c) Về phương diện phương phỏp dạy học
2.4.3. Sử dụng cỏc phương tiện trực quan trong dạy học cỏc ứng dụng của tớch phõn
của tớch phõn
Khỏi niệm tớch phõn cú nhiều ứng dụng trong Toỏn học và thực tiễn, nhưng trong khuụn khổ chương trỡnh Giải tớch 12 Nõng cao, tớch phõn cú những ứng dụng như: Tớnh quóng đường đi được của vật khi biết phương trỡnh vận tốc, tớnh diện tớch hỡnh giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số và cỏc đườngx a x b a b= , = ( < ), tớnh thể tớch của vật thể giới hạn bởi cỏc mặt x a x b a b= , = ( < ) với giả thiết là biết được diện tớch thiết diện của vật thể với mặt x c a c b= ,( ≤ ≤ ) là một hàm
của biến c; và bài toỏn tớnh thể tớch của một vật thể trũn xoay sinh bởi một hỡnh phẳng D khi quay quanh trục Ox hoặc Oy. Trong phần này, chỳng tụi chỉ đi vào việc xỏc định và xõy dựng một số PTTQ sau:
2.4.3.1. Sử dụng cỏc phương tiện trực quan trong dạy học ứng dụng tớch phõn tớnh diện tớch của hỡnh phẳng
Đõy là một ứng dụng quan trọng của tớch phõn, cú nhiều ý nghĩa trong thực tiễn. Sữ dụng PTTQ khụng chỉ giỳp HS học tốt nội dung này mà cũn làm cho HS nhận thức sõu hơn bản chất của phộp tớnh tớch phõn để cú thể vận dụng kiến thức đó học vào thực tiễn cuộc sống. Phương tiện trực quan ở đõy chủ yếu là cỏc hỡnh vẽ minh họa được thiết lập nhờ phần mềm và mỏy tớnh.
Sử dụng cụng cụ của Maple để tạo ra cỏc hỡnh ảnh trực quan và cỏc thụng số tớnh toỏn cần thiết để hỡnh thành cụng thức tớnh diện tớch của hỡnh được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f x( ) khụng õm trờn [a; b], trục hoành và cỏc đường x a x b= , = là ( )
b a
S=∫ f x dx.
Sau đú xột một số hỡnh ảnh tương tự với hàm f (x) liờn tục trờn [a; b], từ trực quan để HS nhận thức thấy rằng nếu thay hàm f (x) bởi hàm ( )f x thỡ
diện tớch khụng thay đổi. Từ đú nhận được diện tớch của hỡnh giới hạn bởi đồ thị hàm sốy= f x( ), trục hoành và cỏc đường x a x b= , = được tớnh bởi cụng
thức ( )
b a
S =∫ f x dx. Sau đú cú thể dựng trực quan để HS nhận thấy cỏch tớnh
tớch phõn của hàm dưới dấu tớch phõn nằm trong giỏ trị tuyệt đối.
Từ cụng thức, sử dụng trực quan là đồ thị của hai hàm số y= f x( ) và ( )
y g x= trờn cựng một hệ trục tọa độ và hỡnh ảnh diện tớch tương ứng của hai
hỡnh lần lượt giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm y= f x( ) và y g x= ( ) với trục Ox, ,
x a x b= = . Giỏo viờn nờn cho HS nhận được hỡnh ảnh với tuần tự cỏc trường
hợp như sau:
Trờn [a; b] hai hàm số cú đồ thị nằm về hai phớa của trục hoành. (Hỡnh 2.11.a)
Trờn [a; b] hai hàm số cú đồ thị nằm về cựng một phớa của trục hoành. (Hỡnh 2.11.b)
Trờn [a;b] chỉ cú một đồ thị cắt trục hoành. (Hỡnh 2.11.c) Trờn [a;b] cả hai đồ thị đều cắt trục hoành. (Hỡnh 2.11.d)
Hỡnh 2.11.a Hỡnh 2.11.b
Sau khi quan sỏt cỏc hỡnh tượng trưng cựng với sự phõn tớch của GV; như thế HS cú thể nhận thấy được là diện tớch của hỡnh giới bởi đồ thị của hai hàm số
( ), ( ), , y= f x y g x x a x b= = = và trục hoành được tớnh bởi cụng thức ( ) ( ) b a S=∫ f x −g x dx
Sau khi nờu cụng thức, GV cho HS nhắc lại phương phỏp tớnh tớch phõn mà hàm dưới
dấu tớch phõn nằm trong giỏ trị tuyệt đối. Và xột bài toỏn mà diện tớch của hỡnh được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số bằng ở hỡnh 2.12.
Từ hỡnh minh họa cho HS xõy dựng quy trỡnh giải bài toỏn tớnh diện tớch của hỡnh thang cong.
Cho HS nhận dạng và thể hiện lần lượt cỏc bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.7. (Bài tập 27,tr 167 Giải tớch 12 Nõng cao)
Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy=cos2x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x =π Diện tớch cần tớnh là: 1 1 2 0 0 1 cos 2 cos . 2 x S = x dx= + dx ∫ ∫ sin 2 1 2 sin 2( ) 0 2 4 4 x x dvdt + = + ữ = Hỡnh 2.13 Hỡnh 2.12
Bài toỏn 2.8. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi parbol y2 =8x và đường thẳngx =2.
Với bài toỏn này HS sẽ gặp khú khăn khi vận dụng cụng thức ở trờn. Là do HS khụng phỏt hiện ra hai hàm số f (x) và g (x) như trong cụng thức. Dựa vào trực quan, giỳp HS phỏt hiện ra hỡnh này được giới hạn bởi đồ thị của cỏc hàm sốy =2 2x , y= −2 2x và đường thẳngx=2; và tớnh chất đối xứng của hỡnh.
Suy ra diện tớch được tớnh bởi cụng thức:
2 2 0 0 2 2 2 4 2 S = ∫ xdx= ∫ xdx 16 2. 2 32 0 3 x 3 = = (đvdt)
Tuy nhiờn với HS khỏ cú thể nhận ra rằng diện hỡnh trờn cú thể được tớnh khi xem x
là hàm của biến y và tớnh tương tự như biến
x. 2 2 4 4 4 4 2 2 8 8 y y S dy dy − − = − = − ữ ∫ ∫ 3 4 32 2 4 24 3 y x = − ữ− = (đvdt)
Bài toỏn 2.9. Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới bởi đồ thị cỏc hàm số sau:
22, , 2, , 8 x y x y= = y 1,y 8 x x = = . (Hỡnh 2.15)
Hỡnh này được giới hạn bởi bốn đường cong nờn việc ỏp dụng cụng thức sẽ phức tạp hơn, khi sử dụng cụng cụ trực quan thỡ ỏp dụng cụng thức sẽ chớnh xỏc và đơn giản hơn.
Hỡnh 2.15 Hỡnh 2.14
2.4.3.2. Sử dụng cỏc phương tiện trực quan trong dạy học ứng dụng tớch phõn tớnh thể tớch của vật thể
Với tớnh năng minh họa trực quan của Maple 12 nhờ gúi cụng cụ Volume of Revolution Tutor, GV cú thể thực hiện việc chia một vật thể thành nhiều khối nhỏ hơn. Khi quan sỏt trực tiếp, GV cú thể thay đổi linh hoạt số hỡnh phõn chia; quan sỏt hỡnh nguyờn bản, hỡnh thay thế và đồng thời. Ngoài ra HS cũn thấy được kết quả thể tớch của vật thể và tổng thể tớch của cỏc hỡnh được phõn chia. Qua đú HS cú thể liờn tưởng lại bài toỏn tớnh diện tớch hỡnh thang cong, với sự tương ứng chiều cao hỡnh phẳng với diện tớch mặt đỏy vật
thể. Từ đú, nhận thức của HS tiếp nhận cụng thức tớnh thể tớch ( )
b a
V =∫S x dx
một cỏch tự nhiờn hơn. Cụng thức tớnh thể tớch của vật thể trũn xoay được hỡnh thành từ việc kết hợp trực quan với suy luận. Cho HS quan sỏt hỡnh 2.16 và trả lời cỏc cõu hỏi như sau:
Cõu hỏi 1: Để ỏp dụng cụng thức trờn vào tớnh thể tớch vật thể cần xỏc định được những yếu tố nào?
Cõu hỏi 2. Khi cắt vật thể trũn xoay bởi một mặt phẳng vuụng gúc với trục thỡ thiết diện là hỡnh gỡ?
Cõu hỏi 3: Khi đú diện tớch thiết diện S (x) được tớnh bởi cụng thức nào?
V = 193,496 (đvtt) V = 193, 256 (đvtt)
Cõu hỏi 4: Vậy thể tớch cú cụng thức tớnh như thế nào?
Hoạt động nhận dạng và thể hiện là vớ dụ tớnh thể tớch của khối chỏm cầu. Hoạt động tư duy tiếp theo cú thể khụng cần trực quan, nếu ta thay đổi vai trũ của x và y thỡ kết quả là cụng thức tớnh thể tớch vật thể trũn xoay sinh bởi hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốx g y= ( ), trục tung và cỏc đường
,
y a y b= = quay quanh trục tung.
Trờn cơ sở cỏc kiến thức cơ bản trờn, GV nờn cho HS phỏt triển thờm với cỏc bài toỏn tổng quỏt sau:
Bài toỏn 2.10. Cho hỡnh phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm sốy= f x( ), y c= ( ( )f x
và c cựng dấu) và cỏc đường thẳng x a= ,
x b= (a, b và c là cỏc hằng số). Tỡm thể tớch
của vật thể trũn xoay sinh bởi hỡnh D quay quanh trục Ox, Oy. (Hỡnh 2.17)
Bài toỏn 2.11. Cho hỡnh phẳng D giới
hạn bởi đồ thị hàm sốy= f x( ), y g x= ( ) ( ( ), ( )f x g x cựng dấu trờn[ ; ]a b )
và cỏc đường thẳng x a x b= , = (a, b là cỏc hằng số). Tỡm thể tớch của vật thể trũn xoay sinh bởi hỡnh D quay quanh trục Ox, Oy. (Hỡnh 2.18, 2.19)