Tuỳ thuộc vào điều kiện cụ thể của từng vùng diện tích cây trồng loại j nào đó phải nằm trong giới hạn nhất định:
AminÊAjÊAc (5-208)
Amin và Ac là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của diện tích cây trồng dành cho cây trồng thứ j.
Các biểu thức từ (5-203) đến (5-208) đều có dạng tuyến tính nên có thể áp dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính để giải.
5.7.3. Tối ưu với bài toán phát triển nguồn nước
Phát biểu bài toán
Giả sử đối với một vùng cụ thể cần đáp ứng yêu cầu về nước W(t) trong thời gian quy hoạch T, yêu cầu đạt mức tối đa cuối thời kỳ quy hoạch là Wmax. Giả sử trong giai đoạn giải bài toán thiết kế hệ thống công trình đã xác định được tập các phương án công trình để thoả mãn yêu cầu nước đặt ra. Cần xác định các công trình nào sẽ được đưa vào xây dựng và xây dựng vào thời gian nào của thời kỳ quy hoạch để kinh phí xây dựng là nhỏ nhất.
Ví dụ: Ví dụ một hệ thống có 4 công trình sẽ được xây dựng. Vốn đầu tư xây dựng C và khả năng cấp nước Wc tương ứng cho ở bảng 5-18. Giả sử các công trình được xây dựng phải đáp ứng yêu cầu nước W(t) được cho trong bảng 5-19. Hệ số chiết khấu r = 0,05.
Yêu cầu xác định trình tự đầu tư xây dựng các công trình sao cho chi phí xây dựng là tối thiểu. Tức là, tìm cực tiểu của hàm mục tiêu:
F= n t -t
it it
i=1i=1x C (1+r) đmin
ồ ồ (5-209)
Trong đó:
Cit - chi phí xây dựng đối với công trình thứ i: Cit= 0 nếu nó không được xây dựng vào năm t; Cit= Cit nếu nó được xây dựng vào năm t ;
r - hệ số triết khấu, t biến là thời gian tính theo năm.
xit - hệ số lấy giá trị bằng 0 và 1: bằng 0 tức là không xây dựng, khi nhân với Cit sẽ có tích bằng 0, có nghĩa là không có chi phí xây dựng. Việc đư vào hệ số xit để dễ dàng trong quá trình tính toán.
Với các số liệu ở 2 bảng (5-18) và (5-19), có 3 phương án về đầu tư xây dựng để đảm bảo được yêu cầu nước phát triển theo thời gian W(t).
Bảng 5-18: Vốn đầu tư và khả năng cấp nước của các công trình
(Trong ví dụ chi phí: tính theo đơn vị (tỷ đồng); còn khả năng cấp nước và nhu cầu nước tính theo đơn vị thể tích bằng 1 triệu m3)
Công trình 1 2 3 4
Chi phí xây dựng C 20,0 35,0 40,0 50,0
Khả năng cấp nước Wc 1,0 2,0 3,0 4,0
Bảng 5-19: Nhu cầu nước theo thời gian (10 năm)
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
W (t) 5 5 5 5 6 6 6 6 6 10
Phương án 1: Xây dựng công trình 1 và 4 vào năm đầu tiên có thể cấp được Wc = 5 đơn vị (đủ nước theo yêu cầu), đến năm thứ 5 hoàn thành thêm công trình số 2 và năm thứ 10 hoàn thành công trình 3.
Phương án 2: Năm đầu xây dựng hai công trình 2 và 3, đến năm thứ 5 hoàn thành công trình 1 và đến năm thứ 10 xây dựng xong công trình 4.
Phương án 3: Năm đầu xây dựng hai công trình 2 và 4. Với 2 công trình này được xây dựng sẽ có khả năng cung cấp Wc = 6 đơn vị, đủ đáp ứng đến năm thứ 10. Bởi vậy, 2 công trình còn lại sẽ được hoàn thành vào năm thứ 10. Như vậy, đến năm thứ 5 không đòi hỏi có thêm công trình nào nữa ngoài hai công trình đã được xây dựng từ năm đầu. Điều đó có nghĩa là 2 công trình 1 và 3 có thể xây dựng vào bất kỳ thời điểm nào, miễn là đến năm thứ 10 phải hoàn thành. Các phương án xây dựng được ghi trong bảng (5-20).
Bảng 5-20: Các phương án xây dựng công trình
Năm đầu tiên
(W(t) = 5 đơn vị) (W(t) = 6 đơn vị) Đến năm thứ 5 (W(t) = 10 đơn vị) Đến năm thứ 10 TT Phương án công trình
Số hiệu công trình theo phương án
Số hiệu công trình theo phương án
Số hiệu công trình theo phương án
1 PA1 1+4 2 3
2 PA2 2+3 1 4
3 PA3 2+4 1+3
Ph-ơng pháp giải
Có thể giải bài toán theo hai phương pháp: Phương pháp so sánh trực tiếp và phương pháp quy hoạch động.
a. Ph-ơng pháp so sánh trực tiếp
Theo phương pháp này nghiệm tối ưu được tìm trực tiếp bằng cách so sánh các giá trị của hàm của 3 phương án trên. Có thể lập bảng dạng (5-21) và so sánh các tài liệu tính được trong bảng trên chọn ra giá trị nhỏ nhất.
Bảng 5-21: Tính toán chi phí theo phương pháp so sánh trực tiếp
TT Phương án Năm đầu tiên Đến năm thứ 5 Đến năm thứ 10 Tổng cộng
1 PA1 1+4 2 3 F(PA1) (20+50)(1+r) -1 (35)(1+r) -5 (40)(1+r) -10 100 2 PA2 2+3 1 4 F(PA2) (35+40)(1+r) -1 (20)(1+r) -5 (50)(1+r) -10 118 3 PA3 2+4 1+3 F(PA3) (35+50)(1+r) -1 (20+40)(1+r) -10 118
b. Ph-ơng pháp quy hoạch động
Phương pháp quy hoạch động với biến trạng thái thường được áp dụng đối với các loại bài toán có biến là hàm của thời gian. Bài toán này được mô tả theo thuật quy hoạch động như sau: Hàm mục tiêu (5-209) được viết lại dưới dạng khác:
Z=Z(S , S )n 0 đmin (5-210)
Với Wc(t) ³W(t) với mọi t. (5-211)
Trong đó S0 là trạng thái công trình tại thời điểm ban đầu; Sn là trạng thái công trình ở năm thứ n (năm cuối cùng của quy hoạch). Điều đó có nghĩa là với trạng thái hệ thống công trình ban đầu là S0 thì phải có chiến lược phát triển hệ thống công trình như thế nào để đưa hệ thống từ trạng thái S0 đến trạng thái Sn để tổng chi phí là nhỏ nhất và vẫn có thể đảm bảo nhu cầu nước trong quá trình đó là W(t). Trạng thái ban đầu trong trường hợp này S0 là một tập hợp trống (không có công trình).
B-ớc tính xuôi:
Trước tiên ta xem xét các phương án công trình ở năm đầu tiên. Giả sử ở năm đầu tiên ta có I1 phương án công trình đáp ứng yêu cầu cấp nước sau năm đầu tiên (trong ví dụ trên có 3 phương trình I1=3). Ta có chi phí xây dựng công trình năm đầu tiên là z1(S , S ), trong đó S1, k 0 1,k là trạng thái công trình sau năm đầu tiên, chỉ số k là số phương án công trình; k =1, 2,..., k, I1.
Tiếp tục xem xét sự phát triển công trình sau 5 năm (thời đoạn quy hoạch lấy theo thời gian 5 năm). Đối với thời đoạn thứ I2 phương án công trình được chọn sao cho khi nó kết hợp với trạng thái S1,k (với k =1, 2,..., I1) của giai đoạn 1 làm thoả mãn nhu cầu nước ở thời đoạn thứ 2, các phương án công trình được xây dựng thêm ở cuối
giai đoạn 2 là S2,i, với i =1, 2,...,I2. Khi đó ta có tổng chi phí xây dựng cho mỗi một phương án kết hợp là: 2 2, i 2 2, i 1, k 1 1, k 0 2,i Z (S ) min (z (S ,S ) z (S ,S )) x = + (5-212) Trong đó: 1 1, k 0
z (S ,S ) - chi phí xây dựng tính đến cuối giai đoạn 1 với I1 phương án bất kỳ S1,k ở thời đoạn đầu tiên; kỳ S1,k ở thời đoạn đầu tiên;
z2(S2,i,S1,k) - chi phí xây dựng ở giai đoạn 2 với phương án công trình S1,k ở giai đoạn 1 và phương án S
2,i ở giai đoạn 2.
Với mỗi trạng thái thứ i ở thời đoạn thứ 2, sẽ tìm được một giá trị tối ưu S1*, kở thời đoạn thứ nhất để có sự kết hợp S0 -S1*, k -S2, i là tối ưu. Tương ứng với mỗi trạng thái thứ i (i=1, I2) có một giá trị S1*, k. Ta sẽ có I2 phương án kết hợp tối ưu khi phương án công trình ở giai đoạn 2 là S với i 2, i =1, 2,...,I2.
Đặt Z1(S )1, k =z1(S , S )1, k 0 (5-213)
Ta có thể viết lại biểu thức (5-51) dưới dạng sau :
2 2, i 2 2, i 1, k 1 1, k
2,i
Z
S
(S ) min (= z (S ,S )+z (S )) (5-214) Trong đó:Z1(S ) - giá trị vốn đầu tư xây dựng với phương án S1, k 1,k, ở cuối giai đoạn đầu tiên.
Theo kết quả tìm được, ta lập được cặp quan hệ S1*, k~ S2,i.
Đến giai đoạn bất kỳ thứ j ta có biểu thức tổng quát của bài toán tối ưu có điều kiện như sau:
j j, i j j, i j 1, k j 1 j 1, k
j,i
Z
S
(S ) min (= z (S ,S- )+z- (S- )) (5-215) Trong công thức truy hồi tổng quát giá trị hàm Zj(Sj,i) đã quy đổi về giá trị hiện tại, tức là: n t j 1 j 1, k it it i1 Z (S ) (1 r) x C- - - = + =ồ (5-216)
Cit là chi phí của tất cả các công trình được đưa vào phương án tính tại thời điểm bất kỳ; xit= 0 thì coi như công trình không được thực hiện.
Tương tự như tất cả các thời đoạn trên, ở giai đoạn bất kỳ thứ j, có thể tìm được một trạng thái công trình ở giai đoạn trước nó j–1 là S*j 1, k
- để khi kết hợp với phương
án công trình ở bước thứ j là Sj,i cho giá trị tối ưu. Như vậy, đến giai đoạn thứ j ta có một chiến lược tối ưu phát triển hệ thống công trình từ trạng thái ban đầu So đến trạng thái bất kỳ Sj,i là:
S0 – S1*, k– S2*, k– S*3, k – ... – S .Và có cặp quan hệ j, i S*j 1, k
- ~ S j, iĐến giai đoạn cuối cùng j= n, ta có: Đến giai đoạn cuối cùng j= n, ta có:
n n, i n n, i n 1, k n 1 n1,k
Z (S ) min(= z (S , S - )+z - (S - )) (5-217)
Trong đó: Sn,i là phương án công trình ở giai đoạn cuối với i =1, 2,..., In. Giá trị Zn(Sn,i) chính là giá trị tối ưu của hàm mục tiêu, để đưa hệ thống từ trạng thái ban đầu đến trạng thái Sn,i bất kỳ ở giai đoạn cuối. Tại thời đoạn cuối, với mỗi trạng thái được ấn định trong số các trạng thái có thể i (với i =1, 2,..., In) của nó, sẽ tương ứng có một kết hợp tối ưu các phương án công trình bắt đầu từ trạng thái ban đầu.
Tại giai đoạn cuối cùng cần xác định phương án nào trong số các trạng thái Sn,i để có tối ưu toàn cục. Khi đó, giá trị tối ưu sẽ là cực trị của các giá trị tối ưu trong số In trạng thái tối ưu có điều kiện ở giai đoạn cuối, tức là:
Zn = min (Zn(Sn,i); i =1, 2,..., In) (5-218)
B-ớc tính ng-ợc
Với trạng thái Sn nào đó, tiến hành bước tính ngược sẽ tìm được phương án tối ưu:
S , S , S ,..., S ,..., S0* 1* 2* *j *n (5-219)
Cách giải bài toán trên đây là bài toán chưa kể đến chi phí vận hành. Khi có kể đến chi phí quản lý vận hành trong giai đoạn khai thác, hàm mục tiêu của chiến lược đầu tư phát triển hệ thống công trình sẽ có dạng sau:
F= T t n i i i it t 0 i 1 (1 r)- (a c b w ) = = + + + ồ ồ đ min (5-220) Với các ràng buộc: