Khái niệm tích phân trong giáo trình vi tích phân hàm một biến

5. Cấu trúc của luận văn

1.2.2. Khái niệm tích phân trong giáo trình vi tích phân hàm một biến

Theo giáo trình phép tính vi phân và tích phân của hàm số một biến số phần lý thuyết (GTVTPLT) thì sinh viên (SV) được học theo đúng 9 chương mà CTTCĐ đã quy định. Khái niệm tích phân được GTVTPLT giới thiệu và hoàn thiện ở chương VIII theo các bài học sau

 Bài 1: Bổ túc kí hiệu về 

 Bài 3: Tính chất của tích phân xác định  Bài 4: Các phương pháp tính tích phân  Bài 5: Ứng dụng của tích phân

 Bài 6: Tính gần đúng tích phân  Bài 7: Tích phân suy rộng

Như vậy so với CTTCĐ thì GTVTPLT đưa thêm hai nội dung bổ túc kí hiệu về 

(bài 1) và tính gần đúng tích phân (bài 6).

a. Tiếp cận khái niệm tích phân

 Tiếp cận khái niệm tích phân thông qua bài toán tính diện tích

Bài toán tính diện tích được GTVTPLT đưa ra là “Tính diện tích hình giới hạn bởi parabol y = f(x) = x2, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2” [12, tr. 357]. GTVTPLT đã đưa ra 4 cách khác nhau giải quyết bài toán này. Trong đó cách giải quyết 1, 2 và 4 đều thực hiện theo quy trình

1. Phân hoạch đoạn [1; 2]

2. Tính tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ 3. Tính giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật.

Sự khác biệt của bốn cách giải quyết bài toán đến từ phép phân hoạch hoặc tổng diện tích các hình chữ nhật khác nhau.

 Ba cách đầu tiên có chung phép phân hoạch nhưng khác nhau ở việc chọn các hình chữ nhật xấp xỉ.

Theo đó, phép phân hoạch [1; 2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia 1 = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = 2, với 𝑥_𝑖 = 1 + ^𝑖

𝑛 và độ dài mỗi khoảng ∆𝑥 =¹

𝑛. Tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ trong ba cách này đều có dạng

𝑆 = ∑𝑛 𝑓(_𝑖)

𝑖=1 ∆𝑥_𝑖. (1.4)

Tuy nhiên, cách thứ nhất (thứ hai), trong tổng S (1.4) điểm i được chọn là điểm xi-1 (xi) (đầu mút trái, phải) của [xi-1; xi], i = 1, 2, …, n.

Hình 1.16. Chia miền cần tính diện tích. Cách 1.

Ta gọi diện tích của hình thang cong PMVQ là Si nằm trên đoạn ∆𝑥_𝑖

Xấy xỉ Si bằng hình chữ nhật PQNM:

Si ≈ MP × PQ = f(x_i−1). ∆𝑥_𝑖 = (∆𝑥_𝑖−1)2. ∆𝑥_𝑖 = (1 +^{𝑖 − 1} 𝑛 ^)2.

1 𝑛^.

Trên tất cả các phần nhỏ ta đều làm như vậy rồi gộp lại, ta được một hình bậc thang ACD’DE’E…TB có diện tích gần bằng diện tích cần tính S (hình bậc thang này nội tiếp với hình cần tính diện tích):

𝑆 ≈ ∑𝑛 (1 +^𝑖−1_𝑛 )2._𝑛¹ 𝑖=1 […] 𝑆  ∑ (1 +^𝑖−1 𝑛 )2.¹ 𝑛 𝑛 𝑖=1 = 1 +^𝑛−1 𝑛 + ^{(𝑛−1)(2𝑛−1)} 6𝑛2 .

Sai số của đẳng thức gần đúng này càng ngày càng nhỏ khi số phần chia càng lớn, do đó có thể xem:

𝑆 = lim

𝑛→∞( 1 +^𝑛−1_𝑛 + ^{(𝑛−1)(2𝑛−1)}_6𝑛2 ) = 1 + 1 +¹₃=⁷₃. [12, tr. 358, 359]

Cách thứ ba, trong tổng S (1.4) điểm i được chọn khá đặc biệt […]

Si RPPQ = i². ∆𝑥_𝑖 = i².x (mọi ∆𝑥_𝑖 bằng nhau nên có thể đặt chung là x) và 𝑆 ≈ ∑𝑛 _𝑖2

𝑖=1 ∆𝑥

Chú ý rằng F(x) = x³/3 là một nguyên hàm của f(x) = x², tức là F’(x) = x². Khi đó, theo định lý Lagrange, trên mỗi khoảng (xi-1; xi) tồn tại ci sao cho:

F(xi) – F(xi-1) = F’(ci)(xi – xi-1) = 𝑐_𝑖2∆𝑥_𝑖 =𝑐_𝑖2∆𝑥. Nếu chọn i = ci thì ta có : 𝑆 ≈ ∑𝑛 𝑐_𝑖2 𝑖=1 ∆𝑥 = ∑𝑛 [𝐹(𝑥_𝑖) − 𝐹(𝑥_𝑖−1)] 𝑖=1 = F(xn) – F(x0) = F(2) – F(1) = ² 3 3 − ¹³ 3 = ⁷ 3. [12, tr. 360, 361]

Cách giải quyết thứ ba có nét khác với cách thứ nhất và thứ hai ở điểm đã vận dụng định lý Lagrange vào bài toán diện tích. Mặt khác tư tưởng chuyển qua giới hạn trong cách thứ ba gần như không xuất hiện.

 Cách thứ 4 khác so với hai cách trên bởi việc phân hoạch không đều [1; 2]. Cụ thể, n điểm chia [1; 2] lập thành cấp số nhân

x0 = 1 < x1 < x2 < … < xn = 2

trong đó xi = qi với q = ^𝑛√2, i = 1, 2, …, n. Sau đó các tác giả cũng xấp xỉ diện tích Si bằng hình chữ nhật nội tiếp trong hình thang cong PQMN. Cuối cùng, GTVTPLT tính giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ là S = 7/3. Việc chọn các điểm chia lập thành một cấp số nhân làm dễ dàng hơn cho việc tính tổng của các tác giả.

Qua các cách giải quyết bài toán diện tích hình thang cong trên của GTVTPLT, chúng tôi thấy một số điểm sau

 Cách giải quyết thứ nhất, thứ hai và thứ tư cho thấy vai trò công cụ ngầm ẩn của định nghĩa tích phân (giới hạn của tổng Riemann). Cách giải quyết thứ ba cho thấy vai trò công cụ ngầm ẩn của công thức Newton – Leiniz.

 Mục đích của việc đưa ra nhiều cách giải quyết bài toán diện tích là để người học nhận ra giới hạn lim

→0∑𝑛 𝑓(_𝑖)

𝑖=1 ∆𝑥_𝑖 không phụ thuộc vào phân hoạch [a; b] và việc chọn các điểm _𝑖[xi-1; xi].

Sau khi trình bày bốn cách khác nhau giải quyết cho bài toán diện tích nêu trên, các tác giả mở rộng ví dụ này cho hàm số liên tục, không âm bất kỳ. Từ đó, các tác giả đưa tới quy trình tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b. Cụ thể, các bước sau

o Phân hoạch đoạn [a; b] (có thể phân hoạch không đều)

o Xấp xỉ diện tích Si của hình thang cong thứ i

o Lập tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ

o Tính giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ khi tất cả các đoạn phân hoạch tiến về 0.

GTVTPLT đưa ra quy trình tính diện tích hình thang cong “phân hoạch  tính tổng  tính giới hạn” với mục đích làm cơ sở để đưa tới định nghĩa tích phân xác định. Tuy nhiên, GTVTPLT không đưa ra một thực nghiệm số, hình học hay một tính toán xấp xỉ cụ thể nào để người học tiếp cận định nghĩa tích phân.

 Tiếp cận tích phân thông qua bài toán tính quãng đường

Ngay sau khi giải quyết vấn đề tính diện tích hình thang cong, GTVTPLT đưa ra vấn đề “tính quãng đường s đi được của một động tử chuyển động với vận tốc tức thời v = v(t), trong khoảng thời gian T” (các tác giả không đưa ra ví dụ cụ thể).

Xuất phát từ công thức tính quãng đường của chất điểm chuyển động thẳng đều: Quãng đường = vận tốc  thời gian

Trong trường hợp chuyển động là không đều thì việc tính quãng đường đi được s được GTVTPLT trình bày giống như quy trình tính diện tích hình thang cong. Cụ thể,

o Phân hoạch khoảng thời gian T thành các khoảng ti = ti – ti-1

o Xấp xỉ quãng đường đi được trong khoảng ti là si v(i). ti

o Xấp xỉ quãng đường đi được trong khoảng thời gian T 𝑠 ∑^𝑛_𝑖=1𝑣(_𝑖)∆𝑡_𝑖

o Cuối cùng 𝑠 = lim

𝑛→∞∑𝑛 𝑣(_𝑖)

𝑖=1 ∆𝑡_𝑖.

Như vậy quy trình tính quãng đường đi được của một vật chuyển động không đều và tính diện tích hình thang cong được GTVTPLT giới thiệu là giống nhau. Tuy nhiên việc không đưa ra ví dụ cụ thể nào cho vấn đề tính quãng đường ít nhiều làm mất đi tính thực tế của quy trình trên.

b. Định nghĩa tích phân xác định

Sau khi giải quyết các bài toán xác định diện tích miền phẳng S quãng đường đi được của chất điểm, GTVTPLT đưa ra định tích phân xác định.

Hãy chia tùy ý [a; b] thành n phần bởi các điểm chia x0 = a<x1< x2 < … < xn = b, và gọi đây là một phép phân hoạch [a; b]. Lập tổng (gọi là tổng tích phân)

𝜎 = ∑𝑛 𝑓(_𝑖)

𝑖=1 ∆𝑥_𝑖, với i tùy ý trên [xi-1; xi], ∆𝑥_𝑖 = xi – xi-1. […].

Ta gọi độ dài lớn nhất của các đoạn ∆𝑥_𝑖, i =1, 2, …, n là đường kính của phép phân hoạch kí hiệu là . Muốn tất cả các đoạn ∆𝑥_𝑖 tiến về 0 chỉ cần  0.

Định nghĩa. Nếu giới hạn

𝐼 = lim →0𝜎

tồn tại, không phụ thuộc cách chia [a; b] và cách chọn điểm i thì ta gọi đó là tích

phân xác định hoặc tích phân Riemann của hàm số y = f(x) trên [a; b] và kí hiệu

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 = lim

→0∑𝑛 𝑓(_𝑖)

𝑖=1 ∆𝑥_𝑖.

Khi đó ta nói f khả tích trên [a; b], a và b được gọi là các cận dưới và cận trên của tích phân.

[12, tr. 364]

Như vậy các tác giả đưa ra định nghĩa tích phân xác định khá hoàn chỉnh. Tuy nhiên, chúng tôi không tìm thấy định nghĩa hay tên gọi cho các đối tượng như hàm f(x), dx hay f(x)dx trong cụm kí hiệu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 .

Sau định nghĩa các tác giả rút ra các nhận xét

1. Ý nghĩa hình học của tích phân là số đo diện tích của hình thang cong. 2. Ý nghĩa cơ học của tích phân là độ dài quãng chuyển động của một động tử 3. Có sự khác biệt lớn giữa tích phân xác định và tích phân không xác định 4. Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡. 𝑏 𝑎

5. Nếu biết f khả tích trên [a; b] để thuận tiện cho việctính tích phân bằng định nghĩa thì nên chọn cách phân hoạch đều [a; b].

Như vậy mục đích của GTVTPLT khi đưa ra các nhận xét trên chủ yếu để hoàn thiện định nghĩa tích phân. Qua đó, khái niệm tích phân nhanh chóng trở thành đối

tượng của Toán học. Tuy nhiên, sau định nghĩa tích phân, GTVTPLT không đưa ra ví dụ cụ thể nào thể hiện vai trò công cụ của định nghĩa tích phân. Điều này làm hạn chế vai trò công cụ của định nghĩa tích phân cả với khái niệm tích phân và các vấn đề thực tiễn. Mặt khác, GTVTPLT không đưa ra định nghĩa diện tích hình thang cong nên nhận xét 1(Ý nghĩa hình học của tích phân là số đo diện tích của hình thang cong) rất khó hiểu cho người đọc.

c. Mối quan hệ giữa định nghĩa tích phân và nguyên hàm

Mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và nguyên hàm được GTVTPLT trình bày dưới dạng định lý 1 (công thức Newton – Leibniz) (trang 378) và định lý 2 (trang 381). Mối liên hệ này được trình bày sau khi hoàn thiện điều kiện khả tích và các tính chất của tích phân.

Định lý 1 (công thức Newton – Leibniz)

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục và có một nguyên hàm là F(x) trên [a; b]. Khi đó ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) [12, tr. 379]. […]

Định lý 2 (mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm) Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì hàm số (gọi là hàm cận trên)

(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡_𝑎^𝑥 (với x  [a; b]) liên tục, khả vi và ’(x) = f(x). [12, tr. 381]

GTVTPLT đưa vào dạy học định lý 1 (công thức Newton – Leibniz) theo tiến trình “phát biểu định lý  chứng minh định lý  củng cố định lý”. Có thể xem giáo trình đã đưa ra hai cách chứng minh cho định lý này. Một cách đã được giới thiệu trong cách giải 3 của ví dụ đầu tiên (tính diện tích hình thang cong để đưa tới định nghĩa tích phân). Một cách được xem như một hệ của định lý 2. Trong bước củng cố định lý, các tác giả đưa 5 ví dụ áp dụng công thức Newton – Leibniz để tính tích phân. Từ đó GTVTPLT cho thấy trọng tâm của việc dạy học công thức Newton – Leibniz là để làm công cụ tính tích phân.

Ngay sau định lý 1, các tác giả đặt vấn đề cho sự tồn tại nguyên hàm của hàm liên tục và đưa vào định lý 2. Theo đó, định lý 2 cũng được GTVTPLT đưa vào theo tiến trình “phát biểu định lý  chứng minh định lýcủng cố định lý”. Trong bước củng cố định lý 2, các tác giả đưa ra hai ví dụ để áp dụng. Các ví dụ vận dụng mà GTVTPLT đưa ra chỉ dừng lại ở mức cơ bản (dùng định lý để tính đạo hàm của hàm cận trên). GTVTPLT không đưa ra ví dụ nàodùng định lý 2 để khảo sát hàm số không thể biểu diễn qua các hàm sơ cấp như hàm Fresnel 𝑆(𝑥) = ∫ sin (_𝑎^{𝑥 𝜋𝑡}₂²) 𝑑𝑡. Điều này làm hạn chế một cách đáng kể ở người học khả năng ứng dụng thực tế định lý 2.

Theo cách đưa vào dạy học hai định lý (định lý 1 và định lý 2 trang 381) của GTVTPLT thì hầu như không có các hoạt động để người học tìm tòi, dự đoán định lý. Điều này làm hạn chế năng lực khám phá, dự đoán phát hiện vấn đề của người học.

1.2.3. Các tổ chức toán học

Trong phần này, chúng tôi chủ yếu xét các tổ chức toán học xoay quanh định nghĩa tích phân và mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và nguyên hàm.

Các KNV xoay quanh định nghĩa tích phân

 Kiểu nhiệm vụ TTTP-ĐN: Tính tích phânbằng định nghĩa

Cụ thể KNV TTTP-ĐN là với f khả tích trên [a; b], tính I = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 . Qua định nghĩa tích phân chúng tôi thấy xuất hiện kỹ thuật sau

Kỹ thuật TTP-ĐN:

B1: Phân hoạch [a; b] bởi các điểm chia x0 = a, x1 = a +x, … xi = a + i.x, … xn = b; với x = (b-a)/n.

B2: Tính tổng 𝑆_𝑛 = ∑𝑛−1𝑓(𝑥_𝑖)∆𝑥

𝑖=0 (tổng phụ thuộc vào số tự nhiên n). B3: Tính limSn

Công nghệ TTP-ĐN: Định nghĩa tích phân xác định.

Qua nghiên cứu các bài tập của GTVTPBT, chúng tôi thấy một số nhiệm vụ thuộc kiểu TTTP-ĐN có thể giải bằng cách tính diện tích bằng công thức đã biết.

Bài tập 5.5 Bằng hình ảnh hình học, hãy tính các tích phân sau a) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₋₂² , ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₋₂³ , ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₋₂⁴

Với 𝑓(𝑥) = {−√4 − 𝑥^{2, −2 ≤ 𝑥 < 0} 𝑥 − 2, 0 < 𝑥 ≤ 4

[13, tr. 75]

Trong giáo trình, KNV TTTP-ĐN xuất hiện ở hai dạng câu hỏi “tính diện tích hình phẳng” và “tính tích phân bằng định nghĩa”.

Các yêu cầu thuộc KNV TTTP-ĐN được huy động khi giáo trình muốn hoàn thiện ý nghĩa diện tích đại số của khái niệm tích phân thông qua định nghĩa tích phân.

 KNV TTXX-TP: Tính xấp xỉ tích phân bằng một tổng Riemann

Cụ thể KNV TTXX-TP là tính xấp xỉ tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 bằng một tổng Riemann của hàm f trên [a; b] với việc cho trước số khoảng phân hoạch và điểm 𝑥_𝑖∗ ∈ [𝑥_𝑖; 𝑥_𝑖+1]. Kết quả của các NV thuộc KNV TTXX-TP là một số thực cụ thể. KNV TTXX-TP không xuất hiện trong phần lý thuyết mà xuất hiện trong các bài tập của giáo trình phép tính vi phân và tích phân hàm số một biến số phần bài tập (GTVTPBT). Chỉ có 2 nhiệm vụ thuộc KNV TTXX-TP trong GTVTPBT đều xuất hiện dưới dạng câu hỏi tính tổng tích phân.

Xét một nhiệm vụ trong phần bài tập

Bài tập 5.1 Cho y = x2 + 1trên [0 ; 2]. Hãy chia đoạn đó thành 6 đoạn bằng nhau. Ứng với phép phân hoạch này

a) Hãy tính tổng dưới và tổng trên s và S. [13, tr. 74]

Qua nghiên cứu cách giải quyết bài tập trên, chúng tôi thấy xuất hiện kỹ thuật sau Kỹ thuật TXX-TP:

+ Xác định các điểm chia [a; b], x0 < x1 < … < xn = b. + Xác định các điểm 𝑥_𝑖∗ ∈ [𝑥_𝑖; 𝑥_𝑖+1], 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1. + Lập tổng Riemann 𝑆 = ∑𝑛−1𝑓(𝑥_𝑖∗)∆𝑥_𝑖

𝑖=0 .

+ Tính tổng Riemann 𝑆 = ∑𝑛−1𝑓(𝑥_𝑖∗)∆𝑥_𝑖

𝑖=0 .

Công nghệ TXX-TP: Định nghĩa tích phân xác định.

 Các KNV xoay quanh mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và nguyên hàm

Cụ thể, các KNV này là tính I = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝒂^𝒃 , với f liên tục trên [a ; b] và f(x) có nguyên hàm biểu diễn được qua các hàm số sơ cấp. Công thức Newton – Leibniz cung cấp kỹ thuật để giải quyết đối với KNV TTTP-NL

Kỹ thuật TTP-NL: + Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên [a; b]

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 _𝑎^𝑏 = F(b) – F(a).

Công nghệ  TTP-NL: Công thức Newton – Leibniz.

Các yêu cầu thuộc KNV TTTP-NL được huy động khi giáo trình muốn người học hiểu ý nghĩa số thực được xác định thông qua nguyên hàm của khái niệm tích phân thông qua công thức Newton – Leibniz.

 Kiểu nhiệm vụ TTĐH: Tính đạo hàm của hàm g(x) = ∫_𝒂^𝒖(𝒙)𝒇(𝒕)𝒅𝒕.

Cụ thể, KNV TTĐH là cho hàm f liên tục trên [a ; b], u(x) là hàm có đạo hàm và nhận giá trị trên [a; b], tính đạo hàm của hàm g(x).

Các tác giả đã đưa ra kỹ thuật giải quyết đối với KNV TTĐH, cụ thể là ví dụ 1 trang 382. Theo đó, kỹ thuật giải quyết như sau

Kỹ thuật TĐH : 𝑑𝑔 𝑑𝑥 = ^𝑑 𝑑𝑥(∫_𝑎^𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)𝑑𝑡) = f(u(x)).𝑑𝑢 𝑑𝑥 Công nghệ TĐH:

+ Định lý đạo hàm của hàm cận trên + Công thức đạo hàm của hàm hợp

 KNV TTP-TGH: Dùng tích phân để tính giới hạn của tổng

Xét một nhiệm vụ trong phần bài tập

Bài tập 5.8 Dùng tích phân để tính giới hạn của tổng sau a) lim

𝑛→∞(_𝑛¹₂+_𝑛²₂+ ⋯ +^𝑛−1_𝑛2)

[13, tr. 76]

Cụ thể KNV TTP-TGH là dùng tích phân để tính giới hạn của tổng Sn, với Sn có thể chuyển về dạng ∑𝑛 𝑓(𝑥_𝑖∗)∆𝑥

𝑖=1 . Trong đó, f liên tục trên [a ; b], x*

i = 1, 2, …, n; x = (b-a)/n. KNV TTP-TGH không xuất hiện trong phần ví dụ mà xuất