6. Biện luận: Phõn tớch mối quan hệ giữa cỏc điều kiện đó cho và hỡnh đó dựng được, núi rừ trường hợp nào thỡ bài toỏn khụng cú lời giải, trường hợp
PHIẾU HỌC TẬP Họ tờn: Lớp: Trƣờng:
Họ tờn: Lớp: Trƣờng: Bài tập:
1. Sử dụng phần mềm Cabri 3D em hóy:
- Dựng tam giỏc vuụng cõn ABC tại A trờn mặt phẳng cơ sở. - Dựng điểm S trong khụng gian sao cho tam giỏc SBC đều và tam giỏc SAC cõn tại S.
Hóy nờu cỏc bước dựng của em.
2. Dựng O là hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn (ABC). Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC theo độ dài cạnh SO.
Cỏch thức tiến hành: Cỏc nhúm sử dụng phần mềm Cabri 3D để thực
hiện cỏc nhiệm vụ trong phiếu học tập trong thời gian 30 phỳt. Giỏo viờn ghi hỡnh quỏ trỡnh làm việc của cỏc nhúm học sinh. Cuối buổi, giỏo viờn thu lại bài làm, cỏc sản phẩm của học sinh để phõn tớch, đỏnh giỏ. Bài toỏn trong phiếu học tập cũng là bài toỏn mà chỳng tụi đó cho lớp đối chứng làm (cỏch phỏt biểu khỏc nhau). Tuy nhiờn, chỳng tụi yờu cầu học sinh trỡnh bày cỏc bước dựng hỡnh thoả món yờu cầu bài toỏn. Chỳng tụi muốn biết học sinh cú dựng được một hỡnh “đỳng” khụng và việc dựng hỡnh “đỳng” của học sinh sẽ ảnh hưởng như thế nào đến việc giải bài tập toỏn này. Chỳng tụi tiến hành quan sỏt, ghi hỡnh quỏ trỡnh làm việc của học sinh.
Dự kiến chiến lược giải của học sinh:
1. Học sinh cú thể dựng hỡnh “đỳng” theo cỏc bước sau:
- Dựng tam giỏc vuụng cõn ABC tại A (cú nhiều cỏch : cú thể dựng tam giỏc vuụng cõn qua hỡnh vuụng hoặc hỡnh trũn,...)
- Dựng cỏc mặt phẳng trung trực của cỏc đoạn thẳng AB, AC, cắt nhau theo giao tuyến d
- Dựng mặt cầu tõm C bỏn kớnh BC
- Mặt cầu cắt d tại S. Cho ẩn cỏc mặt phẳng trung trực, mặt cầu
Hỡnh 35
2. Dựng hỡnh chiếu O của S trờn (ABC). Rừ ràng điểm O chớnh là trung điểm của BC. Biết SO, giả sử SO = a, ta tớnh được cỏc cạnh của
tam giỏc đều SBC: 3 2 2 3
2 3 3
a a
SO BCBC . Do tam giỏc ABC vuụng cõn nờn cú: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 BC a AB AC BC AB AC AB AC a Tiờu chớ đỏnh giỏ sản phẩm của học sinh:
Chỳng tụi đỏnh giỏ kết quả làm việc của cỏc nhúm học sinh theo ba mức:
- Đạt yờu cầu: Nhúm dựng đỳng hỡnh (lưu lại cỏc tệp dựng hỡnh bằng Cabri 3D), trỡnh bày cỏc bước dựng trong phiếu đỳng.
- Khụng đạt yờu cầu: Làm thiếu hoặc làm sai một trong cỏc điều trờn. - Loại giỏi: Nhúm dựng đỳng hỡnh (lưu lại cỏc tệp dựng hỡnh bằng Cabri 3D), trỡnh bày cỏc bước dựng trong phiếu đỳng, tớnh đỳng cỏc cạnh của tam giỏc ABC.
3.3.2.2. Phõn tớch thực nghiệm A. Phõn tớch định tớnh:
PHẦN 1:
Trong 10 phỳt đầu, chỳng tụi thuyết trỡnh (cú minh hoạ bằng phần mềm PowerPoint) giới thiệu cụng cụ và cỏc nguyờn lớ chớnh của phần mềm Cabri 3D (cỏc thanh trạng thỏi, chức năng trợ giỳp cụng cụ, hỡnh cầu kớnh, quay tự động...). Học sinh theo dừi và làm theo cỏc thao tỏc được trỡnh chiếu trờn màn hỡnh. Sau thời gian này, học sinh đó cú những hiểu biết cơ bản về cỏch khai thỏc, tỡm kiếm cỏc cụng cụ của phần mềm. Chỳng tụi yờu cầu học sinh thực hiện cỏc hoạt động 1 và hoạt động 2
trong thời gian 60 phỳt.
Quan sỏt lớp học chỳng tụi thấy: sau 10 phỳt, hầu hết cỏc nhúm học sinh nhanh chúng sử dụng được cỏc cụng cụ chớnh của Cabri 3D để thực hiện được cỏc yờu cầu a, b, c, d của hoạt động 1. Chỉ cú 1 nhúm chưa làm xong vỡ mỏy tớnh bị khởi động lại. Điều này núi lờn khả năng sử dụng mỏy tớnh của học sinh khỏ thành thạo và cũng thể hiện tớnh thõn thiện của phần mềm Cabri 3D. Nhiều nhúm học sinh lỳng tỳng trước cõu e của hoạt động 1. Sau một thời gian loay hoay mà khụng tỡm được cỏch giải quyết, cú nhúm đó đề nghị chỳng tụi gợi ý. Chỳng tụi quyết định giỳp đỡ vỡ nội dung cõu e cú liờn quan đến hỡnh cầu (đó được học ở lớp 9, thời gian khỏ lõu). Chỳng tụi đó gợi ý học sinh bằng cỏc cõu hỏi: GV: A, B đó biết. Để cú SA =AB, tức là S cỏch điểm A cố định một khoảng khụng đổi AB, vậy thỡ S nằm ở đõu?
HS: S nằm trờn mặt cầu tõm A bỏn kớnh AB. À, vậy thỡ điểm S chớnh là
HS: S là giao điểm của d và mặt cầu tõm B bỏn kớnh AB cũng được. Sau 25 phỳt, tất cả cỏc nhúm đều thực hiện xong hoạt động 1, cú một số nhúm đó làm sang hoạt động 2. Chỳng tụi thấy học sinh cú vẻ hứng thỳ hơn khi thực hiện hoạt động 2. Rừ ràng là khi thực hiện hoạt động 2, học sinh được tương tỏc với phần mềm nhiều hơn, được sử dụng cỏc cụng cụ và chức năng phức tạp hơn nhưng cũng “ưu việt” hơn (so với hoạt động 1). Cỏc nhúm đều làm việc rất tớch cực, thảo luận, tranh luận sụi nổi, cú một số nhúm hơi “phấn khớch”. Khụng cần đến sự giỳp đỡ của chỳng tụi, sau 50 phỳt cỏc nhúm học sinh đều làm được cỏc cõu a, b, c, d, e và trả lời được: B‟D‟ song song với BD và AB‟ vuụng gúc với
SB. Cỏc nhúm đều đó dựng được hỡnh chiếu của S trờn DM nhưng lỳng
tỳng trước yờu cầu: “Hoạt nỏo điểm M để dự đoỏn quỹ tớch của K”. Chỳng tụi hướng dẫn học sinh sử dụng chức năng hoạt nỏo và cụng cụ
quỹ đạo qua vớ dụ (chỳng tụi khụng nhấn mạnh về dạy học quỹ tớch trong nghiờn cứu này nờn chỉ chọn một vớ dụ về quỹ tớch đơn giản):
Vớ dụ: Vẽ tam giỏc ABC. Điểm M chuyển động trờn BC. Gọi I là trung điểm của AM. Hoạt nỏo điểm M để dự đoỏn quỹ tớch của I.
Sau vớ dụ chỳng tụi đưa ra, nhiều nhúm học sinh đó tỡm được quỹ tớch của K. Cú 4 nhúm vẫn phải hỏi lại; chỳng tụi đó hướng dẫn trực tiếp cho cỏc nhúm này (núi cỏc bước làm, học sinh thực hiện theo) vỡ lớ do thời gian. Chỳng tụi thấy học sinh đặc biệt hứng thỳ với chức năng hoạt nỏo và cụng cụ quỹ đạo của phần mềm.
Phần 1 bị kộo dài so với dự kiến của chỳng tụi khoảng 10 phỳt. Nhưng chỳng tụi đỏnh giỏ mục tiờu chỳng tụi đề ra đối với phần 1 đó thực hiện được: tất cả học sinh thực nghiệm đều biết sử dụng cỏc cụng cụ chớnh của phần mềm Cabri 3D để thực hiện cỏc hoạt động 1 và hoạt động 2.
Thỏch thức trong việc dạy học kiến tạo mụn toỏn là “tạo ra được
những hoạt động thực nghiệm thu hỳt được học sinh tham gia và động viờn khuyến khớch cỏc em giải thớch , đỏnh giỏ, trao đổi, và ỏp dụng cỏc mụ hỡnh toỏn học cần thiết để giải quyết vấn đề học tập”. Với mục đớch
hợp thức giả thuyết G1: “Cú thể xõy dựng mụi trường học tập kiến tạo
với phần mềm Cabri 3D trong dạy học nội dung dựng hỡnh khụng gian”,
trong phần 2, sau khi phổ biến cỏc yờu cầu, nhiệm vụ học tập và phỏt phiều học tập cho học sinh, chỳng tụi để học sinh tự xoay sở là chớnh, giỏo viờn hạn chế can thiệp vào cỏc hoạt động của học sinh. Chỳng tụi đặt học sinh vào mụi trường học tập tương tỏc. Sự tương tỏc giữa cỏc thành viờn của nhúm, giữa học sinh với phần mềm Cabri 3D (mụi trường Cabri 3D cú tớnh tương tỏc cao) sẽ giỳp học sinh hũa mỡnh vào cỏc hoạt động trớ tuệ của cỏc thành viờn trong nhúm, cỏc em cựng nhau hợp tỏc, tớch cực đưa ra cỏc ý tưởng để giải quyết vấn đề, kiểm chứng cỏc ý tưởng của mỗi thành viờn trong nhúm từ đú tự điều chỉnh lại kiến thức của bản thõn sau khi đó lĩnh hội được cỏc tri thức mới, thụng qua việc giải quyết cỏc tỡnh huống trong phiếu học tập.
Quan sỏt lớp học chỳng tụi thấy: tất cả học sinh đều cú thỏi độ tớch cực đún nhận nhiệm vụ mà chỳng tụi giao cho. Cỏc em sụi nổi thảo luận, bàn bạc cỏch thức giải quyết nhiệm vụ. Chỳng tụi ghi lại được (quan sỏt trực tiếp, theo dừi phim) cỏc trao đổi của một số nhúm học sinh khi thực hiện yờu cầu thứ nhất trong phiếu học tập: “Dựng tam giỏc vuụng cõn ABC tại A trờn mặt phẳng cơ sở”:
Nhúm 1:
My: Lấy 3 điểm đi
Đạt: Tam giỏc vuụng cõn cơ mà… Hà: Dựng đường trũn
My: Thế thỡ tam giỏc đều à. Đạt: Vuụng cõn cơ mà
Hà: Dựng đường kớnh
My: Dựng mặt phẳng trung trực của đường kớnh.
Hà: Lấy giao điểm ở đõy là được tam giỏc vuụng cõn rồi.
Nhúm 5:
Thu: Tam giỏc vuụng cõn.Tỡm đi.
Minh:Khụng cú (tỡm trờn thanh cụng cụ của Cabri 3D). Phải vẽ thụi.. Thu: Dựng hai đường thẳng vuụng gúc rồi tỡm đoạn bằng nhau.
Minh: Uh. (di chuột trờn thanh cụng cụ). Mà cú hỡnh vuụng này. Lấy một nửa của hỡnh vuụng nhanh hơn...
Qua trao đổi trờn chỳng tụi thấy, những ý tưởng mà học sinh đưa ra để giải quyết nhiệm vụ học tập đều cú thể thực hiện ngay bằng mụ hỡnh và nhận được phản hồi ngay từ mụi trường Cabri 3D. Nhận được thụng tin phản hồi, học sinh đó điều chỉnh, thực hiện cỏc nhiệm vụ tiếp theo hoặc tỡm kiếm cỏch thực hiện khỏc. Cỏc nhúm đều dựng được tam giỏc ABC vuụng cõn tại A sau 10 phỳt (cú nhiều nhúm làm nhanh hơn).
Học sinh thảo luận, tranh cói nhau sụi nổi hơn khi thực hiện yờu cầu thứ hai: “Dựng điểm S trong khụng gian sao cho tam giỏc SBC đều và tam giỏc SAC cõn tại S”. Cú nhiều ý tưởng được đưa ra, cú ý tưởng đỳng, cú ý tưởng sai. Khi cú ý tưởng mới, học sinh lập tức thực hiện ngay. Vỡ vậy chỳng tụi nhắc học sinh phải thường xuyờn sử dụng chức năng hỡnh cầu kớnh hoặc cụng cụ tớnh toỏn để kiểm tra. Vớ dụ:
Nhúm 8:
Ngọc: Dựng hai mặt phẳng trung trực, tỡm giao. Diệp: S nằm trờn giao tuyến. Ẩn mặt phẳng đi Minh: dựng hỡnh cầu đường kớnh BC. S là giao. Ngọc: Cho ẩn hỡnh cầu đi rồi nối.
Diệp: Quay đi. Cho hỡnh quay đi.
Minh: Hỡnh như khụng đều. Chỉ cõn thụi Diệp: Đo nhộ.
Minh: Khụng đều thật. Làm lại, sai ở đõu nhỉ?
Như vậy, trong quỏ trỡnh hoạt động, học sinh thường xuyờn nhận được phản hồi từ mụi trường Cabri 3D để kiểm tra cụng việc của mỡnh. Chỳng tụi nhận thấy, để dựng được hỡnh đỳng theo yờu cầu của bài toỏn, học sinh đó phải huy động khỏ nhiều kiến thức, điều này khụng xảy ra nếu chỉ yờu cầu học sinh vẽ hỡnh biểu diễn cho bài toỏn:
Nhúm 1:
Đạt: Dựng một điểm S trong khụng gian sao cho tam giỏc SAC cõn tại S, tam giỏc SBC đều.
My: Đõy, lấy trung điểm của AC rồi kộo thẳng lờn. Nhấn Sifht. Hà: Kộo đến đõu?
Đạt: Tam giỏc SAC cõn thỡ đến đõu chẳng thế. Nhưng tam giỏc SBC đều My: Dựng mặt phẳng trung trực của AB rồidựng đường thẳng vuụng gúc với cỏi này(chỉ vào hỡnh, ý muốn dựng đường thẳng đi qua trung điểm của AC vuụng gúc với mặt phẳng cơ sở). Chỳng cắt nhau tại đõu thỡ đú là S.
My: Quay đi
Đạt: (Dựng chức năng hỡnh cầu kớnh) Khụng cắt nhau. Song song. Hà: Khụng cắt
Đạt: Giời ơi….
Đạt: Hay là dựng hỡnh cầu đi (Dựng hỡnh cầu đường kớnh BC) Hà: Cõn nhưng khụng đều.
Đạt: Sai sút kỹ thuật. Hỡnh cầu tõm B bỏn kớnh BC My: Rồi, đều rồi.
Đạt: Xong cõu 1.
Chỳng tụi thấy sau 25 phỳt, cỏc nhúm đều cú sản phẩm của minh. Cú nhúm dựng sai nhưng để đảm bảo tớnh khỏch quan của thực nghiệm so với lớp đối chứng, chỳng tụi khụng can thiệp, chỉ luụn nhắc học sinh phải thường xuyờn kiểm tra lại tớnh đỳng đắn của cỏc phộp dựng nhờ
cụng cụ tớnh toỏn và hỡnh cầu kớnh. Cú 4 nhúm đó lập luận S thuộc mặt cầu đường kớnh BC, nhưng cú 2 nhúm đó tự điều chỉnh nhờ sử dụng chức năng cầu kớnh; tuy nhiờn 2 nhúm này tớnh đỳng cỏc cạnh của tam giỏc. Cú 2 nhúm xỏc định S nằm trờn đường thẳng đi qua trọng tõm của tam giỏc ABC và vuụng gúc với mặt phẳng cơ sở. Hai nhúm này khụng tớnh được cạnh của tam giỏc ABC.
Với hỡnh dựng được ở cõu 1, học sinh thực hiện nhiệm vụ ở cõu 2. Như chỳng tụi quan sỏt được, học sinh thực hiện cõu 2 dễ dàng hơn so với cõu 1. Điều này là do học sinh mới làm quen với Cabri 3D nờn sử dụng chưa thành thạo. Nhưng cũn lớ do nữa đú là: việc dựng hỡnh đỳng ở cõu 1 đó tạo điều kiện thuận lợi để học sinh thực hiện nhiệm vụ ở cõu 2. Kết hợp với bài trỡnh bày của học sinh chỳng tụi thấy, với những nhúm dựng hỡnh đỳng, cỏc em thấy ngay hỡnh chiếu O của S chớnh là trung điểm của BC. Chỳng tụi cũng yờu cầu học sinh vẽ hỡnh biểu diễn khi trỡnh bày cõu 2 vào phiếu học tập. Cú 10 nhúm (29 học sinh) dựng hỡnh đỳng bằng Cabri 3D, trong đú cú 8 nhúm (23 học sinh) vẽ hỡnh biểu diễn đỳng, cú 2 nhúm (6 em) khụng vẽ hỡnh biểu diễn. Cú 4 nhúm (8 em) dựng hỡnh (bằng Cabri 3D) sai, trong đú cú 2 nhúm vẽ hỡnh biểu diễn sai, 1 nhúm khụng vẽ hỡnh biểu diễn và 1 nhúm (2 em) vẽ hỡnh biểu diễn “đỳng”.
Trong 10 nhúm dựng hỡnh “đỳng”, cú 8 nhúm (22 học sinh) tớnh đỳng (theo kết quả trong phần dự kiến chiến lược giải ở trờn); cũn 2 nhúm sử dụng cụng cụ tớnh toỏn của Cabri 3D để tớnh trực tiếp ra kết quả cụ thể. Vớ dụ: (Nhúm 10: Hải, Tỳ, Tuấn): SO = 3,5; AB = 5,8; AC = 5,8; BC = 8,2
Nhúm 12 (Huyền, Hằng, Chinh, Yến): SO = 2,5cm; AB = AC = 3,5 cm; BC = 7,4 cm. Hiện tượng này đưa chỳng tụi đến kiến nghị: cần phải xỏc
định rừ hơn yờu cầu của bài toỏn khi sử dụng Cabri 3D để giải bài toỏn hỡnh học khụng gian để học sinh khụng lẫn lộn giữa việc tớnh toỏn chớnh xỏc (đưa ra cụng thức) và tớnh toỏn gần đỳng . Trong 4 nhúm
vẽ đỳng hỡnh biểu diễn) tớnh đỳng cỏc cạnh của tam giỏc ABC. Lớ do là mặc dự dựng hỡnh sai, nhưng hỡnh chiếu của S trờn mặt phẳng (ABC) của cỏc em vẫn là trung điểm của BC. Nhưng để đảm bảo tớnh khỏch quan so với lớp đối chứng, khi thống kờ chỳng tụi vẫn coi hai nhúm này khụng đạt yờu cầu.
Quan sỏt cỏc nhúm đạt yờu cầu chỳng tụi thấy, khi dựng được hỡnh đỳng bằng Cabri 3D, cỏc em nhanh chúng xỏc định được cỏch tớnh cỏc cạnh tam giỏc. Vớ dụ nhúm 1:
Đạt: Dựng xong nhộ.
My: O là trung điểm, tam giỏc đều, vậy cú BC nhộ, nờn tớnh được AB, AC
Như vậy, việc dựng hỡnh đỳng theo yờu cầu của bài toỏn sẽ giỳp học sinh định hướng cỏch giải bài toỏn, tức là nú tham gia ngay từ bước đầu vào việc giải bài toỏn. Nhưng chỳng tụi thấy, khi dựng được hỡnh “đỳng” theo yờu cầu của bài toỏn, học sinh đều kết luận O là trung điểm của BC và chỉ cú 3 nhúm (8 em) chứng minh lại điều này khi trỡnh bày cõu 2 của phiếu học tập ! Đõy là điều khụng chấp nhận được khi làm bài trong điều kiện bỡnh thường (khụng sử dụng phần mềm). Nhưng do chỳng tụi chỉ yờu cầu tớnh cỏc cạnh của tam giỏc mà khụng núi rừ cần phải trỡnh bày cõu 2 như làm bài kiểm tra thụng thường nờn học sinh đó khụng chỳ ý đến tớnh chặt chẽ của lập luận mà sử dụng ngay hỡnh đỳng để giải. Hiện tượng này theo chỳng tụi cú thể trỏnh được bằng cỏch xỏc định rừ yờu cầu: dựa vào hỡnh dựng được ở cõu 1, em hóy giải bài toỏn sau: “Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A, mặt bờn SBC là tam giỏc đều, mặt bờn SAC là tam giỏc cõn tại S. Gọi O là hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn (ABC). Biết SO = a. Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC”. Đõy là bài toỏn chỳng tụi cho lớp đối chứng làm. Hỡnh dựng được ở cõu 1 đưa ra những gợi ý quan trọng giỳp học sinh định hướng cỏch giải.
Hiện tượng học sinh khụng chứng minh O là trung điểm của BC sau khi đó dựng được hỡnh đỳng dẫn chỳng tụi đến kiến nghị: Khi sử