5. Cấu trúc của luận văn
1.1.5.Các tổ chức toán học
Xoay quanh định nghĩa tích phân xác định, định lý cơ bản của giải tích, chúng tôi thấy có một số kiểu nhiệm vụ (KNV) sau.
Một số KNV xoay quanh định nghĩa tích phân
Với giả thiết f là hàm liên tục trên [a; b] và phép phân hoạch đều [a; b] (chia [a; b] thành n đoạn con đều nhau).
Kiểu nhiệm vụ TTXX-TP: Tính xấp xỉ tích phân bằng một tổng Riemann
Cụ thể KNV TTXX-TP là tính xấp xỉ tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 bằng một tổng Riemann của hàm f trên [a; b] với việc cho trước số khoảng phân hoạch và điểm 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖; 𝑥𝑖+1]. Kết quả của các NV thuộc KNV TTXX-TP là một số thực cụ thể. Một số nhiệm vụ thuộc KNV TTXX-TP
Ví dụ 1 Dùng các hình chữ nhật để xấp xỉ diện tích miền phẳng nằm dưới đường parabol y = x2 từ 0 đến 1. [20, tr. 360]
Ví dụ 2 a) Tính tổng Riemann của hàm f(x) = x3 – 6x với việc chọn các điểm nằm bên phải của các khoảng chia và a = 0, b = 3, và n = 6.
Giải (Ví dụ 2 a)
Với n = 6 độ lớn mỗi khoảng chia là
∆𝑥 =𝑏 − 𝑎
𝑛 =
3 − 0 6 = 0.5
và điểm cuối bên phải của các khoảng chia là x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5, x4 = 2.0, x5 = 2.5 và x6 = 3.0. Vì thế tổng Riemann là 𝑅6 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖) 6 𝑖=1 ∆𝑥 = 𝑓(0.5)∆𝑥 + 𝑓(1.0)∆𝑥 + 𝑓(1.5)∆𝑥 + 𝑓(2.0)∆𝑥 + 𝑓(2.5)∆𝑥 + 𝑓(3.0)∆𝑥 = 0.5(−2.875 − 5 − 5.625 − 4 + 0.625 + 9) = −3.9375. [20, tr. 375]
6 Khảo sát hàm cận trên trong trường hợp này là tìm khoảng tăng giảm, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất phác họa thô đồ thị (cụ thể được mô phỏng thành KNV TVĐT “phác họa đồ thị hàm 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 ”).
Qua cách giải trên, chúng tôi thấy xuất hiện kỹ thuật sau Kỹ thuật TXX-TP:
+ Xác định các điểm chia [a; b], x0 = a, x1 = a +x, … xi = a + i.x, … xn = b; với x = (b-a)/n. + Xác định các điểm 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖; 𝑥𝑖+1], 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1. + Lập tổng Riemann 𝑆 = ∑𝑛−1𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥 𝑖=0 . + Tính tổng Riemann 𝑆 = ∑𝑛−1𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥 𝑖=0 .
Công nghệ TXX-TP: Định nghĩa tích phân bằng giới hạn của tổng Riemann.
Các bước của kỹ thuật TXX-TP có thể được thực hiện bởi các phần mềm máy tính. Tuy nhiên, chúng tôi thấy yếu tố công nghệ vẫn không thay đổi.
KNV TTXX-TP xuất hiện trong những dạng câu hỏi như tính xấp xỉ diện tích, tính xấp xỉ quãng đường, tính xấp xỉ tích phân và tính tổng Riemann. Từ đó giáo trình cho thấy vai trò công cụ xấp xỉ tích phân của tổng Riemann. Ràng buộc đối với hàm f trong các dạng câu hỏi trên không giống nhau. Cụ thể, hàm f trong câu hỏi xấp xỉ diện tích và xấp xỉ quãng đường là f dương. Tuy nhiên hàm f trong tính xấp xỉ tích phân hay tính tổng Riemann là tùy ý (khúc âm, khúc dương). Số khoảng phân hoạch trong các dạng câu hỏi thuộc KNV TTXX-TP là số nguyên dương tùy ý cho trước. Tuy nhiên, với số khoảng phân hoạch lớn thì thường phải dùng phần mềm máy tính để tính xấp xỉ tích phân bằng tổng Riemann.
Kiểu nhiệm vụ TTTP-ĐN: Tính tích phân bằng định nghĩa
Cụ thể KNV TTTP-ĐN cho hàm f liên tục trên [a; b] tính tích phân 𝐼 = ∫𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥
bằng định nghĩa.
Ví dụ 2 (b). Tính ∫ (𝑥3 3
0 − 6𝑥)𝑑𝑥.
Phương pháp giải Với n khoảng chia ta có
∆𝑥 =𝑏−𝑎𝑛 = 3𝑛.
Vì thế x0 = 0, x1 = 3/n, x2 = 6/n, x3 = 9/n, và tổng quát, xi = 3i/n. Từ việc dùng điểm ở đầu mút phải, ta có thể dùng định lý 4:
∫ (𝑥3 3 0 − 6𝑥)𝑑𝑥 = lim 𝑛→∑𝑛 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 𝑖=1 = lim 𝑛→∞∑𝑛 𝑓(3𝑖𝑛 𝑖=1 )3𝑛 = lim 𝑛→∞ 3 𝑛∑𝑛 [(3𝑖𝑛)3− 6 (3𝑖𝑛)] 𝑖=1 = lim 𝑛→∞ 3 𝑛∑𝑛 [27𝑛3𝑖3−18𝑛 𝑖] 𝑖=1 = lim 𝑛→∞[81 𝑛4∑𝑛 𝑖3 𝑖=1 −54𝑛2∑𝑛 𝑖 𝑖=1 ] = lim 𝑛→∞{81 𝑛4[𝑛(𝑛+1) 2 ]2 −54𝑛2𝑛(𝑛+1)2 } =81 4 = 27 = − 27 4 = −6.75. [20, tr. 375, 376]
Qua ví dụ 2 (b) trên, chúng tôi tổng quát thành kỹ thuật giải quyết KNV TTTP-ĐN Kỹ thuật TTP-ĐN:
B1: Phân hoạch [a; b] bởi các điểm chia x0 = a, x1 = a +x, … xi = a + i.x, … xn = b; với x = (b-a)/n.
B2: Tính tổng 𝑆𝑛 = ∑𝑛−1𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
𝑖=0 (tổng phụ thuộc vào số tự nhiên n). B3: Tính limSn
Công nghệ TTP-ĐN: Định nghĩa tích phân bằng giới hạn của tổng Riemann.
Đối với kỹ thuật TTP-ĐN, tác giả đã dùng phần mềm algebra để tính thể hiện ở ví dụ sau
Ví dụ 3
(a)Thành lập một biểu thức cho ∫ 𝑒3 𝑥
1 𝑑𝑥 như là một giới hạn của tổng (b)Dùng phần mền algebra để tính biểu thức trên. [20, tr. 377]
Như vậy các bước 2 và 3 của kỹ thuật TTP-ĐN có thể được thực hiện bởi phần mềm máy tính (algebra). Phần mềm algebra là một phần mềm chuyên về tính toán được trích ra từ phần mềm maple nhưng nhẹ và dễ sử dụng hơn maple.
Để làm rõ mối quan hệ giữa tích phân và diện tích tác giả còn đưa ra một số nhiệm vụ thuộc kiểu TTTP-ĐN có thể giải bằng cách tính diện tích bằng công thức đã biết.
Ví dụ 4
Tính các tích phân sau bằng việc giải thích chúng trong miền giới hạn của diện tích
(a) ∫ √1 − 𝑥01 2𝑑𝑥. (b) ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥03 . Phương pháp giải
(a) Từ 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2 ≥ 0, chúng ta có thể xem tích phân này như là diện tích của miền nằm dưới đường cong 𝑦 = √1 − 𝑥2 từ 0 đến 1. Mặt khác, từ y2 = 1 – x2 ta có x2+y2 = 1, miền mà hàm f đã chỉ ra là một phần tư hình tròn với bán kính 1 trong hình 1.14. Do đó
∫ √1 − 𝑥01 2𝑑𝑥 =14𝜋(1)2 =𝜋4.
(b) Đồ thị hàm số y = x – 1 là đường thẳng với hệ số góc là 1 được chỉ ra trong hình 1.15. Chúng ta tính tích phân như là việc khác của tính diện tích hai tam giác:
∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥03 = A1 – A2 =12(2.2) –
1
2(1.1) = 1.5. [20, tr. 378]
Các yêu cầu thuộc KNV TTTP-ĐN được huy động khi giáo trình muốn hoàn thiện ý nghĩa của khái niệm tích phân thông qua định nghĩa tích phân (diện tích đại số).
Các KNV xoay quanh định lý cơ bản của giải tích
Kiểu nhiệm vụ TVĐT: Phác họa đồ thị của hàm g(x) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕𝒂𝒙 .
Cụ thể KNV TVĐT là phác họa đồ thị hàm số g(x) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 với việc cho đồ thị hàm số y = f(t), với f liên tục trên [a ; b], (nếu hàm f cho dạng công thức thì có thể vẽ đồ thị của nó bằng máy tính). Phác họa đồ thị hàm số g(x) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 trong trường hợp này, chúng tôi tìm hiểu một số thông tin sau
- Tìm khoảng tăng, giảm của hàm g
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của g(x) trên [a; b]
- Phác họa (minh họa một cách đơn giản) đồ thị của hàm g(x).
Hình 1.15. Các miền tam giác Hình 1.14. Miền cần tính diện tích
Có rất nhiều bài tập có yêu cầu thuộc KNV TVĐT, hầu hết trong các yêu cầu đó đều đề cập tới kết quả g’ = f trong định lý cơ bản của giải tích phần 1.
Đối với KNV TVĐT, tác giả đưa ra kỹ thuật thể hiện trong ví dụ 1 trang 387 Kỹ thuật VĐT:
- Tìm khoảng tăng, giảm của hàm g
Hàm g tăng (giảm) trên (𝛼; β) nếu f (x) > 0 (f(x) < 0) trên (𝛼; β) ; (𝛼; β)
[a ; b] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm g trên [a; b] Max [𝑎;𝑏]𝑔 = Max{𝑔(𝑎), 𝑔(𝑏), 𝑔(𝑥𝑖), 𝑖 = 1, 2, … 𝑛} min [𝑎;𝑏]𝑔 = Min{𝑔(𝑎), 𝑔(𝑏), 𝑔(𝑥𝑖), 𝑖 = 1, 2, … 𝑛} Trong đó xi (a ; b) thỏa mãn f(xi) = 0. - Phác họa đồ thị của hàm g(x).
Đồ thị của hàm g trên [a; b] là đường nối các điểm Mi(xi ; g(xi)), i = 0, 1, 2, …, n+1, với x0 = a, xn+1 = b.
Công nghệ VĐT: Các yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên chủ yếu là + Ý nghĩa hình học của tích phân xác định.
+ Tính chất của đường liên tục.
Kiểu nhiệm vụ TTĐH: Tính đạo hàm của hàm g(x) = ∫𝒂𝒖(𝒙)𝒇(𝒕)𝒅𝒕.
Xét một bài tập có yêu cầu thuộc KNV TTĐH
Bài tập 13 Dùng phần một của định lý cơ bản của giải tích để tìm đạo hàm của hàm số
ℎ(𝑥) = ∫ 𝑙𝑛𝑡𝑑𝑡1𝑒𝑥 . [20, tr. 394]
Cụ thể KNV TTĐH là tính đạo hàm của hàm g(x) với hàm f liên tục trên [a ; b], u(x) là hàm có đạo hàm trên [a; b] và có tập giá trị, tập xác định là [a; b].
Giáo trình đưa ra kỹ thuật giải quyết đối với KNV này, cụ thể là ví dụ 4 trang 390. Theo đó, kỹ thuật giải quyết như sau
𝑑𝑔 𝑑𝑥 = 𝑑
𝑑𝑥(∫𝑎𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)𝑑𝑡) = f(u(x)).𝑑𝑢 𝑑𝑥
Công nghệ TĐH:
+ Định lý cơ bản của giải tích phần 1 + Công thức đạo hàm của hàm hợp
Kiểu nhiệm vụ TTTP-NL: Tính tích phân bằng công thức Newton - Leibniz
Phần 2 của định lý cơ bản của giải tích (công thức Newton – Leibniz) cung cấp kỹ thuật giải quyết đối KNV TTTP-NL. Cụ thể, các KNV TTTP-NL là tính I = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝒂𝒃 ,
với f liên tục trên [a; b] và f(x) có nguyên hàm biểu diễn được qua các hàm số sơ cấp. Kỹ thuật TTP-NL : + Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên [a ; b]
+ I = F(b) – F(a).
Công nghệ TTP-NL : Công thức Newton – Leibniz.
Các yêu cầu thuộc KNV TTTP-NL được huy động khi giáo trình muốn người học hiểu ý nghĩa của khái niệm tích phân thông qua công thức Newton – Leibniz (số thực xác định thông qua nguyên hàm) .
KNV TTP-TGH: Dùng tích phân để tính giới hạn của tổng
Xét một nhiệm vụ thuộc KNV TTP-TGH
Bài tập 69 Tính giới hạn bằng việc xác định tổng như một tổng Riemann của một hàm số xác định trên [0; 1] lim 𝑛→∞∑ 𝑖3 𝑛4 𝑛 𝑖=1 .
Cụ thể KNV TTP-TGH là dùng tích phân để tính giới hạn của tổng Sn, với Sn có thể chuyển về dạng ∑𝑛 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥
𝑖=1 . Trong đó, f liên tục trên [a ; b], x*
i [a ; b] cho trước, i = 1, 2, …, n; x = (b-a)/n.
Kỹ thuật TP-GHT : + Chuyển tổng cần tính về tổng Riemann 𝑆𝑛 = ∑𝑛 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥
𝑖=1 .
+ Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên [a ; b] + lim
𝑛→∞𝑆𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = F(b) – F(a) Công nghệ TP-GHT : Chủ yếu là công thức Newton – Leibniz. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
KNV TTP-TGH không xuất hiện trong phần lý thuyết hay ví dụ mà xuất hiện trong hai bài tập.
Bảng thống kê các KNV cho các ví dụ, bài tập trong các phần định nghĩa tích phân, định lý cơ bản của giải tích ([20, tr. 369 - 371, 382 – 385]).
Bảng 1.3. Bảng tóm tắt các KNV
Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Bài tập Tổng ví dụ và bài tập
(%) TTXX-TP: Tính xấp xỉ tích phân bằng một tổng Riemann. 16 44 60 (38,7 %) TTTP-ĐN: Tính tích phân bằng định nghĩa. 5 21 26 (16,8 %) TTTP-NL: Tính tích phân bằng công thức Newton – Leibniz. 4 29 33 (21,3%) TVĐT: Phác họa đồ thị hàm số g(x) = ∫ f(t)dtax . 2 7 9 (5,8%) TTĐH: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = ∫au(x)f(t)dt. 3 22 25 16,1%) TTP-TGH: Dùng tích phân để tính giới hạn của tổng. 0 2 2 (1,3%) Tổng cộng ví dụ và bài tập 30 125 155
Qua bảng 1.3 cho thấy KNV TTXX-TP chiếm số lượng lớn trong giáo trình (38,7%). Như thế, giáo trình rất ưu tiên cho vai trò tính xấp xỉ tích phân của tổng Riemann trong dạy học khái niệm tích phân. Các KNV TTTP-ĐN và TTTP-NL xuất hiện gần tương đương nhau (26/33 nhiệm vụ). Qua đó cho thấy giáo trình lựa chọn vai trò công cụ của định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz trong việc tính tích phân là tương đương.