MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THEO HƯỚNG
2.3.2. Biện pháp 2: Tổ chức các tình huống tạo điều kiện cho HS hoạt động kiến tạo tri thức
hoạt động kiến tạo tri thức
Tình huống học tập có ba thành tố cơ bản (theo sơ đồ):
Trong sơ đồ trên ta hiểu môi trường là tập hợp các đối tượng: Tri thức, sự vật, quan hệ, phương pháp được GV lựa chọn thuộc phạm vi kiến thức, kĩ năng,phương pháp đã có của HS nhằm tạo điều kiện tốt nhất cho việc tìm tòi, dự đoán của HS.
Thành tố tương tác đòi hỏi phải tổ chức học tập sao cho HS có cơ hội thảo luận, trao đổi thông tin tốt nhất.
Môi trường
Phản ánh Tương tác
Thành tố phản ánh chỉ hoạt động tư duy, hoạt động kiến tạo của HS nhằm phản ánh các thuộc tính về đối tượng, quan hệ, quy luật [37, tr. 33].
Theo chủ nghĩa kiến tạo trong tâm lí học, học tập là một quá trình trong đó người học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môi trường sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những sự mất cân bằng.
Lý thuyết kiến tạo quan niệm quá trình học toán là học trong hoạt động; học là vượt qua chướng ngại, học trong tương tác xã hội; học thông qua hoạt động giải quyết vấn đề. Tương thích với quan điểm này về quá trình học tập, lý thuyết kiến tạo quan niệm quá trình dạy học là quá trình:
- GV chủ động tạo ra các tình huống học tập giúp HS thiết lập các tri thức cần thiết;
- GV kiến tạo bầu không khí tri thức và xã hội tích cực giúp người học tự tin vào bản thân và tích cực học tập;
- GV phải luôn giao cho HS những bài tập giúp họ tái tạo cấu trúc tri thức một cách thích hợp và giúp đỡ HS xác nhận tính đúng đắn của các tri thức vừa kiến tạo (Dẫn theo [36]).
Người ta thường phân biệt 4 dạng tri thức đó là: - Tri thức sự vật;
- Tri thức phương pháp; - Tri thức chuẩn;
- Tri thức giá trị.
Tri thức sự vật trong môn Toán thường là một khái niệm, một định lí, cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng Toán học,...
Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản chất: những phương pháp là những thuật giải (ví dụ như giải phương trình bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm tòi (chẳng hạn phương pháp tổng quát của Pôlya để giải bài tập Toán học).
Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn quy định về những đơn vị đo lường.
Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá [24, tr. 50].
* Khi dạy học khái niệm, định lí, bài toán, GV có thể tổ chức cho HS kiến tạo tri thức thông qua các hoạt động chủ yếu sau:
- GV xác định các tri thức kinh nghiệm đã có của HS liên quan chủ yếu đến tri thức mới cần dạy để từ đó tạo môi trường kích hoạt HS kiến tạo kiến thức;
- Tạo cơ hội tập duyệt cho HS mò mẫm dự đoán đề xuất các phán đoán, các “giả thuyết”. Từ đó, nhờ tư duy HS làm bộc lộ đối tượng mang tính động cơ, nhu cầu tìm kiếm kiến thức;
- Tổ chức cho HS thảo luận theo nhóm nhằm kiểm chứng các giả thuyết, đề xuất các cách khác nhau giải quyết vấn đề;
- GV thể thức hoá kiến thức HS tìm được.
Ví dụ 2.6: Xét quan hệ giữa hai đường thẳng a, b trong không gian khi a ⊥c, b c⊥ , a và b không có điểm chung. GV tổ chức các hoạt động sau:
Hoạt động 1: Đặt vấn đề - Dự đoán.
Trong mặt phẳng nếu a⊥c, b c⊥ suy ra a // b . Vậy trong không gian thì
mệnh đề trên có đúng nữa không?
HS dự đoán: Trong không gian nếu a⊥c, b c⊥ suy ra a // b .
Hoạt động 2: Kiểm chứng.
GV đưa ra mô hình hình lập phương ABCD.A B C D và cho HS thảo luận 1 1 1 1
rút ra nhận xét.
Trong hình lập phương ABCD.A B C D . Xét các cặp cạnh 1 1 1 1 AA và BC hay1
cặp cạnh BD và C D nhận thấy.1 1
- AA và BC cùng vuông góc với AB nhưng chúng không song song với 1
- BD và C D cùng vuông góc với DD1 1 1 nhưng chúng không song song với nhau mà chéo nhau.
Vậy dự đoán: “Trong không gian nếu a⊥c, b c⊥ suy ra a // b” là sai.
Hoạt động 3: HS điều chỉnh, thích nghi và rút ra tri thức mới. Trong không gian cho a⊥c, b c⊥ , a và b không có điểm chung.
- Nếu a, b, c⊂(P) thì a // b
- Nếu a, b, c⊄(P) thì a và b chéo nhau. GV thể chế hoá kiến thức.
Ví dụ 2.7: Dạy định lí về phương tích của một điểm đối với đường tròn.
Hoạt động 1: Đặt vấn đề
Cho đường tròn (O;R), và một điểm I cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua I và cắt đường tròn tại hai điểm M và N. Có nhận xét gì về IM.INuuur uur?
Hoạt động 2: Dự đoán
GV có thể hướng dẫn HS khảo sát các trường hợp sau:
- Khi M ≡ N ≡ T, tức cát tuyến trở thành tiếp tuyến, hãy tính IM.INuuur uur?
Ta có: IM.INuuur uur 2 2 2 2
IT IT IO R
=uur = = − (không đổi).
- Khi cát tuyến IMN đi qua tâm O, thì tích IM.INuuur uur như thế nào?
( )( )
IM.INuuur uur= IO OM IO ONuur uuuur uur uuur+ +
2 2 2 2
IO OM IO R
=uur −uuuur = −
(không đổi)
- Từ hai trường hợp trên, hãy dự
đoán kết quả cho trường hợp tổng quát (cát tuyến IM thay đổi)?
HS dự đoán: IM.IN IOuuur uur= 2 −R2(không đổi).
Hoạt động 3: Tìm cách chứng minh.
GV có thể gợi ý cho HS chứng minh trường hợp tổng quát như sau: T
M
I O
N
- Em có thể biểu thị đại lượng
2 2
IO −R thành tích vô hướng của các vectơ nào?
Mong đợi câu trả lời:
Dựng đường kính NK. Ta có: ( )( ) ( )( ) 2 2 IO R IO OK IO OK IO OK IO ON IK.IN IM.IN − = + − = + + = =
uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur
uur uur uuur uur
GV thể chế hoá kiến thức: Tích vô hướng IM.IN IOuuur uur= 2 −R2 được gọi là phương tích điểm I đối với đường tròn (O;R).
Ví dụ 2.8: Bài toán: “Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AD, BB’ sao cho AM = BN. Gọi I, J lần lượt là các trung điểm cả các cạnh AB, C’D’. Hãy xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng MN và IJ”.
Hoạt động 1: Dự đoán
GV hướng dẫn HS khảo sát các trường hợp sau:
- Khi điểm M trùng với điểm A, điểm N trùng với điểm B. Ta có: AB ⊥IJ. Suy ra MN ⊥ IJ.
- Khi điểm M trùng với điểm D, điểm N trùng với điểm B’.
HS dễ dàng nhận thấy tứ giác IDJB’ là hình thoi nên IJ cắt và vuông góc với B’D. Nghĩa là: MN ⊥ IJ.
- Khi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và BB’.
Gọi O là trung điểm B’D, khi đó tứ giác OMIN là hình thoi nên MN cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm của đoạn MN.
Từ đó GV yêu cầu HS phát biểu mệnh đề tổng quát.
Hoạt động 2: Tìm cách chứng minh Hình 8 M K O I N
Bằng cách hướng dẫn HS phân tích kết luận MN cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm của đoạn MN. GV có thể hướng dẫn HS chứng minh theo các hướng sau:
Hướng 1: Sử dụng phép đối xứng trục. Chứng minh N là ảnh của M qua phép đối xứng trục IJ.
Hướng2: Sử dụng phương pháp vectơ. Chứng minh:
+IM, IN, IJuuur uur ur đồng phẳng. (1) + MN, IJuuuur ur khác phương. (2) + MN.IJ 0uuuur ur= . (3)
Hướng 3: Sử dụng phương pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), D(0, 1, 0), A’(0, 0, 1). Yêu cầu HS lập luận chứng tỏ toạ độ trung điểm của MN thỏa mãn phương trình đường thẳng IJ trong hệ toạ độ được chọn ở trên và chứng minh MN.IJ 0uuuur ur= .
GV thể chế hoá kiến thức.
Ví dụ 2.9: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho: MA NB PC
MB = NC =PA . Nhận xét gì về trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP.
Để tìm tòi kết quả bài toán trên, GV có thể điều khiển HS hoạt động như sau:
Hoạt động 1: Dự đoán Xét trường hợp riêng.
Cho MA NB PC
MB = NC = PA =1. Khi đó M, N, P lần lượt trùng với trung điểm của các cạnh AB, BC, CA trong tam giác ABC.
O J J I A' D' C' D N B' C B A M Hình 9
- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Có nhận xét gì về vị trí điểm G đối với tam giác MNP?
HS dễ dàng nhận thấy G cũng là trọng tâm của MNP∆ .
- Trong trường hợp tổng quát vấn đề xảy ra như thế nào? Có còn đúng nữa không? Hoạt động 2: Tìm cách chứng minh Đặt : MA NB PC MB = NC = PA = k, k > 0 Khi đó MA k MA k AM k AB MA MB= k 1 ⇒ AB = k 1⇒ =k 1 + + + + uuuur uuur . Tương tự: BN k BC, CP k CA k 1 k 1 = = + +
uuur uuur uuur uuur
Gọi G là trọng tâm ∆ABC thì: GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + = .Ta có: GM GN GP GA AM GB BN GC CPuuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur+ + = + + + + +
(GA GB GC) (AM BN CP)
= uuur uuur uuur+ + + uuuur uuur uuur+ +
( ) k 0 AB BC CA 0 k 1 = + + + = +
r uuur uuur uuur r
Chứng tỏ G cũng là trọng tâm ∆MNP. Khi đó HS phát biểu kết quả tìm được. GV thể chế hoá kiến thức.
Để tổ chức cho HS hoạt động kiến tạo tri thức, GV cần nhận thức được tri thức mà HS đã có được trong những giai đoạn khác nhau để đưa ra những lời hướng dẫn thích hợp. Lời hướng dẫn phải thỏa mãn ba yêu cầu sau:
Yêu cầu 1: Lời hướng dẫn phải dựa trên những gì mà mỗi HS đã biết.
Yêu cầu 2: Lời hướng dẫn phải tính đến các ý tưởng toán học của HS phát triển tự nhiên như thế nào.
Yêu cầu 3: Lời hướng dẫn phải giúp HS có sự năng động tinh thần khi học toán (Dẫn theo [36]).
“Trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thẳng hàng”.
Bài toán này HS có thể giải bằng nhiều cách như: sử dụng phương pháp tổng hợp, phép vị tự, phương pháp vectơ, phương pháp toạ độ... GV có thể hướng dẫn HS hoạt động kiến tạo tri thức bằng các câu hỏi như sau:
- Trong một tam giác bất kì thì trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thẳng hàng. Bây giờ các em hãy thử mở rộng bài toán ra không gian?
- Để mở rộng bài toán ra không gian ta dựa vào sự tương ứng nào? - Hãy phát biểu mệnh đề thu được?
“Cho tứ diện trực tâm ABCD. Khi đó trọng tâm G, trực tâm H và tâm mặt cầu ngoại tiếp O của tứ diện thẳng hàng”.
- Các em hãy thử chứng minh điều đó. Ta đã biết cách chứng minh tính thẳng hàng của ba điểm trong mặt phẳng. Để chứng minh tính thẳng hàng của ba điểm trong không gian ta có những phương pháp nào?
Cách 1: G, O, H thẳng hàng khi và chỉ khi chúng cùng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.
Cách 2: G, O, H thẳng hàng khi và chỉ khi có phép vị tự tâm G biến H thành O.
Cách 3: G, O, H thẳng hàng khi và chỉ khi hình chiếu của chúng lên hai mặt phẳng cắt nhau được hai bộ ba điểm thẳng hàng.
Khi đó GV có thể hướng dẫn HS chứng minh bài toán theo các cách trên. Việc nghiên cứu cấu trúc lời giải của một số bài toán hình học cũng có thể cho phép tổ chức cho HS thực hiện các hoạt động kiến tạo tri thức.
Ví dụ 2.11: Từ bài toán: “Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB, chứng minh rằng với điểm O bất kì, ta có: OI 1(OA OB)
2
= +
uur uuur uuur
”. Ta có thể giúp HS kiến tạo tri thức mới theo vài hướng sau:
Hướng 1: Dựa vào sự phân tích cấu trúc lời giải bài toán theo sơ đồ sau: I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇒IA IB 0uur uur r+ = ⇒O tuỳ ý:
( )
1
OA OI OB OI 0 OI OA OB
2
− + − = ⇒ = +
uuur uur uuur uur r uur uuur uuur
. Yêu cầu HS phát biểu bài toán khái quát .
Mong đợi câu trả lời:
“Cho n điểm A1, A2,…, An và điểm I thoả mãn hệ thức:
1 2 n
IA +IA + +... IA =0.
uuur uuur uuur r
Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý ta có:
( 1 2 n)
1
OI OA OA ... OA
n
= + + +
uur uuuur uuuur uuuur
.
Bài toán này HS có thể dễ dàng chứng minh bằng cách phân tích các vectơ
i
OAuuur qua các vectơ OI, IAuur uuuri , i 1,n=
Hướng 2: Dựa vào sự phân tích giả thiết I là trung điểm đoạn thẳng AB, nghĩa là I thuộc đoạn AB, và AI : AB = 1 : 1, và phân tích kết luận:
1 1
OA OI OB OI 0 OI OA OB
1 1 1 1
− + − = ⇔ = +
+ +
uuur uur uuur uur r uur uuur uuur
, hãy nêu bài toán khái quát? Mong đợi câu trả lời:
Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Biết rằng AM : MB = m : n. Chứng minh rằng, với O là điểm bất kì ta có: OM n OA m OB
m n m n
= +
+ +
uuuur uuur uuur
. - Hãy chứng minh bài toán?
Từ giả thiết M thuộc đoạn AB, AM : MB = m : n. Ta có: nAM mMBuuuur= uuur. Do đó với O tuỳ ý: n(OM OA) m(OB OM)uuuur uuur− = uuur uuuur−
(m n)OM nOA mOB
⇒ + uuuur= uuur+ uuur.
⇒OM n OA m OB
m n m n
= +
+ +
uuuur uuur uuur
Ví dụ 2.12: Khi cho HS giải bài toán: "Cho tam giác ABC có điểm G là trọng tâm. CMR GA + GB + GC = 0uuuur uuuur uuuur ur" (1).
Bài toán này có thể hướng dẫn để HS độc lập giải theo nhiều cách khác nhau . Ở đây có thể hướng dẫn để HS có một cách giải khác nhằm tạo ra các bài toán mới từ bài toán đã cho. Chẳng hạn, có thể
hướng dẫn HS giải cách sau:
Kẻ CE P GA và CF P GB ta có:
( )
CE = GA,CF = GB,GB = CE + CFuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur