6. Biện luận: Phõn tớch mối quan hệ giữa cỏc điều kiện đó cho và hỡnh đó dựng được, núi rừ trường hợp nào thỡ bài toỏn khụng cú lời giải, trường hợp
2.4.3. Sử dụng phần mềm Cabri 3D trong dạy học nội dung dựng hỡnh khụng gian giỳp học sinh kiến tạo kiến thức
khụng gian giỳp học sinh kiến tạo kiến thức
Khụng những dễ dàng tạo ra cỏc mụ hỡnh minh hoạ trực quan cho cỏc khỏi niệm trừu tượng của hỡnh học khụng gian, thụng qua cỏc thao
tỏc động trờn mụ hỡnh trong mụi trường Cabri 3D, học sinh biết được “phản ứng” của cỏc đối tượng toỏn học và tỡm ra cỏc thuộc tớnh mà nú chứa đựng; biết được mối quan hệ giữa cỏc đối tượng toỏn học học sinh cú thể tỡm ra những mối quan hệ bất biến giữa cỏc đối tượng, từ đú hỡnh thành tri thức toỏn học cho riờng mỡnh. Thực vậy, cỏc hỡnh vẽ trờn Cabri 3D khỏc với hỡnh vẽ trờn giấy với cỏc cụng cụ thường dựng khụng chỉ bởi sự chớnh xỏc của cấu trỳc. Cabri 3D nhớ cỏc mối liờn hệ giữa cỏc đối tượng khỏc nhau trong cấu trỳc đú khi thay đổi (kộo, rờ) cỏc đối tượng tự do. Vớ dụ, nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thỡ khi thay đổi điểm A, điểm B ở bất kỡ vị trớ mới nào thỡ M vẫn luụn là trung điểm của AB. Trong dạy học nội dung dựng hỡnh trong khụng gian, ta cú thể tận dụng tớnh năng này của Cabri 3D giỳp học sinh hỡnh thành kiến thức mới.
Vớ dụ, dựng hỡnh tứ diện đều ABCD, mặt BCD cú tõm là điểm G. Qua đỉnh A dựng đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng (BCD). Yờu cầu học sinh dựng cỏc thao tỏc tỏc động lờn cỏc điểm của mụ hỡnh và rỳt ra nhận xột. Học sinh cú thể thấy ngay là, trong mọi trường hợp, d luụn đi qua G. Cỏc em cú thể kiểm chứng lại với cỏc mặt khỏc của tứ diện và rỳt ra kết luận: “cỏc đường cao trong hỡnh tứ diện đều đi qua tõm của
mặt đỏy” và “ Cỏc đường cao trong hỡnh tứ diện đều đồng qui”.
Hỡnh 24
Khỏi niệm gúc giữa hai mặt phẳng là một khỏi niệm khú hỡnh dung đối với nhiều học sinh. Trỡnh bày khỏi niệm này cho học sinh, sỏch giỏo khoa bắt đầu bằng nhận xột: “Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy
hai đường thẳng a và b lần lượt vuụng gúc với (P) và (Q). Khi đú gúc giữa hai đường thẳng a và b khụng phụ thuộc vào cỏch lựa chọn chỳng và được gọi là gúc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).” Sau đú, SGK phỏt
biểu định nghĩa: “Gúc giữa hai đường thẳng là gúc giữa hai đường thẳng lần lượt vuụng gúc với hai mặt phẳng đú”. Nhiều học sinh khú
hiểu nhận xột mà SGK đưa ra, vỡ vậy cũng gặp khú khăn để hiểu khỏi niệm gúc giữa hai mặt phẳng.
Sử dụng Cabri 3D trong dạy học khỏi niệm này theo mụ hỡnh kiến tạo, giỏo viờn cú thể thực hiện theo quy trỡnh sau:
B1: Giỏo viờn yờu cầu học sinh dựng hai mặt phẳng (P) và (Q) khụng trựng nhau (cú thể chọn mp(P) là mặt phẳng cơ sở). Sau đú dựng đường thẳng a vuụng gúc với mặt phẳng (P) tại A; đường thẳng b vuụng gúc với mặt phẳng (Q) tại B .
Hỡnh 25
(Nếu khụng đủ thời gian, giỏo viờn cú thể chuẩn bị trước ở nhà và yờu cầu học sinh mở tệp hd1.cg3)
B2: GV yờu cầu học sinh xỏc định gúc giữa hai đường thẳng a và b ? HS : Dựng đường thẳng b‟ đi qua A và song song với b. Gúc giữa hai đường thẳng a và b chớnh là gúc giữa a và b‟.
B3: GV yờu cầu học sinh dựng cụng cụ Chọn thay đổi vị trớ cỏc đường thẳng a, b, quan sỏt gúc giữa hai đường thẳng a và b. GV đặt cõu hỏi: “ Em nhận xột gỡ về gúc giữa hai đường thẳng a và b?”
HS : Khi a, b thay đổi vị trớ, gúc giữa hai đường thẳng a, b khụng đổi B4: GV đưa ra định nghĩa: Gúc giữa hai mặt phẳng là gúc giữa hai đường thẳng lần lượt vuụng gúc với hai mặt phẳng đú.
B5: GV củng cố định nghĩa bằng cỏch đặt cõu hỏi: “ Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) song song hoặc trựng nhau thỡ gúc giữa chỳng bằng bao nhiờu ?”
HS : Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) song song hoặc trựng nhau thỡ gúc giữa chỳng bằng 0
Trong cỏch dạy như trờn, giỏo viờn tổ chức sự tương tỏc giữa học sinh và nội dung học tập. Thụng qua hệ thống cõu hỏi, giỏo viờn giỳp học sinh thu thập những thụng tin mới để cấu trỳc lại vốn kiến thức đó cú. Học sinh được đặt vào tỡnh huống học tập và chủ động huy động những kiến thức, kĩ năng đó cú để trả lời hệ thống cõu hỏi, giải quyết cỏc nhiệm vụ mà giỏo viờn giao cho; học sinh cũng được thực hiện cỏc thao tỏc trờn phần mềm, tỏc động vào cỏc đối tượng hỡnh học, quan sỏt sự thay đổi và bất biến của chỳng để tỡm ra cỏc mối quan hệ giữa chỳng từ đú khỏm phỏ kiến thức mới. Việc hỡnh thành kiến thức mới qua hoạt động tớch cực của học sinh như vậy sẽ dễ hiểu và bền vững hơn so với lối truyền thụ ỏp đặt vỡ“Tri thức được kiến tạo nờn bởi mỗi cỏ nhõn
người học sẽ trở nờn vững chắc hơn rất nhiều so với việc nú được nhận từ người khỏc”.
Trong giảng dạy hỡnh học, điều cú ý nghĩa quan trọng nhất là những hoạt động khai thỏc, lựa chọn, biến đổi hỡnh vẽ, từ đú tổ chức, điều khiển học sinh thực hiện cỏc thao tỏc tư duy, rốn luyện khả năng suy đoỏn và tưởng tượng, rốn luyện cỏc phương phỏp suy luận logic. Xột bài toỏn sau:
Bài toỏn: Cho hỡnh chúp SABC, đỏy là tam giỏc vuụng cú cạnh huyền BC = a, gúc nhọn B = . Cỏc cạnh bờn của đỏy hợp với mặt đỏy những gúc bằng nhau và bằng . Tớnh diện tớch xung quanh hỡnh chúp.
Với bài toỏn trờn, học sinh cú thể vẽ một hỡnh biểu diễn như sau:
Hỡnh 26
Hỡnh vẽ trờn khụng thể hiện được mối quan hệ giữa cỏc đối tượng trong bài toỏn nờn sẽ rất khú để tỡm ra được đường lối giải. Nếu đặt vấn đề: dựng phần mềm Cabri 3D để dựng hỡnh chớnh xỏc cho tỡnh huống trờn, học sinh sẽ buộc phải tư duy tỡm phương ỏn giải quyết, vỡ Cabri 3D khụng cú cụng cụ sẵn cho tỡnh huống này. Rừ ràng, việc dựng tam giỏc ABC vuụng thỡ khụng khú. Nhưng vấn đề là S ở vị trớ nào để cú thể thoả món yờu cầu của bài toỏn: SA, SB, SC hợp với mặt đỏy những gúc bằng nhau? Cụng cụ của Cabri khụng cú sẵn cho tỡnh huống này. Vậy nờn, để thực hiện được yờu cầu dựng hỡnh của bài toỏn, học sinh cần dựng đến suy luận logic để tỡm ra mối liờn hệ giữa cỏc yếu tố của hỡnh chúp: SA, SB, SC hợp với mặt đỏy những gúc bằng nhau thỡ nếu H là hỡnh chiếu S xuống mặt đỏy ta cú HA=HB=HC. Vậy SH chớnh là trục đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.
Hỡnh 27
Như vậy, quỏ trỡnh dựng hỡnh đó phần nào làm sỏng rừ định hướng giải cho bài toỏn này, nú đó làm học sinh phỏt hiện ra những mối quan hệ ẩn tàng trong giả thiết mà nếu dựng hỡnh bằng cỏch ước đoỏn thỡ cú thể bỏ qua, dẫn đến những bế tắc, hiểu sai. Rừ ràng là để thực hiện dựng hỡnh đỳng trong Cabri 3D, học sinh đó phải huy động cỏc kiến thức hỡnh học và cỏc em cú dịp được thực hiện cỏc thao tỏc trớ tuệ: phõn tớch, so sỏnh, suy luận logic, tổng hợp, đỏnh giỏ cỏc tri thức để tỡm ra mối quan hệ giữa cỏc đối tượng trong khụng gian; trong khi trong bài toỏn này, việc dựng hỡnh “biểu diễn” khụng yờu cầu một số lượng kiến thức và cỏc hoạt động tư duy nhiều như vậy . Một bài toỏn khỏc:
Bài toỏn: Đỏy của hỡnh chúp SABC là một tam giỏc đều cạnh a. Mặt bờn SAC của hỡnh chúp vuụng gúc với đỏy, hai mặt cũn lại tạo với đỏy những gúc bằng . Tớnh diện tớch xung quanh của hỡnh chúp.
Nếu dựng phương tiện dạy học là bảng - phấn, ta cú thể gặp hỡnh vẽ sau:
Hỡnh 28
Mặc dự hỡnh vẽ biểu diễn này khụng sai, nhưng rừ ràng hỡnh vẽ này khụng thể hiện đỳng giả thiết của bài toỏn. Do mặt bờn SAC vuụng gúc với mặt đỏy nờn khi từ S hạ đường vuụng gúc SH xuống mặt đỏy thỡ SH phải nằm hoàn toàn trong mặt phẳng SAC và như vậy chõn đường vuụng gúc H phải nằm trờn giao tuyến AC. Mặt khỏc, do hai mặt bờn cũn lại tạo với mặt đỏy hai gúc bằng nhau nờn nếu trong mặt phẳng (ABC), từ H kẻ HI vuụng gúc với BC và HJ vuụng gúc với AB thỡ cú cỏc gúc bằng nhau SJH SIH. Do đú, cỏc tam giỏc SIH và SJH bằng nhau. Vậy nờn HI = HJ, do đú H nằm trờn đường phõn giỏc của gúc B. Mà tam giỏc ABC đều nờn H là trung điểm AC. Do tam giỏc ABC đều
nờn 1 ; 1
4 4
AJ AB CI CB. Vậy, khi thực hiện dựng hỡnh chớnh xỏc cho bài toỏn này, học sinh sẽ lần lượt thực hiện cỏc bước sau:
Dựng tam giỏc đều ABC
Lấy H là trung điểm AC
Dựng đường thẳng đi qua H vuụng gúc với (ABC), trờn đú lấy
điểm S
Hỡnh 29
Trong quỏ trỡnh thực hiện được phộp dựng hỡnh chớnh xỏc cho bài toỏn này, học sinh cũng đồng thời tỡm ra những chỡa khoỏ quan trọng để giải bài toỏn. Với việc chỉ rừ tớnh chất của cỏc điểm H, I, J, ta dễ dàng tớnh được SJ= a 3 ; 3tan
4cos 4
a
SH
, từ đú tớnh được diện tớch xung quanh
của hỡnh chúp 3 2 3 2 sin 8 os xq a S c .
Qua tỡnh huống này, ta cú thể thấy Cabri 3D khụng làm đơn giản hoỏ tư duy, hạn chế năng lực tưởng tượng khụng gian của của học sinh mà ngược lại, yờu cầu dựng hỡnh chớnh xỏc trong khụng gian với Cabri 3D chớnh là một tỡnh huống tạo cơ hội để học sinh thể hiện kỹ năng tư duy, trớ tưởng tượng khụng gian trong việc tỡm đoỏn, suy luận để khỏm phỏ phương ỏn giải quyết tỡnh huống.
Với phần mềm Cabri, người sử dụng cú thể tỏc động trực tiếp lờn đối tượng hỡnh học đang khảo sỏt, thay đổi và di chuyển hỡnh ở nhiều vị trớ khỏc nhau, thay đổi cỏc tham số. Phần mềm Cabri 3D giỳp học sinh vẽ hỡnh chớnh xỏc trong khụng gian, đỏp ứng được sự minh hoạ bằng
trực quan sinh động, kớch thớch được tinh thần say mờ học tập, tỡm tũi, sỏng tạo của học sinh. Sử dụng phần mềm Cabri 3D để dựng hỡnh chớnh xỏc trong khụng gian, kết hợp với cỏc cụng cụ tớnh toỏn, đo đạc cú sẵn trong Cabri 3D giỳp học sinh thực hiện cỏc khảo sỏt từ đú gợi mở cho học sinh phỏt hiện và dự đoỏn kết quả của bài toỏn rồi kiểm chứng lại kết quả của quỏ trỡnh giải quyết vấn đề. Xột bài toỏn sau:
Bài 70 Tr 127(SBTNC): Cắt hỡnh lập phương bằng một mặt phẳng (P) đi qua một đường chộo của hỡnh lập phương. Phải chọn (P) như thế nào để thiết diện thu được cú diện tớch nhỏ nhất.
Lời giải trong sỏch bài tập:
Hỡnh 30
Xột (P) là mặt phẳng chứa một đường chộo, chẳng hạn đường chộo BD‟ của hỡnh lập phương. Nếu (P) chứa D‟A‟ thỡ thiết diện cú diện tớch là
2 2 2
a . Tương tự nếu (P) chứa D‟C‟ hoặc D‟D thỡ thiết diện cũng cú diện tớch là 2
2
a .
Ta xột (P) cắt AA‟ tại điểm M. Gọi O là tõm hỡnh lập phương thỡ MO cắt CC‟ tại N. Do đú thiết diện của hỡnh lập phương khi cắt bởi (P) là BMD‟N, đú là hỡnh bỡnh hành.
Ta cú SBMD‟N = BD‟.MK = d.MK (d là độ dài đườn chộo của hỡnh lập phương). Vậy SBMD‟N nhỏ nhất khi và chỉ khi MK nhỏ nhất, tức MK là đường vuụng gúc chung của BD‟ và AA‟. Dễ thấy OMo là đường vuụng gúc chung của BD‟ và AA‟, trong đú Mo là trung điểm của AA‟, OMo bằng 2 2 a . Vậy lỳc đú: SBMD‟N = 2 2 6 3. 2 2 a a a .
Chỳ ý: Khi (P) cắt A‟B‟ hoặc B‟C‟ thỡ cỏch giải quyết bài toỏn cũng như
trờn và ta cú diện tớch thiết diện nhỏ nhất trong trường hợp đú cũng là 2 6 2 a . Dễ thấy 2 2 6 2 2 a a .
Vậy nếu (P) qua đường chộo BD‟ và qua trung điểm của một cạnh của hỡnh lập phương khụng đi qua B và D‟, thỡ diện tớch nhỏ nhất và cú giỏ trị bằng 2 6
2
a
.
Với phần mềm Cabri 3D, ta cú thể tiến hành dạy học theo quy trỡnh dựa trờn phiếu học tập sau:
PHIẾU HỌC TẬP 1. Hóy dựng hỡnh lập phương ABCD.A‟B‟C‟D‟. 2. Dựng mặt phẳng (P) qua đường chộo AC‟.
3. Xỏc định thiết diện của mặt phẳng (P) với hỡnh lập phương 4. Sử dụng cụng cụ đo diện tớch tớnh diện tớch của thiết diện
5. Thay đổi vị trớ của mặt phẳng (P), khảo sỏt sự thay đổi của diện tớch. Tỡm vị trớ của (P) để thiết diện cú diện tớch nhỏ nhất.
Hỡnh 31
Đõy là một bài toỏn tương đối khú, giỏo viờn cú thể tổ chức cho học sinh làm việc theo nhúm hai hoặc ba em. Cỏc em thảo luận, bàn bạc để dựng hỡnh minh hoạ cho tỡnh huống dựa theo phiếu học tập. Trong quỏ trỡnh thực hành, học sinh sử dụng cụng cụ đo đạc của Cabri 3D để khảo sỏt sự thay đổi diện tớch của thiết diện tuỳ theo cỏc vị trớ khỏc nhau của mặt phẳng (P). Qua đú, cỏc em sẽ tỡm ra cỏc yếu tố thay đổi và yếu
tố bất biến để đề xuất cỏch giải quyết vấn đề. Rừ ràng là, dự (P) cú thay đổi thỡ thiết diện vẫn luụn là hỡnh bỡnh hành, cú đường chộo AC‟ khụng đổi. Kết quả đo đạc cho thấy diện tớch thiết diện nhỏ nhất khi H là trung điểm của AC‟, hay M là trung điểm cạnh hỡnh lập phương. Từ kết quả khảo sỏt này, học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc định hướng giải cho bài toỏn: Trong hỡnh dựng được, diện tớch thiết diện S = MH.AC‟. Vậy S nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, tức là MH là đường vuụng gúc chung của AC‟ và cạnh của hỡnh lập phương (chứa điểm M). Vậy diện tớch thiết diện nhỏ nhất khi (P) đi qua trung điểm cạnh hỡnh lập phương (khụng đồng phẳng với AC‟).
Trong tỡnh huống trờn, học sinh được đặt trong tỡnh huống học tập cú sự tương tỏc giữa cỏc thành viờn trong nhúm và với phần mềm. Học sinh sẽ cựng nhau phõn tớch, đỏnh giỏ, tổng hợp kiến thức, bàn bạc, tranh luận và thống nhất ý kiến trong việc lựa chọn cỏc cụng cụ của phần mềm để giải quyết vấn đề. Như vậy, “việc học được kiến tạo một cỏch tớch
cực dựa trờn việc đưa ra vấn đề, giải quyết vấn đề , sự khỏm phỏ mang ý nghĩa cộng tỏc”. Trong cỏch thức học tập này , tri thức được hỡnh thành
theo con đường: Dự đoỏn Kiểm nghiệm Thất bại Thớch nghi
Kiến thức mới. Cựng với việc khỏm phỏ ra kiến thức mới, cỏch dạy học theo con đường kiến tạo này cũng giỳp học sinh rốn luyện cỏc kỹ năng tư duy như: kỹ năng tư duy đối thoại, kỹ năng tư duy phờ phỏn, kỹ năng tư duy giải quyết vấn đề và kỹ năng tư duy sỏng tạo.
Kết luận:
Trong phần này, ý định ban đầu của chỳng tụi là đi tỡm cõu trả lời cho vấn đề V2:
V2) Tớnh năng của phần mềm Cabri 3D trong dạy học nội dung dựng hỡnh khụng gian cú những ưu điểm gỡ? Sử dụng Cabri 3D để dựng hỡnh “đỳng” trong dạy học nội dung “ dựng hỡnh khụng gian” trong chương trỡnh lớp 11 trung học phổ thụng giải quyết được những khú khăn nào?
Chỳng tụi đó đạt được một số kết quả nhờ phõn tớch định tớnh vai trũ của phần mềm Cabri 3D trong dạy học nội dung dựng hỡnh khụng gian. Chỳng tụi thấy việc sử dụng phần mềm Cabri 3D trong dạy học nội dung dựng hỡnh khụng gian cú những ưu điểm là:
1. Khi học sinh biết sử dụng phần mềm Cabri 3D để dựng hỡnh đỳng trong khụng gian thỡ kỹ năng vẽ hỡnh biểu diễn của cỏc em cũng được cải thiện.
2. Sử dụng phần mềm Cabri 3D trong dạy học nội dung dựng hỡnh khụng gian sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh hỡnh thành kiến thức mới và củng cố kiến thức cơ bản.
3. Sử dụng phần mềm Cabri 3D để dựng hỡnh đỳng trong khụng gian giỳp học sinh trỏnh được một số khú khăn khi học hỡnh khụng gian.