -2, -1}
Tích đề các
Tích Đề-các của hai tập hợp
tích Đề-các (Cartesian product). Xét trường hợp đơn giản gồm hai tập . Tích Đề-các là tập tất cả các cặp có trật tự sắp xếp được sinh ra bởi một phần tử thuộc với phần tử đứng kế tiếp . Biểu diễn:
Tích Đề-các của một số hữu hạn nhiều hơn hai tập
Giả sử bây giờ chúng ta có một lớp các tập . Nếu tập hữu hạn, chẳng hạn có dạng , thì tích Đề-các được
định nghĩa là một tập hợp của các bộ -số sao cho
với mỗi
. Ta gọi là tọa độ thứ của , và là cấu phần thứ của .
Tích Đề-các của vô số các tập hợp
Khi là một họ không đếm được hoặc vô hạn các tập hợp, để định nghĩa tích Đề- các , ta cần sử dụng đến khái niệm hàm số (sẽ đề cập sau). Theo cách này,
được định nghĩa là một tập tất
cả các hàm sao cho: .