3.2. 1. Định nghĩa
a. Tối ưu húa đơn mục tiờu
Tối ưu húa trong vận trự học là tỡm kiếm lời giải tối ưu khi giả bài toỏn thiết kế một hệ tống phức tạp mà cỏc thụng số trong lợi giả được gọi là thụng số tối ưu thiết kế hệ thống.
Chẳng hạn, cần tối ưu húa theo một mục tiờu với cỏc thụng số cấu trỳc của một hệ thống nào đấy, theo một tiờu chuẩn nào đấy hay tỡm cực trị của một hàm nào đấy: F(x1, x2, …, xn) → min (max) (3-1) Với cỏc ràng buộc: ≤ ≤ ≤ = bm x x x g b x x x g b x x x g n m n n ) ... , ( .. ... ... ... ... ... ... 2 ) ,... , ( 1 ) ,..., , ( 2 1 2 1 2 2 1 1 (3-2) Trong đú : b1, b2, …, bm là những giỏ trị cho trước.
Với cỏc biến của hàm số vộc tơ cú dạng:
X= (x1, x2, …, xn) (3-3)
Nghiệm tối ưu của bài toỏn sẽ là :
X1*= (x1*, x2*, .., xn*) (3-4) Khi đú, ta cú thể viết lại :
F(X) → min (max) (3-5)
Như vậy, khi (1-3), (3-2), (1-5) thỏa mản ta sẽ cú nghiệm tối ưu của bài toỏn.
b. Tối ưu húa nhiều mục tiờu
Bài toỏn tối ưu húa nhiều mục tiờu hay đau mục tiờu là bài toỏn phải thỏa món đồng thời nhiều (đa) mục tiờu, nghĩa là phải tối ưu húa đa mục tiờu của hệ thống:
X={x1, x2,…,xm)
Sao cho thỏa món cỏc hàm mục tiờu tương ứng:
Với cỏc ràng buộc:
gi(x) ≤ 0 (3-7)
Trong đú:
- i=1,2,3,…,m
- gi(x) là cỏc ràng buộc xỏc định miền giải phỏp khả thi. Hoặc cú thể biểu diễn hàm mục tiờu theo dạng:
F(x) → min (max) (3-8)
Với ràng buộc:
G(x)≤ bj, với j = 1, 2, …, m. (3-9) Như vậy, bài toỏn tối ưu húa đa mục tiờu là bài toỏn cực tiểu húa vộc tơ mục tiờu fi (tại 3-6), trong đú giỏ trị tối ưu húa sẽ khụng được xỏc định cho tới khi tất cả cỏc hàm mục tiờu khỏc nhau được giải quyết.
Chẳng hạn, cỏc mục tiờu của bài toỏn tối ưu xõy dựng hệ thống hồ chứa trờn sụng là: phỏt điện nhiều nhất, cấp nước nhiều nhất, giảm thiểu tỏc hại do lũ nhiều nhất, sinh thỏi mụi trường bền vững… với chi phớ thấp nhất. Tất nhiờn, nhà thiết kế khụng thể khẳng định rằng: tất cả cỏc mục tiờu đặt ra đều đạt hiệu quả nhất nhưng rừ ràng cú thể xỏc định được sự hài hũa của cỏc mục tiờu và cú mục tiờu ưu tiờn nhằm đạt hiệu ớch tối đa của dự ỏn bởi cỏc kết quả phõn tớch đó đạt được là nhờ vào việc đỏnh giỏ cỏc phương ỏn.
Trong thực tế cỏc hàm mục tiờu thường mõu thuẫn nhau: được điện khụng thể cấp nước theo yờu cầu, được phũng lũ khụng cho hiệu ớch điện tốt nhất… và một phương ỏn hài hũa thường hay gõy tranh cói vỡ mõu thuẫn dựng nước cho cỏc ngành khỏc nhau. Hay núi đỳng hơn, khụng thể tỡm được vộc tơ x mà cú thể cực tiểu húa hay cực đại húa được đồng thời cỏc mục tiờu.
Bài toỏn phõn tớch đa mục tiờu là bài toỏn phõn tớch để loại dần cỏc giải phỏp kộm hiệu quả nhằm tỡm kiếm giải phỏp từ tốt hơn đến tốt nhất.
Kết quả được cho bởi bài toỏn phõn tớch sẽ tỡm ra cỏc giải phỏp trong miền khả thi cho cỏc lựa chọn xem xột tiếp theo. Và cứ thế chỳng ta sẽ tỡm được một giải phỏp tốt nhất.
Trong thực tế cũn cú khỏi niệm đơn mục tiờu là việc xem xột tối ưu đơn mục tiờu trong bài toỏn nhiều mục tiờu.
Bởi vỡ, thực tế, trong việc phõn tớch hệ thống ngày càng xuất hiện nhiều mục tiờu, cho nờn việc sử dụng bài toỏn đơn mục tiờu sẽ khụng giải quyết mà phải cần tới bài toỏn tối ưu đa mục tiờu, trong đú cú từng mục tiờu cụ thể.
Trong cụng việc đơn mục tiờu, mục tiờu “tối ưu” cũng đó được thay bằng khỏi niệm “khụng giảm” trong khung cụng việc đa mục tiờu. Do vậy, khi ấy, nghiệm khụng giảm cú thể được hiểu là “Một nghiệm khả thi của một bài toỏn tối ưu đa mục tiờu sẽ khụng giảm nếu khụng tồn tại cỏc nghiệm khả thi khỏc mà chỳng cú thể cải thiện một mục tiờu mà khụng tạo ra một sự suy giảm của ớt nhất một một mục tiờu khỏc”.
Khỏi niệm khụng giảm được thiết lập nhằm tối đa húa hai mục tiờu mõu thuẫn nhau nào đấy.
Từ khỏi niệm khụng giảm, theo hỡnh 3-1 ta thấy: tất cả những điểm nằm trong miền nghiệm thuộc biờn của chỳng [ABCD] phải là nghiệm khụng giảm và dưới đú sẽ là miền nghiệm khả thi, cũn cỏc điểm khỏc khụng thuộc ABCD (ngoài) đú sẽ là nghiệm suy giảm của cỏc bài toỏn đa mục tiờu. Bởi vỡ, đối với nghiệm suy giảm đó tồn tại ớt nhất một nghiệm khả thi khỏc mà với nú và đồng thời, cỏc hàm mục tiờu cú thể được cải thiện. Mặt khỏc, đối với cỏc điểm nằm trờn đường ABCD, như tại điểm B chẳng hạn, khụng thể chuyển dịch đến bất kỳ điểm nào trong miền nghiệm mà khụng làm suy giảm ớt nhất một trong số cỏc mục tiờu.
Hình 3-1. Vựng nghiệm khả thi và nghiệm khụng giảm [41]
Tập hợp tất cả cỏc điểm khụng giảm là tập nghiệm khụng giảm và độ dốc của đường cong cú thể thay cho cận biờn hay đó cú sự chuyển đổi giữa cỏc mục tiờu mõu thuẫn nhau.
Khụng thể tỡm nghiệm cho bài toỏn tối ưu, nếu khụng cú cỏc số đặc trưng phự hợp giữa cỏc mục tiờu. Cỏc thụng tin phự hợp do cỏc nhà quyết định cú thể được biểu diễn bởi đường cong tựy ý như hỡnh 3-1 đó trỡnh bày trờn. Việc tối ưu húa cỏc vộc tơcú thể được mụ tả bởi cụng thức:
f(x)={f1(x), f2(x),…, fk(x)} (3-10) trong đú:
- f(x) vộc tơ tối ưu húa,
- k là vộc tơ chiều cỏc hàm mục tiờu.
Cú nhiều phương phỏp tỡm lời giải cho một bài toỏn đa mục tiờu như: chia thành cỏc kỹ thuật tạo nghiệm và cỏc kỹ thuật tổng hợp cỏc kiến thức cho trước của sự ưa thớch để tỡm lời giải.