Mục tiêu của thực nghiệm

5. Cấu trúc của luận văn

2.1. Mục tiêu của thực nghiệm

Sau khi nghiên cứu những đặc trưng về mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân trong ở chương 1, chúng tôi đã đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu. Cụ thể:

Câu hỏi 1:

- Với việc chỉ giới thiệu bài toán tổng quát về tính quãng đường bằng tổng Riemann như giáo trình CĐSP, người học sẽ giải quyết những tình huống:

tính xấp xỉ, chuyển qua giới hạn và tính chính xác trong một bài toán cụ thể như thế nào?

- Với cách trình bày bài toán tính diện tích hình thang cong được sử dụng để hình thành tổng Riemann trong giáo trình CĐSP, người học sẽ giải quyết những tình huống: tính xấp xỉ, chuyển qua giới hạn và tính chính xác trong một bài toán cụ thể như thế nào?

Đối với việc nghiên cứu ảnh hưởng của việc dạy học mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz lên các SV CĐSP đã đặt ra ở cuối chương 1, do hạn chế về thời gian, chúng tôi giới hạn vấn đề nghiên cứu và đặt ra câu hỏi như sau

Câu hỏi 2:

Với việc khảo sát hàm cận trên như ý tưởng của giáo trình Mỹ, sinh viên CĐSP khám phá mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz đến mức độ nào? Những khó khăn nào mà họ gặp phải khi khám phá tri thức này?

Mục tiêu của thực nghiệm là đi tìm các yếu tố để trả lời các câu hỏi trên. Khi làm được việc đó thì thực chất chúng tôi đã nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế với khái niệm tích trong ICĐSP lên các cá nhân là sinh viên các ngành Toán, Lý ở Trường CĐSP. Nói cách khác, khi đó chúng tôi đã tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu CH2 mà ban đầu chúng tôi đặt ra.

2.2. Các lựa chọn cố định cho tình huống của thực nghiệm

 Thực nghiệm được tiến hành trên đối tượng sinh viên các ngành Toán, Lý ở Trường CĐSP đã học qua học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm số một biến số.

 Đối tượng tri thức để tiến hành thực nghiệm là định nghĩa tích phân (giới hạn của tổng Riemann) và mối liên hệ giữa định nghĩa tich phân và công thức Newton – Leibniz.

2.3. Nội dung thực nghiệm

Câu 1. Chiếc xe hơi của bác Thành bị hỏng công tơ mét. Một ngày nọ bác muốn đo quãng đường đi được trong 30 giây đầu tiên từ thời điểm xuất phát. Bác Thành đã nhờ cháu mình ngồi bên cạnh đọc và ghi lại số đo của đồng hồ tốc độ cứ sau mỗi 5 giây. Bảng 2.1. Bảng giá trị vận tốc

t (giây) 0 5 10 15 20 25 30

v (km/h) 0 2,5 10 22,5 40 62,5 90

a) Theo bạn bác Thành có ước lượng (tính gần đúng) được quãng đường đi được trong 30 giây đầu tiên hay không?

 Không ước lượng được. Bởi vì:

 Ước lượng được. Bác Thành có thể làm như sau:

b) Một người đề nghị ước lượng quãng đường đi được của bác Thành trong 30 giây trên như sau:

+ Đổi đơn vị km/h sang m/s (mét/giây) 1 (km/h) = 1000m/3600s  0,28 (m/s) Viết lại bảng 2.1

Bảng 2.2. Bảng giá trị vận tốc (m/s)

t (s) 0 5 10 15 20 25 30

v (m/s) 0 0,7 2,8 6,3 11,2 17,5 25,2

+ Ước lượng quãng đường trong các khoảng thời gian 5 giây

- Trong 5 giây đầu tiên xem như vận tốc không đổi, có giá trị là

0+0,7

2 = 0,35 (𝑚

𝑠) suy ra quãng đường đi được trong khoảng thời gian 5 giây này xấp xỉ 5  0,35 = 1,75 m.

- Tương tự, quãng đường đi được trong khoảng thời gian tiếp theo (từ t = 5 s đến t = 10 s) xấp xỉ là 0,7+2,82 × 5 = 17,5 𝑚.

- Tiếp tục làm tương tự cho các khoảng tiếp theo, ta sẽ ước lượng tổng quãng đường đi được của bác Thành trong 30 giây là

𝑠 ≈ 0+0,7 2 × 5 +0,7+2,8 2 × 5 +2,8+6,3 2 × 5 +6,3+11,2 2 × 5 +11,2+17,5 2 × 5 +17,5+25,2 2 × 5 = 264,25 (𝑚).

+ Như vậy quãng đường bác Thành đi được là s  264,25 (m).

b1) Bạn có đồng ý với cách làm này không? Giải thích câu trả lời của bạn.

b2) Bạn hãy đề nghị cải tiến cách ước lượng trong b để tìm được một xấp xỉ độ dài quãng đường tốt hơn.

c) Giả sử ta biết được công thức vận tốc theo thời gian là 𝑣(𝑡) =10𝑡2 (𝑘𝑚ℎ ) với t (giây), 0 ≤ t ≤ 30. Bạn hãy tính độ dài quãng đường đã đi trong khoảng thời gian 30 giây đầu tiên.

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Hình 2.1. Miền phẳng D

a) Bạn hãy chỉ ra một cách để ước lượng diện tích miền phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và các đường thẳng x = 0, x = 4.

Hình 2.2. Hình bậc thang xấp xỉ miền D - Chia [0; 4] thành 4 đoạn [0; 1], [1; 2], [2; 3], [3; 4]

- Xấp xỉ miền D bằng hình bậc thang OABCDEFGHK là hợp của các hình chữ nhật có chiều rộng là 1 và chiều cao là trung bình cộng giá trị của hàm f tại hai điểm đầu mút các đoạn tương ứng.

- Diện tích S của miền D gần bằng diện tích hình bậc thang (gần bằng tổng diện tích các hình chữ nhật)

S  SOABM + SMCDN + SNEFP + SPGHK

= OA  AB+ DN  CD + NE  EF + KH  GH = 1,5  1 + 3,5  1 + 7,5  1 + 13,5 1 = 26 - Vậy S  26.

b1) Bạn có đồng ý với cách làm này không? Giải thích câu trả lời của bạn.

b2) Bạn hãy đề nghị cải tiến cách ước lượng trong b để tìm được một xấp xỉ diện tích tốt hơn.

c) Giả sử hàm số trên có công thức y = f(x) = x2 + 1, bạn hãy tính diện tích miền phẳng D.

Câu 3. Cho hàm số y = f(t) có đồ thị (là đường gấp khác gồm các đoạn thẳng) như hình vẽ

Hình 2.3. Đồ thị hàm số y = f(t) trên [0; 5] Gọi hàm số y = g(x) được xác định bởi 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 , x  [0; 5]

a) Tính g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(5); từ đó phác họa đồ thị hàm số y = g(x) bằng đoạn thẳng nối các điểm (0; g(0)), (1; g(1)), (2; g(2)), (3; g(3)), (4; g(4)), (5; g(5)). b) Tìm các khoảng trên (0; 5) mà tại đó hàm g đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến). Giải thích câu trả lời của nhóm bạn.

c) Theo bạn, công việc thực hiện ở câu a) và b) có thể giúp phát hiện kiến thức toán học nào? Giải thích rõ câu trả lời của nhóm bạn.

2.4. Phân tích tiên nghiệm 2.4.1. Tổ chức thực nghiệm 2.4.1. Tổ chức thực nghiệm

Chúng tôi dự định trình tự, thời gian cho các tình huống thực nghiệm như sau  Tình huống 1

Thực nghiệm câu 1 (làm việc cá nhân).

Thứ nhất: chúng tôi phát phiếu số 1 (phiếu đề bài và câu hỏi a, b1, b2, c) và phiếu số 2 (phiếu làm bài và nháp cho câu a) của câu 1. Thời gian làm bài cho câu a là 18 phút.

 Thứ hai: sau khi thu phiếu làm bài số 2 thì mới phát phiếu số 3 (phiếu đề bài b) và phiếu số 4 (phiếu làm bài cả nháp cho câu b1, b2), phiếu số 5 (phiếu làm bài và nháp cho câu c) của câu 1. Thời gian làm bài cho câu b (b1, b2) là 15 phút, thời gian làm câu c là 10 phút. Sau 25 phút mới thu cùng lúc hai phiếu số 4 và phiếu số 5.

 Tình huống 2

Thực nghiệm câu 2 (làm việc cá nhân).

Thứ nhất: chúng tôi phát phiếu số 1 (phiếu đề bài và câu hỏi a, b1, b2, c) và phiếu số 2 (phiếu làm bài và nháp cho câu a) của câu 2. Thời gian làm bài cho câu a là 18 phút.

 Thứ hai: sau khi thu phiếu làm bài số 2 thì mới phát phiếu số 3 (phiếu đề bài b) và phiếu số 4 (phiếu làm bài và nháp cho câu b1, b2), phiếu số 5 (phiếu làm bài và nháp cho câu c) của câu 2. Thời gian làm bài cho câu b (b1, b2) là 15 phút, thời gian làm câu c là 10 phút. Sau 25 phút mới thu cùng lúc hai phiếu số 4 và phiếu số 5.

 Tình huống 3

Thực nghiệm câu 3 (làm việc nhóm).

 Thứ nhất: chia lớp thành 4 đến 8 nhóm, mỗi nhóm 4 đến 7 sinh viên. Mỗi nhóm ngồi quanh một bàn lớn (có thể được xếp từ 2 đến 4 bàn học thông thường).

 Thứ hai: phát mỗi nhóm 3 phiếu số 1 (phiếu đề bài), 4 đến 7 phiếu số 3 (phiếu nháp), ba phiếu làm bài: 1 phiếu số 2 (câu a), 1 phiếu số 4 (câu b), 1 phiếu số 5 (câu c).

 Thứ ba: thông báo thời gian làm bài cho câu 3 là 45 phút, hết 45 phút mới thu cùng lúc ba phiếu làm bài (số 2, 4 và 5).

2.4.2. Phân tích câu 1 a. Mục tiêu a. Mục tiêu

Việc thực nghiệm câu 1 nhằm tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi 1. Nói cách khác, qua thực nghiệm câu 1 cho phép đánh giá ứng xử của SV trong việc vận dụng khái niệm tích phân đối với bài toán tính quãng đường.

 Câu a nhằm quan sát một tổng Riemann có xuất hiện hay không? Và xuất hiện như thế nào trong một tình huống vận dụng định nghĩa tích phân để tính xấp xỉ quãng đường?

 Câu b

Để xem SV có nhận ra tổng Riemann này (trong câu 1 b) là trường hợp cụ thể của tổng Riemann tổng quát đã đề cập trong dạy học định nghĩa tích phân hay không. Cụ thể, chúng tôi tạo cơ hội cho tổng Riemann xuất hiện trong bài toán xấp xỉ quãng đường nhằm quan sát yếu tố chuyển qua giới hạn còn tồn tại ở SV hay không.

- Câu b1 để xem SV có đồng ý với cách xấp xỉ quãng đường bằng một tổng Riemann cụ thể hay không.

- Câu b2 cho thấy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường còn hiện diện ở SV hay không.

 Câu c để xem SV có biết tính chính xác quãng đường mà các em đã xấp xỉ bằng bài toán tích phân hay không.

b. Các chiến lược và cái có thể quan sát

 Câu a

Chiến lượctổng Riemann: STR

Câu trả lời ứng với chiến lược tổng Riemann là xấp xỉ quãng đường đi được bằng một tổng Riemann ∑6 𝑣𝑖

𝑖=1 5, vi [v(ti-1); v(ti)] với t0 = 0, t1 = 5, t2 = 10, t3 = 15, t4 = 20, t5 = 25, t6 = 30. Với cách xấp xỉ như trên, kết quả thu được quãng đường s  [192,5 (m) ; 318,5 (m)] . Như vậy tổng Riemann còn hiện diện ở SV.

 Chiến lược vận tốc trung bình: 𝑆𝑣̅

Câu trả lời ứng với chiến lược vận tốc trung bình là xấp xỉ quãng đường đi được s  30  𝑣 = 30  9,1 = 273 𝑚, với 𝑣 =v(0)+v(5)+v(10)+v(15)+v(20)+v(25)+v(30)7

= 9,1 𝑚/𝑠. Khi đó tổng Riemann không còn hiện diện ở SV.

 Chiến lược tích phân: STP

Câu trả lời ứng với chiến lược tích phân là quãng đường đi được 𝑠 ≈ ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡030 , với v(t) là hàm vận tốc chuyển động của chiếc xe, khi đó có thể coi tổng Riemann không còn hiện diện ở SV. Chúng tôi dự đoán chiến lược này khó xuất hiện bởi vì câu trả lời dùng chiến lược này có kết quả không là một số cụ thể.

 Câu b Câu b1

Ta có thể quan sát câu trả lời ứng với câu b1 như sau

- Đồng ý và chỉ cần giải thích tối thiểu là “đó cũng là một cách xấp xỉ quãng đường đi được” nghĩa là SV chấp nhận xấp xỉ quãng đường bằng một tổng Riemann. Câu trả lời như thế được xem là đến từ chiến lược tổng Riemann. Tuy nhiên điều này chưa đủ để khẳng định SV có nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát được đề cập trong dạy học khái niệm tích phân hay không. Vì vậy cần xem xét yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường bằng tổng Riemann còn tồn tại ở SV hay không. Cụ thể, phải kết hợp với kết quả thực nghiệm câu b2.

- Không đồng ý và giải thích tùy ý, câu trả lời này có thể đến từ chiến lược vận tốc trung bình hay chiến lược tích phân hoặc là một câu trả lời không phù hợp. Như vậy SV không nhận ra nó là một tổng Riemann cụ thể.

Câu b2

Câu trả lời sử dụng chiến lược phân hoạch mịn hơn là chỉ ra một cách phân hoạch mịn hơn. Cụ thể là việc đo vận tốc được tiến hành sau 1s, 2s hay 3s…. Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường thực sự hiện diện ở SV.

Chiến lược vận tốc trung bình: 𝑆𝑣̅

Câu trả lời sử dụng chiến lược vận tốc trung bình là tính quãng đường đi được bằng cách dùng chiến lược vận tốc trung bình (trong câu a) cho việc cải tiến ước lượng. Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường bằng tổng Riemann không còn tồn tại ở SV.

Như vậy các chiến lược tổng Riemann, chiến lược giới hạn được sử dụng trong câu b (b1 và b2) sẽ cho phép kết luận SV nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát đã đề cập trong dạy học khái niệm tích phân còn hiện diện ở SV.

 Câu c

Các chiến lược ứng với câu 1c tương tự các chiến lược trong câu 1a.

Chiến lược tích phân: STP

- Câu trả lời 𝑠 = ∫03036𝑡2𝑑𝑡 (𝑚) = 𝑡3

108|30

0 (𝑚) = 250 (𝑚). Như thế SV vận dụng tốt

khái niệm tích phân (định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz) cho bài toán quãng đường.

- Câu trả lời 𝑠 = ∫03036𝑡2𝑑𝑡 và không tính tích phân này. Như thế SV biết vận dụng định nghĩa tích phân nhưng chưa vận dụng công thức Newton – Leibniz cho bài toán quãng đường.

Chiến lược tổng Riemann: STR

Câu trả lời sử dụng chiến lược tổng Riemann là quãng đường đi được S = ∑ (𝑡𝑖∗)2

36  𝑛

𝑖=1 ∆𝑡𝑖, với ∆𝑡𝑖 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1, i = 1, 2, …, n, t0 = 0 < t1< t2 < …< tn = 30, 𝑡𝑖∗  [ti; ti+1].

Như vậy SV chưa vận dụng tốt định nghĩa tích phân, công thức Newton – Leibniz cho bài toán tính quãng đường.

c. Các biến didactic và giá trị của nó

 V1: cách cho hàm vận tốc chuyển động của chiếc xe

Các giá trị của biến V1 là các cách cho hàm vận tốc (v = v(t)) chuyển động của chiếc xe, theo đó V1 có các giá trị: dạng công thức phụ thuộc biến, dạng bảng và dạng

đồ thị. Trong tình huống thực nghiệm chúng tôi chọn hàm vận tốc ở dạng bảng với mục đích thuận tiện cho quan sát chiến lược tổng Riemann có xuất hiện hay không.

 V2: Cách cho ước lượng mẫu (ước lượng để SV đánh giá trong câu 1b)

Biến V2 tham gia trong câu 1b, cụ thể là cách cho trước một ước lượng quãng đường đi được. Theo đó, V2 nhận các giá trị là các cách ước lượng quãng đường đi được của chiếc xe. Cơ bản thì V2 nhận các giá trị: chiến lược tổng Riemann, chiến lược vận tốc trung bình và chiến lược tích phân. Trong tình huống thực nghiệm, chúng tôi chọn cách ước lượng dùng tổng Riemann ∑6 𝑣𝑖

𝑖=1 5, 𝑣𝑖 =𝑣(𝑡𝑖)+𝑣(𝑡𝑖+1)

2 , 𝑖 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 với mục đích quan sát tổng Riemann và tố chuyển qua giới hạn có hiện diện ở SV không.

2.4.3. Phân tích câu 2 a. Mục tiêu a. Mục tiêu

Việc thực nghiệm câu 2 nhằm tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi 1. Qua câu 2 cho phép đánh giá việc vận dụng khái niệm tích phân của SV trong vấn đề tính diện tích.

 Câu a nhằm quan sát một tổng Riemann có xuất hiện hay không? Và xuất hiện như thế nào trong một tình huống vận dụng định nghĩa tích phân để tính xấp xỉ diện tích.

 Câu b

Để xem SV có nhận ra tổng Riemann này (trong câu b) là trường hợp cụ thể của tổng Riemann tổng quát đã đề cập trong dạy học định nghĩa tích phân hay không. Cụ thể, chúng tôi tạo cơ hội cho tổng Riemann xuất hiện trong bài toán xấp xỉ diện tích nhằm quan sát yếu tố chuyển qua giới hạn còn tồn tại ở SV hay không.

- Câu b1 để xem SV có chấp nhận với cách xấp xỉ diện tích bằng một tổng Riemann không.

- Câu b2 cho thấy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ diện tích còn hiện diện ở SV hay không.

 Câu c cho phép đánh giá việc SV có biết dùng tích phân tính chính xác diện tích mà các em đã xấp xỉ hay không.

b. Các chiến lược và cái có thể quan sát

 Câu 2 a

Câu trả lời ứng với chiến lược tổng Riemann là xấp xỉ diện tích bằng một tổng Riemann 𝑆 ≈ ∑4 𝑓(𝑥𝑖∗

𝑖=1 ) 1, 𝑓(𝑥𝑖∗) [f(i-1); f(i)] với i = 1, 2, 3, 4. Như vậy tổng Riemann còn hiện diện ở SV.

 Chiến lược giá trị trung bình: 𝑆𝑓̅

- Câu trả lời ứng với chiến lược giá trị trung bình có thể là diện tích S  30  𝑓, (𝑓 = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)

5 ).

- Câu trả lời sử dụng chiến lược giá trị trung bình còn có thể là diện tích