5. Cấu trúc của luận văn
2.4.2. Phân tích câu 1
a. Mục tiêu
Việc thực nghiệm câu 1 nhằm tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi 1. Nói cách khác, qua thực nghiệm câu 1 cho phép đánh giá ứng xử của SV trong việc vận dụng khái niệm tích phân đối với bài toán tính quãng đường.
Câu a nhằm quan sát một tổng Riemann có xuất hiện hay không? Và xuất hiện như thế nào trong một tình huống vận dụng định nghĩa tích phân để tính xấp xỉ quãng đường?
Câu b
Để xem SV có nhận ra tổng Riemann này (trong câu 1 b) là trường hợp cụ thể của tổng Riemann tổng quát đã đề cập trong dạy học định nghĩa tích phân hay không. Cụ thể, chúng tôi tạo cơ hội cho tổng Riemann xuất hiện trong bài toán xấp xỉ quãng đường nhằm quan sát yếu tố chuyển qua giới hạn còn tồn tại ở SV hay không.
- Câu b1 để xem SV có đồng ý với cách xấp xỉ quãng đường bằng một tổng Riemann cụ thể hay không.
- Câu b2 cho thấy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường còn hiện diện ở SV hay không.
Câu c để xem SV có biết tính chính xác quãng đường mà các em đã xấp xỉ bằng bài toán tích phân hay không.
b. Các chiến lược và cái có thể quan sát
Câu a
Chiến lượctổng Riemann: STR
Câu trả lời ứng với chiến lược tổng Riemann là xấp xỉ quãng đường đi được bằng một tổng Riemann ∑6 𝑣𝑖
𝑖=1 5, vi [v(ti-1); v(ti)] với t0 = 0, t1 = 5, t2 = 10, t3 = 15, t4 = 20, t5 = 25, t6 = 30. Với cách xấp xỉ như trên, kết quả thu được quãng đường s [192,5 (m) ; 318,5 (m)] . Như vậy tổng Riemann còn hiện diện ở SV.
Chiến lược vận tốc trung bình: 𝑆𝑣̅
Câu trả lời ứng với chiến lược vận tốc trung bình là xấp xỉ quãng đường đi được s 30 𝑣 = 30 9,1 = 273 𝑚, với 𝑣 =v(0)+v(5)+v(10)+v(15)+v(20)+v(25)+v(30)7
= 9,1 𝑚/𝑠. Khi đó tổng Riemann không còn hiện diện ở SV.
Chiến lược tích phân: STP
Câu trả lời ứng với chiến lược tích phân là quãng đường đi được 𝑠 ≈ ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡030 , với v(t) là hàm vận tốc chuyển động của chiếc xe, khi đó có thể coi tổng Riemann không còn hiện diện ở SV. Chúng tôi dự đoán chiến lược này khó xuất hiện bởi vì câu trả lời dùng chiến lược này có kết quả không là một số cụ thể.
Câu b Câu b1
Ta có thể quan sát câu trả lời ứng với câu b1 như sau
- Đồng ý và chỉ cần giải thích tối thiểu là “đó cũng là một cách xấp xỉ quãng đường đi được” nghĩa là SV chấp nhận xấp xỉ quãng đường bằng một tổng Riemann. Câu trả lời như thế được xem là đến từ chiến lược tổng Riemann. Tuy nhiên điều này chưa đủ để khẳng định SV có nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát được đề cập trong dạy học khái niệm tích phân hay không. Vì vậy cần xem xét yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường bằng tổng Riemann còn tồn tại ở SV hay không. Cụ thể, phải kết hợp với kết quả thực nghiệm câu b2.
- Không đồng ý và giải thích tùy ý, câu trả lời này có thể đến từ chiến lược vận tốc trung bình hay chiến lược tích phân hoặc là một câu trả lời không phù hợp. Như vậy SV không nhận ra nó là một tổng Riemann cụ thể.
Câu b2
Câu trả lời sử dụng chiến lược phân hoạch mịn hơn là chỉ ra một cách phân hoạch mịn hơn. Cụ thể là việc đo vận tốc được tiến hành sau 1s, 2s hay 3s…. Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường thực sự hiện diện ở SV.
Chiến lược vận tốc trung bình: 𝑆𝑣̅
Câu trả lời sử dụng chiến lược vận tốc trung bình là tính quãng đường đi được bằng cách dùng chiến lược vận tốc trung bình (trong câu a) cho việc cải tiến ước lượng. Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường bằng tổng Riemann không còn tồn tại ở SV.
Như vậy các chiến lược tổng Riemann, chiến lược giới hạn được sử dụng trong câu b (b1 và b2) sẽ cho phép kết luận SV nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát đã đề cập trong dạy học khái niệm tích phân còn hiện diện ở SV.
Câu c
Các chiến lược ứng với câu 1c tương tự các chiến lược trong câu 1a.
Chiến lược tích phân: STP
- Câu trả lời 𝑠 = ∫03036𝑡2𝑑𝑡 (𝑚) = 𝑡3
108|30
0 (𝑚) = 250 (𝑚). Như thế SV vận dụng tốt
khái niệm tích phân (định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz) cho bài toán quãng đường.
- Câu trả lời 𝑠 = ∫03036𝑡2𝑑𝑡 và không tính tích phân này. Như thế SV biết vận dụng định nghĩa tích phân nhưng chưa vận dụng công thức Newton – Leibniz cho bài toán quãng đường.
Chiến lược tổng Riemann: STR
Câu trả lời sử dụng chiến lược tổng Riemann là quãng đường đi được S = ∑ (𝑡𝑖∗)2
36 𝑛
𝑖=1 ∆𝑡𝑖, với ∆𝑡𝑖 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1, i = 1, 2, …, n, t0 = 0 < t1< t2 < …< tn = 30, 𝑡𝑖∗ [ti; ti+1].
Như vậy SV chưa vận dụng tốt định nghĩa tích phân, công thức Newton – Leibniz cho bài toán tính quãng đường.
c. Các biến didactic và giá trị của nó
V1: cách cho hàm vận tốc chuyển động của chiếc xe
Các giá trị của biến V1 là các cách cho hàm vận tốc (v = v(t)) chuyển động của chiếc xe, theo đó V1 có các giá trị: dạng công thức phụ thuộc biến, dạng bảng và dạng
đồ thị. Trong tình huống thực nghiệm chúng tôi chọn hàm vận tốc ở dạng bảng với mục đích thuận tiện cho quan sát chiến lược tổng Riemann có xuất hiện hay không.
V2: Cách cho ước lượng mẫu (ước lượng để SV đánh giá trong câu 1b)
Biến V2 tham gia trong câu 1b, cụ thể là cách cho trước một ước lượng quãng đường đi được. Theo đó, V2 nhận các giá trị là các cách ước lượng quãng đường đi được của chiếc xe. Cơ bản thì V2 nhận các giá trị: chiến lược tổng Riemann, chiến lược vận tốc trung bình và chiến lược tích phân. Trong tình huống thực nghiệm, chúng tôi chọn cách ước lượng dùng tổng Riemann ∑6 𝑣𝑖
𝑖=1 5, 𝑣𝑖 =𝑣(𝑡𝑖)+𝑣(𝑡𝑖+1)
2 , 𝑖 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 với mục đích quan sát tổng Riemann và tố chuyển qua giới hạn có hiện diện ở SV không.