1.3.2.1. Quan hệ giữa cụ thể và trừu tượng
Khi núi về mối quan hệ giữa cụ thể và trừu tượng trong quỏ trỡnh sỏng tạo toỏn học, giỏo sư Nguyễn Cảnh Toàn viết: “Trong quỏ trỡnh viết một đề tài những khỏi quỏt cú tớnh chất lớ luận thường khụng ra đời một cỏch đơn giản,
cú khi phải xột rất nhiều trường hợp đặc biệt, cụ thể, rồi từ đú lần mũ ra cỏi trừu tượng khỏi quỏt ” [15, tr.65].
Theo học thuyết duy vật biện chứng, quan hệ giữa cụ thể và trừu tượng bao gồm ba giai đoạn nối tiếp nhau như sau:
- Giai đoạn tri giỏc cảm tớnh về hiện thực. - Giai đoạn tư duy trừu tượng.
- Giai đoạn tỏi sinh cỏi cụ thể trong tư duy hay cũn gọi là sự tiến lờn từ cỏi trừu tượng đến cỏi cụ thể [27, tr.129].
Lờnin đó núi: “Cỏi trừu tượng là bậc thang đi tới cỏi cụ thể, cỏi trừu tượng khụng phải để mà trừu tượng mà là phương tiện, phương phỏp nhận thức sự vật trong tớnh cụ thể của nú” [27, tr.130].
Việc hỡnh thành bất kỡ khỏi niệm Toỏn học nào cũng diễn ra ở hỡnh thức hai mặt đối lập. Sự vận động từ cỏi cụ thể đến cỏi trừu tượng, và từ cỏi trừu tượng trở về cỏi cụ thể, cỏi cụ thể trực quan định hướng cho cỏi trừu tượng, làm cho sự tưởng tượng được chớnh xỏc, thể hiện được những mối liờn hệ lụgic cần thiết càng làm cho cỏi trực quan được nhận thức sõu sắc hơn, đỳng đắn hơn [26, tr.45].
Con đường nhận thức toỏn học của HS bắt đầu từ cỏi cụ thể đi lờn cỏi trừu tượng. Cú thể núi, dựng cỏi trực quan, cỏi cụ thể để làm phương tiện chỗ dựa cú định hướng, tạo điều kiện cho quỏ trỡnh suy diễn trừu tượng phỏt triển thuận lợi [15,tr.134].
Bản thõn cỏc tri thức khoa học núi chung và tri thức Toỏn học núi riờng là một sự thống nhất giữa cỏi cụ thể và cỏi trừu tượng. Muốn cho việc dạy học đạt kết quả tốt thỡ cần khuyến khớch và tạo điều kiện cho HS tiến hành hai quỏ trỡnh thuận nghịch, nhưng liờn hệ mật thiết với nhau, đú là trừu tượng húa và cụ thể húa [18, tr.48].
1.3.2.2. Đảm bảo sự thống nhất giữa cụ thể và trừu tượng trong quỏ trỡnh dạy học Toỏn
Khi trỡnh bày một sự kiện Toỏn học cần lựa chọn sử dụng đỳng con đường từ cụ thể đến trừu tượng hay con đường từ trừu tượng đến cụ thể.
Với con đường từ cụ thể đến trừu tượng, trước khi trỡnh bày khỏi niệm trừu tượng người ta xuất phỏt từ những vớ dụ cụ thể. Với con đường từ trừu tượng đến cụ thể, người ta trỡnh bày nội dung tổng quỏt rồi mới tới trường hợp riờng hay mới dẫn tới cỏc vớ dụ minh họa [6, tr.50, 51].
Dự là con đường từ cụ thể đến trừu tượng hay từ trừu tượng đến cụ thể thỡ cỏc vớ dụ vẫn cú một vai trũ quan trọng. Việc chọn cỏc vớ dụ đú cần được chỳ ý thớch đỏng. Khi trỡnh bày định nghĩa nguyờn hàm, tớch phõn thỡ cú thể theo con đường từ cụ thể đến trừu tượng.
Cần khuyến khớch và tạo điều kiện cho HS thường xuyờn tiến hành hai quỏ trỡnh trừu tượng húa và cụ thể húa. Rốn luyện cho HS tớnh linh hoạt, mềm dẻo dễ dàng chuyển từ cụ thể đến trừu tượng và ngược lại từ trừu tượng đến cụ thể [6, tr.51].
Để đảm bảo mối liờn hệ giữa hai con đường cụ thể và trừu tượng, khi sử dụng PTTQ giỏo viờn cần lưu ý, luụn hướng HS suy nghĩ về cỏi trừu tượng; hỗ trợ HS làm việc với một kiến thức trừu tượng người GV cần cú kế hoạch để đạt tới lỳc HS cú thể hoạt động độc lập với kiến thức đú [18, tr.49].
Trong quỏ trỡnh dạy học cần phải chỳ ý: Quan hệ giữa cỏi cụ thể và cỏi trừu tượng, chỉ là cỏi tương đối, trong mối liờn hệ này, một khỏi niệm, sự kiện là cụ thể, nhưng trong mối liờn hệ khỏc nú lại là trừu tượng [6, tr.52].
Càng trừu tượng, Toỏn học càng mạnh vỡ khi tư duy trừu xuất nờn một lý thuyết khụng biết bao nhiờu cỏi cụ thể xuất phỏt, thỡ lý thuyết này khụng những chứa đựng trong lũng tất cả những gỡ cụ thể để làm điểm xuất phỏt cho nú mà cũn trựm ra rộng hơn đến những cỏi cụ thể mà trước đú chưa hề biết đến. Đó thế những cỏi cụ thể đơn lẻ, trước đõy rời rạc, nay được gắn kết với nhau sẽ cú tỏc động lẫn nhau, giỳp cụng cụ, giỳp phương phỏp cho nhau. Vỡ
vậy, để đảm bảo được mối liờn hệ giữa trừu tượng và cụ thể thỡ PTTQ phải thể hiện được yờu cầu trờn [38, tr.131].