MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THEO HƯỚNG
2.3.1. Biện pháp 1: Tổ chức các tình huống tạo điều kiện cho HS hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề
hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: "Tri thức không phải là điều có thể dễ dàng cho không. Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường không thể trao ngay cho HS điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để HS chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo” [23, tr. 144].
Theo quan điểm về dạy của lí thuyết tình huống, quá trình dạy toán là quá trình thầy giáo chủ động tạo ra các tình huống học tập cho HS, vai trò chủ yếu
của người thầy không phải là đọc bài giảng mà tạo ra những tình huống cho HS thiết lập các cấu trúc nhận thức cần thiết.
Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề. Trong dạy học, một một tình huống gợi vấn đề chính là một mâu thuẫn giữa kiến thức, kĩ năng đã có với yêu cầu để giải quyết vấn đề. Như vậy “vấn đề” ở đây vừa là đối tượng vừa là động lực thúc đẩy hoạt động giải quyết vấn đề. Trong dạy học Toán, đây là khâu đầu tiên đòi hỏi GV phải dựa vào nội dung của vấn đề toán học cần giải quyết và vốn tri thức, kĩ năng đã có ở HS để tổ chức được các hoạt động chứa tình huống gợi vấn đề: gợi ra nhu cầu cần giải quyết vấn đề.
Để thực hiện biện pháp này, GV cần biết tổ chức các tình huống gợi vấn đề - bài toán, điều khiển HS hoạt động nhằm nhận ra trong tình huống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; tìm thấy hướng giải quyết bài toán - vấn đề rồi bằng kiến thức và kĩ năng đã có để tiến hành thực hiện các hoạt động toán học (tính toán, biến đổi, suy luận, …) để đi đến kiến thức mới - lời giải bài toán, thực hiện được yêu cầu của vấn đề.
Chẳng hạn khi dạy học định lí, GV không cung cấp ngay nội dung định lí mà tổ chức cho HS phát hiện định lí thông qua các hoạt động như quan sát, dự đoán, thử nghiệm rồi bằng các hoạt động suy luận để đi đến kiến thức mới.
Ví dụ 2.1: Để HS phát hiện sự tồn tại của đường thẳng vừa cắt vừa vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau, chúng ta có thể tổ chức các tình huống sau đây nhằm để HS hoạt động phân tích, so sánh, tổng hợp, từ đó rút ra nội dung định lí :
Tình huống nhằm phát hiện định lí:
Hoạt động 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1, nhận xét về mối quan hệ của đường thẳng AB với hai đường thẳng chéo nhau AD, BB1 ?
AB vừa cắt vừa vuông góc với AD, BB1
Hoạt động 2: Cho tam diện vuông OABC đỉnh O với OM ⊥ AB. Nhận xét về mối quan hệ giữa OM và hai đường thẳng chéo nhau OC, AB?
Mong đợi câu trả lời:
OM vừa cắt vừa vuông góc với OC, AB
GV nói rằng AB và OM được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD, BB1 và OC, AB.
- Trong trường hợp bất kỳ có hay không một đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau?
Hoạt động 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tìm đường thẳng c cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b.
GV có thể hướng dẫn HS cách tìm đường thẳng c thông qua các câu hỏi định hướng sau:
- Để xác định đường thẳng c ta cần xác định những yếu tố nào?
Xác định hai điểm hoặc một điểm và phương của c.
- Trong bài toán này thì yếu tố nào đã biết?
Hình 2 Hình 3 C1 D1 A1 B1 D C A B C O B A M P Q a c b A B Hình 4
Phương của c là đã biết (c có phương vuông góc với mặt phẳng (Q) đi qua b và song song với a).
- Hãy tìm cách xác định điểm thuộc c?
Dựng mp(P) đi qua a và vuông góc với (Q), khi đó (P) cắt b tại điểm B. Gọi c là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (Q) thì c nằm trong (P), do đó c cắt a tại A. Khi ấy c là đường thẳng phải tìm.
- Đường thẳng c có duy nhất không?
Giả sử có đường thẳng c’ khác c cắt và vuông góc với hai đường thẳng a và b, suy ra c’ ⊥ mp(Q) nên c // c’, như vậy a và b cùng thuộc mặt phẳng xác định bởi c và c’. Điều này trái với giả thiết a và b chéo nhau.
Thông qua các tình huống nêu trên, HS khái quát phát biểu nội dung định lí.
Ví dụ 2.2: Dạy định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng: “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song”.
Tạo tình huống phát hiện định lí:
Cho ( ) ( )P ∩ Q =a Q, ( ) ( )∩ R =b R, ( ) ( )∩ P =c, a, b, c phân biệt.
- Có những trường hợp nào xảy ra giữa hai đường thẳng a, b?
HS thảo luận và đưa ra các trường hợp sau: 1) a cắt b.
2) a // b.
3) a chéo b. Không thể xảy ra vì a và b đều thuộc (Q). TH1: a cắt b. Gọi O = a b∩ . - Nhận xét gì về điểm O và đường thẳng c? O = a∩b O a O (P) O c O b O (Q) ∈ ∈ ⇒ ⇒ ⇒ ∈ ∈ ∈ Vậy a, b, c đồng quy.
TH2: a song song với b.
- Hãy xét vị trí giữa hai đường thẳng a, b và c?
Ta có: (P) a,(R) b (P) (R) c,c // a,c // b a // b ⊃ ⊃ ⇒ ∩ = . Từ đó HS nhận xét và rút ra nội dung định lí.
Ví dụ 2.3: Để dạy định lí hàm số cosin, GV có thể tổ chức các tình huống có vấn đề, điều khiển HS hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề như sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A.
1. Hãy tìm công thức biểu thị cạnh góc vuông b theo hai cạnh a, c và cosB. 2. Hãy xác lập các công thức tương tự cho các cạnh a,c.
Lời giải mong đợi:
1. b2 = a2 - c2 = a2 + c2 - 2c2 = a2 + c2 - 2c.c = a2 + c2 - 2a.c.cosB. 2. Lập luận tương tự câu (1) ta có:
a2 = b2 + c2 - 2b.c.cosA. c2 = a2 + b2 - 2a.b.cosC.
Bài toán 2: Cho tam giác đều ABC.
1. Hãy phát biểu các công thức tương tự với các công thức ở bài toán trên cho các cạnh của tam giác đều đã cho.
2. Hãy chứng minh hay bác bỏ các công thức vừa nêu.
Lời giải mong đợi:
1. a2 = b2 + c2 - 2b.c.cosA. b2 = a2 + c2 - 2a.c.cosB. c2 = a2 + b2 - 2a.b.cosC.
2. Ta có tam giác ABC đều nên:
a2 = b2 = c2 và cosA = cosB =cosC = 1
2. Từ đó suy ra:
a2 = b2 + c2 - 2c2.1
2
⇒ a2 = b2 + c2 - 2b.c.cosA.
Tương tự ta có hai kết quả còn lại.
- Các em có nhận xét gì về kết quả thu được? Hãy khái quát hoá các kết quả đó?
Bằng các hoạt động so sánh, phân tích, tổng hợp, HS khái quát hoá rút ra công thức sau:
Cho tam giác ABC bất kì. Khi đó ta có: a2 = b2 + c2 - 2b.c.cosA. (1) b2 = a2 + c2 - 2a.c.cosB. (2) c2 = a2 + b2 - 2a.b.cosC. (3)
GV xác nhận thành quả của HS và tiếp tục hướng dẫn HS chứng minh vấn đề vừa phát hiện ra.
Các hệ thức mà các em vừa tìm được là nội dung của định lí cosin trong tam giác. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh định lí này.
- Từ những kiến thức đã biết, có cách nào để tính độ dài đoạn thẳng BC?
Câu trả lời mong đợi:
Tính độ dài của vectơ BCuuur. Ta có: BC AC ABuuur uuur uuur= − (*) Bình phương 2 vế của (*)được:
2 2 2 2 2 2 BC AC AB 2AC.AB BC AC AB 2AC.ABcosA = + − ⇔ = + −
uuur uuur uuur uuuruuur
Hay: a2 = b2 + c2 - 2b.c.cosA.
Chứng minh (2), (3) tương tự như trên.
Sau khi học xong định lí cosin, GV có thể tổ chức cho HS phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua các câu hỏi gợi ý sau:
- Ngoài cách viết trong SGK, em hãy thử tìm cách thể hiện khác của định lý?
HS suy nghĩ, phân tích và tìm cách biến đổi cosA như sau:
2 A 2 A
cosA 2 cos 1 1 2sin
2 2
Hoặc biến đổi: bc.cosA = bc.sinA.cotA = 2S.cotA Khi đó công thức (1) có thể viết lại như sau:
2 2 2 2 2 2 A a (b c) 4bc.cos (1') 2 A a (b c) 4bc.sin (2') 2 = + − = − − 2 2 2 a =b + −c 4S.cot A (3')
Từ cách viết đó GV tổ chức cho HS giải các bài toán sau:
Bài toán 1: Trong các tam giác ABC có Aµ = α không đổi và tổng hai cạnh
b c m+ = không đổi. Tìm tam giác có chu vi bé nhất và diện tích lớn nhất. Bài toán 2: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: sinA a
2 ≤ 2 bc .
Bài toán 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C và ba cạnh tương ứng là a, b, c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng:
cotA + cotB + cotC = a2 +b2 +c2
R
abc .
Từ giả thiết và yêu cầu của các bài toán, HS dễ dàng nhận thấy có thể áp dụng công thức nào nêu trên để giải.
Khi dạy giải bài tập toán, GV có thể tổ chức cho HS hoạt động phân tích, biến đổi bài toán để tìm tòi lời giải bài toán và phát hiện bài toán mới.
Ví dụ 2.4: Bài toán: “Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Xác định đường vuông góc chung của AD’ và BD”.
Có thể hướng dẫn HS hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề ở bài toán này như sau:
Cách 1: Dựa vào các bước xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Mặt phẳng (DBC’).
- Muốn xác định hình chiếu vuông góc của AD’ lên mặt phẳng (DBC’), ta phải xác định điều gì?
Xác định phương chiếu vuông góc. Đó là phương AC’.
- Hãy tìm hình chiếu vuông góc của AD’ lên mặt phẳng (DBC’)? Từ đó xác định đường vuông góc chung cần dựng.
Chọn điểm I. Từ I kẻ IJ // A’C cắt DC tại J, nối DM cắt IJ tại N, với M = C’O ∩A’C và O = BD ∩AC. Từ N kẻ đường song song với BC’ cắt DB tại K. Khi đó NK chính là hình chiếu vuông góc của AD’ lên mặt phẳng (DBC’).
Từ K kẻ đường song song với IJ cắt AD’ tại H. Đường thẳng HK chính là đường cần dựng.
Với cách điều khiển như trên, bằng các hoạt động phân tích, HS dễ dàng tìm được cách giải bài toán. Ngoài ra, có thể điều khiển HS hoạt động phân tích theo cách sau:
Cách 2: Dựa vào phân tích đi lên.
- Nếu HK là đường vuông góc chung của AD’ và BD thì HK có mối quan hệ gì với mặt phẳng (BDC’)?
HK vuông góc với (BDC’)
- HK và A’C có mối quan hệ gì?
HK // A’C.
- Nhận xét gì về giao tuyến của ba mặt phẳng (HKCA’),(ADD’A’),(ABCD)? H K J N I M O D C B C' D' A' B' A O K H Q D C B C' A B' A' D' Hình 5
Đồng quy tại điểm Q thuộc AD và Q là trung điểm của AD. Vì:
AQ AQ QH QK QD
AD = A'D' =HA' = KC = BC .
- Từ đó hãy xác định vị trí của H và K?
H = AD’ ∩A’Q, K = BD ∩QC.
Ví dụ 2.5: Xuất phát từ bài toán: “Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, với a = BC, b = CA, c = AB. Chứng minh: aIA bIB cIC 0.uur+ uur+ uur ur= (*)”. Có thể hướng dẫn HS phát hiện bài toán mới thông qua các hoạt động sau:
Hoạt động 1: Cho HS chuyển đổi biểu thức vectơ (có hướng)
+ +
uur uur uur
aIA bIB cIC sang biểu thức vô hướng (độ dài) và phát hiện vấn đề sau khi
biến đổi.
Ta có: aIA bIB cIC 0uur+ uur+ uur r= ⇔ (aIA bIB cICuur+ uur+ uur)2 =0
⇔a IA2 2 +b IB2 2 +c IC2 2 +2abIA.IB 2bcIB.IC 2acIA.IC 0uur uur+ uur uur+ uur uur=
⇔a IA2 2 +b IB2 2 +c IC2 2 +ab(IA2 +IB2 −AB ) bc(IB2 + 2 +IC2 −BC )2
+ca(IC2 +IA2 −AC ) 02 =
⇔aIA (a b c) bIB (a b c) cIC (a b c) abc(a b c) 02 + + + 2 + + + 2 + + − + + = ⇔aIA2 +bIB2 +cIC2 =abc.
Đến đây thì HS phát hiện được: “Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC thì: aIA2 +bIB2 +cIC2 =abc”. (1)
Hoạt động 2: Nếu ta thay I là tâm đường tròn nội tiếp bởi điểm M bất kì vào biểu thức aIA bIB cICuur+ uur+ uur thì kết quả sẽ như thế nào? Quan hệ giữa điểm M
và I sẽ ra sao? Ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = + + = + + + + + = + + + + + = + +
ur uuuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur uur
uuur
V a.MA b.MB c.MC a MI IA b MI IB c MI IC
a b c MI a.IA b.IB c.IC a b c MI
Nhận xét: V 0ur r≠ ⇔ M ≡ Ivà
aMA bMB cMCuuuur+ uuur+ uuur = + +(a b c)MI (2)
Hoạt động 3: Thay I bởi điểm M bất kì vào biểu thức (aIA bIB cICuur+ uur+ uur)2
Biến đổi và nhận xét kết quả thu được. GV hướng dẫn HS biến đổi như sau:
( )2
aMA bMB cMCuuuur+ uuur+ uuur
2 2 2 2 2 2
a MA b MB c MC 2abMA.MB 2bcMB.MC 2acMA.MC
= + + + uuuur uuur+ uuur uuur+ uuuur uuur
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a MA b MB c MC ab(MA MB AB ) bc(MB MC = + + + + − + + 2 2 2 2 BC ) ca(MC MA AC ) − + + − 2 2 2 aMA (a b c) bMB (a b c) cMC (a b c) abc(a b c) = + + + + + + + + − + + ( )( ) = + +a b c aMA2 +bMB2 +cMC2 −abc (*) Do ( )2
aMA bMB cMCuuuur+ uuur+ uuur ≥0 nên (*) suy ra:
2 2 2
aMA +bMB +cMC ≥abc (3)
Tiếp theo GV hướng dẫn HS tiếp tục biến đổi vế trái của (3).
( ) (2 ) (2 )2
2 2 2
aMA +bMB +cMC =a MI IAuuur uur+ +b MI IBuuur uur+ +c MI ICuuur uur+
= ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
aMIuuur +aIAuur +2aMI.IAuuur uur+ bMIuuur +bIBuur +2bMI.IBuuur uur+ cMIuuur +cICuur + 2cMI.ICuuur uur
( ) ( ) ( )
( )
= + + + + + + + +
= + + +
uuur uur uur uur
2 2 2 2
2
a b c MI a.IA b.IB c.IC 2MI a.IA b.IB c.IC
a b c MI abc
Như vậy từ bài toán ban đầu bằng các hoạt động sư phạm hướng dẫn HS phát hiện thu được các kết quả: (1), (2), (3), (4).
GV yêu cầu HS phát biểu các bài toán thu được.
Bài toán 1: Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Hãy chứng minh: aIA2 +bIB2 +cIC2 =abc.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: aMA2 +bMB2 +cMC2đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: aMA2 +bMB2 +cMC2 =k2 (k là số cho trước).
Bài toán 4: Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: aMA bMB cMCuuuur+ uuur+ uuur =k(k > 0 cho trước).