Mô hình ARDL là viết tắt của Autoregressive Distributed Lag, tạm dịch là mô hình tự hồi quy phân phối trễ. Mô hình ARDL bắt đầu được sử dụng trong vài thập kỷ qua nhưng gần đây được sử dụng phổ biến hơn trong các nghiên cứu về mối quan hệ dài hạn giữa các biến kinh tế. Mô hình ARDL cũng được sử dụng để kiểm tra mối quan hệ đồng kết hợp, ước lượng động các mối quan hệ trong ngắn hạn và dài hạn, và đặc biệt hữu ích trong các trường hợp mô hình có các biến chuỗi ở dạng hỗn hợp giữa dừng hoặc không dừng. Mô hình được xây dựng và phát triển qua một số cột mốc quan trọng như sau: - Trong những năm 60, 70 của thế kỷ 20 mô hình phân phối trễ DL(q) hoặc
ARDL(0,q) được sử dụng rất nhiều. Để tránh ảnh hưởng ngược của vấn đề đa cộng tuyến liên quan đến các biến trễ, thông thường người ta sẽ giảm bớt số lượng tham số ước lượng bằng cách bổ sung các ràng buộc lên các hệ số alpha (α) của mô hình. - Hệ thống các ràng buộc được biết đến nhiều nhất là mô hình DL(∞) của Kouck (1954). Nó cho phép mô hình được biến đổi sang dạng tự hồi quy nhưng thành phần sai số tuân theo quá trình trung bình trượt (mô hình ARMAX). Ước lượng biến công cụ thường cho kết quả ước lượng tin cậy của mô hình.
- Với một giá trị độ trễ giới hạn, q, Almon (1965) đề xuất thay thế 1 tập ràng buộc khác dựa trên định lý xấp xỉ Weierstrass cho biết bất kì hàm số liên tục nào có thể được xấp xỉ bởi đa thức của một số độ trễ. Vấn đề là độ trễ nào là phù hợp? Điều này phải được chọn bằng thực nghiệm. Ước lượng của Almon (1965) ngày nay được cụ thể hóa trong nhiều phần mềm thống kê bao gồm cả Eviews. Tiếp sau đó, Dhrymes (1971) tổng quát hóa mô hình phân phối trễ.
Trong đó: εt là một sai số nhiễu ngẫu nhiên (không có sự tự tương quan).
Mô hình ARDL(p,q) của yt được giải thích bởi 2 thành phần: (i) thành phần “tự hồi quy” bao gồm p biến trễ của chính nó, yt-1, yt-2, …, yt-p và (ii) thành phần “phân phối trễ” của các biến trễ giải thích khác (x) với q độ trễ. Đôi khi giá trị hiện tại của x là xt được loại bỏ khỏi thành phần “phân phối trễ” như một dạng của mô hình cấu trúc.
Với sự hiện diện của các biến trễ phụ thuộc là các biến giải thích trong mô hình thì việc sử dụng ước lượng OLS cho mô hình ARDL sẽ cho kết quả ước lượng của các hệ số bị chệch. Nếu thành phần sai số nhiều ngẫu nhiên có hiện tượng tự tương quan thì OLS sẽ là một ước lượng không tin cậy và trong trường hợp này ước lượng biến công cụ thông thường sẽ được sử dụng.