Chứng minh bằng phản chứng có thể áp dụng cho dạng suy diễn, pq, trong phần trên. Tuy nhiên nó cũng là một phương pháp rất hữu ích cho chứng minh các mệnh đề tổng quát.
Giả sử rằng phủ định của q có thể được tìm thấy trong ¬p → q là đúng, khi
đó ¬p → F đúng thì suy ra ¬p phải là sai, nghĩa là p phải đúng. Kỹ thuật này được
sử dụng trong phản chứng.
Phương pháp chứng minh trực tiếp không phải bao giờ cũng sử dụng được trong việc chứng minh ngay cả đối với những bài toán khá đơn giản như bài toán sau đây:
Bài toán: Chứng minh rằng không có hai số nguyên dương m và n sao
cho
Bằng cách suy nghĩ để tìm một cách chứng minh trực tiếp ta sẽ gặp phải bế tắc: Với q = m/n là một số hữu tỉ cho trước (m và n là các số nguyên dương) ta không biết làm thế nào để suy ra một cách trực tiếp rằng q2 ≠ 2.
Ðể bằng phản chứng một khẳng định hay một mệnh đề nào đó, ta tìm cách rút ra từ mệnh đề đó một điều rõ ràng là vô lý hay một sự mâu thuẫn. Về mặt kỹ thuật ta thường giả sử rằng mệnh đề cần chứng minh là sai rồi từ đó suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết hay các tiền đề của bài toán, từ đó đi đến kết luận rằng mệnh đề
la` đúng. Ngoài ra phép chứng minh phản chứng còn có thể được thực hiện như sau: ta giả sử mệnh đề cần chứng minh là sai, kết hợp với giả thiết
đã cho để suy ra được một điều mâu thuẫn nào đó rồi từ đó kết luận rằng mệnh đề la` đúng.
Trở lại bài toán trên như một ví dụ, chúng ta có thể thực hiện việc chứng minh một
cách dễ dàng nhờ phương pháp chứng minh phản chứng.
Ví
dụ 1: Chứng minh rằng không có hai số nguyên dương m và n sao cho
Chứng minh phản chứng:
Giả sử ta có mệnh đề ngược lại của điều cần phải chứng minh, tức là giả sử rằng:
Có hai số nguyên dương m và n sao cho .
Vì một phân số có thể viết dưới dạng tối giản, nên ta có thể giả thiết thêm rằng các số dương m và n trong mệnh đề (1) nguyên tố cùng nhau, tức là: m và n không có ước số chung lớn hơn 1.
Do m2 = 2n2, từ (1) ta suy ra:
Có hai số nguyên dương m và n nguyên tố cùng nhau sao cho m2 = 2n2. Với m và n là hai số nguyên dương thỏa mãn điều kiện trong mệnh đề (2) ở trên thì ta dễ dàng lần lượt suy ra được các khẳng định sau đây:
m và n nguyên tố cùng nhau. m2=2 n2. m là số chẵn.
m là số chẵn, tức là m = 2k với k là một số nguyên dương. n2 = 2k2.
n2 là số chẵn. n là số chẵn.
2 là một ước số chung của m và n, và 2 > 1. Sự mâu thuẫn do (3) và (10). Từ lập luận trên ta đi đến kết luận:
không có hai số nguyên dương m và n sao cho .
Ghi chú: Ngoài cách chứng minh phản chứng ta còn có thể thực hiện phép chứng minh gián tiếp mà về thực chất phương pháp này là cùng loại với phương pháp chứng minh phản chứng. Trong cách chứng minh gián tiếp người ta thiệt lập sự đúng đắn của một mệnh đề bằng cách chứng minh rằng mệnh đề ngược lại (tức là mệnh đề phủ định của mệnh đề đó) là sai.
Ví
chứng.
Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng
luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác.
Giải : Trước hết sắp xếp các đoạn đã cho theo thứ tự tăng dần của độ dài a1, a2,
..., a7, và chứng minh rằng trong dãy đã xếp luôn tìm được 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối (vì điều kiện để 3 đoạn có thể ghép thành một tam giác là tổng của 2 đoạn nhỏ hơn đoạn thứ ba).
Giả sử điều cần chứng minh là không xảy ra, nghĩa là đồng thời xảy ra các
bất đẳng thức sau:
a1 + a2 ≤ a3 a2 + a3 ≤ a4 a3 + a4 ≤ a5 a4 + a5 ≤ a6 a5 +
a6 ≤ a7
Từ giả thiết a1 , a2 có giá trị lớn hơn 10, ta nhận được a3 > 20 . Từ a2 >10 và a3 > 20
ta nhận được a4 > 30, a5 > 50, a6 > 80 và a7 > 130. Điều a7 > 130 là mâu thuẩn với giả thiết các độ dài nhỏ hơn 100. Có mâu thuẩn này là do giả sử điểu cần chứng minh không xảy ra.
Vậy, luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối. Hay nói cách khác là 3 đoạn này có thể ghép thành một tam giác.