5. Cấu trúc của luận văn
2.5.Phân tích hậu nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành vào giữa tháng 8/2015 với 21 SV lớp K17 sư phạm Toán (năm thứ ba) và 23 SV lớp K18 sư phạm Lý (năm thứ hai) đã học qua khái niệm tích phân của Trường Cao đẳng Sư phạm Bình Phước.
Dữ liệu thu được gồm có: Giấy làm bài, giấy nháp của cá nhân SV và của nhóm.
10 Phác họa thô đồ thị của một hàm số là việc minh họa đồ thị một hàm số bằng đường gấp khúc gồm
2.5.1. Phân tích câu 1
Bảng 2.3. Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 1
Câu a
Chiến lược tổng Riemann xuất hiện rất ít chỉ có 4 SV chiếm tỉ lệ 9,1% và chỉ có ở dạng tổng phải
SP = (5 2,5+5 10 + 5 22,5 + 540 + 562,5 + 5 90) 0,28.
Từ đó cho thấy việc dùng tổng Riemann để xấp xỉ quãng đường gần như không còn tồn tại ở hầu hết SV.
Câu 1 Chiến lược K18 sư phạm
Vật lý K17 sư phạm Toán Tổng STR: Tổng Riemann 0 4 4 (9,1 %) 1 a 𝑆𝑣̅: Vận tốc trung bình 7 9 16 (36,4 %) STP: Tích phân 0 0 0 (0 %) Trả lời không phù hợp 6 4 10 (22,7 %) Bỏ trống 10 4 14 (31,8 %) STR: Tổng Riemann 13 21 34 (75 %) 1 b1 𝑆𝑣̅, STP 0 0 0 (0 %) Trả lời không phù hợp 10 0 10 (25 %)
Có 41 SV trả lời đồng ý và 03 SV trả lời không đồng ý với cách làm bài cho
SGH: Phân hoạch mịn hơn. 0 4 4 (9,1%)
1 b2 𝑆𝑣̅: Vận tốc trung bình 0 8 8 (18,2%) Trả lời không phù hợp 0 2 2 (4,5 %) Bỏ trống 21 7 28 (68,2 %) STP: Tích phân 11 5 16 (36,4%) 1 c STR: Tổng Riemann 0 3 3 (6,8%) Trả lời không phù hợp 5 4 9 (20,4 %) Bỏ trống 7 9 16 (36,4 %)
Chúng tôi minh họa bài làm của một SV
SV1: Đổi đơn vị 2,5 km/h = 0,7 m/s, 10 km/h = 2,8 m/s, 22,5 km/h = 6,3 m/s, 40 km/h = 11,2 m/s, 62,5 km/h = 17,5 m/s, 90 km/h = 25,2 m/s.
Quãng đường đi được trong 5 giây đầu tiên là S1 = 0,7 5 = 3,5 m, tương tự quãng đường đi được trong các khoảng 5 giây tiếp sau đó là
S2 = 2,8 5 = 14 m, S3 = 6,3 5 = 31,5 m, S4 = 11,2 5 = 56 m, S5 = 17,5 5 = 87,5 m, S6 = 25,2 5 = 126 m
Quãng đường S đi được trong 30 giây xấp xỉ là S1 + S2 + S3 +S4 + S5 + S6 = 318,5 m.
Chiến lược vận tốc trung bình xuất hiện nhiều nhất (16 SV chiếm 36,4%) trong ba chiến lược. Như vậy việc xem vận tốc v = 𝑣̅ không đổi trong 30 giây cho thấy, tư tưởng xem vận tốc không đổi trong các khoảng 5 giây có thể cho kết quả chính xác hơn đã không được đa phần SV lựa chọn. Thay vào đó, việc chọn một vận tốc trung bình cho phép họ thực hiện phép tính dễ dàng hơn.
Không có SV nào trả lời “không ước lượng được”.
Có 10 (chiếm 22,7%) SV đưa ra câu trả lời không phù hợp. Chúng tôi minh họa bài làm của một số SV
SV2: Ước lượng được, bác Thành có thể làm như sau:
Đổi đơn vị 2,5 km/h = 0,7 m/s, 10 km/h = 2,8 m/s, 22,5 km/h = 6,3 m/s, 40 km/h = 11,2 m/s, 62,5 km/h = 17,5 m/s, 90 km/h = 25,2 m/s.
𝑠 = ∫ 𝑣̅. 𝑡𝑑𝑡030 , mà 𝑣̅ = 0+0,7+2,8+6,3+11,2+17,5+25,27 = 9,1 (𝑚𝑠)
Nên 𝑠 ≈ ∫ 𝑣̅. 𝑡𝑑𝑡 030 = 9,1.𝑡2
2 |030 = 4050 (𝑚).
Câu trả lời của SV2 không phù hợp với chiến lược tích phân.
SV3:Ước lượng được, bác Thành có thể làm như sau:
Đổi đơn vị 2,5 km/h = 0,7 m/s, 10 km/h = 2,8 m/s, 22,5 km/h = 6,3 m/s, 40 km/h = 11,2 m/s, 62,5 km/h = 17,5 m/s, 90 km/h = 25,2 m/s.
S = v.t = 5×0,7+10×2,8+15×6,3+20×11,2+25×17,5+30×25,2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Câu trả lời của SV3 không phù hợp với chiến lược vận tốc trung bình hay chiến lược tổng Riemann.
Câu b Câu b1
Có tới 34 SV chiếm tỉ lệ 75% trả lời đồng ý với cách xấp xỉ quãng đường bằng một một tổng Riemann đã cho. Có hai lời giải thích tiêu biểu cho việc lựa chọn đồng ý của SV như sau
SV4: Đó là một xấp xỉ chính xác, hợp lý.
SV5: Bạn An đã xấp xỉ quãng đường đi được trong các khoảng 5 giây và cộng lại.
Như vậy, hầu hết SV đồng ý với việc dùng tổng Riemann cụ thể để xấp xỉ quãng đường.
Có ba bài làm không đồng ý với cách làm mà đề bài cho, trong đó có hai bài giải thích kết quả đó chỉ gần đúng chứ không chính xác và một bài giải thích cách làm dài dòng. Chúng tôi xem lại cách làm ở câu a của các SV này thì cả ba đều dùng chiến lược vận tốc trung bình với kết quả các em tính được s 273 m. Như vậy so với câu trả lời dùng tổng Riemann giữa (chọn vi là điểm chính giữa của [v(ti-1); v(ti)]) của câu b thì câu trả lời của 3 SV này lệch 17,5 m. Không có căn cứ để khẳng định trong hai cách xấp xỉ (bài cho ở câu b và cách dùng chiến lược vận tốc trung bình của 3 SV) cách nào có kết quả chính xác hơn. Tuy nhiên, về bản chất, cách xấp xỉ dùng chiến lược vận tốc trung bình cũng là cách xấp xỉ dùng chiến lược tổng Riemann với việc phân hoạch [0; 30] thành một đoạn. Trong khi cách xấp xỉ ở câu b mà bài cho đến từ chiến lược tổng Riemann với phép phân hoạch [0; 30] thành 6 đoạn bằng nhau. Do đó yếu tố phân hoạch mịn hơn không được các SV này lựa chọn. Như vậy việc xấp xỉ quãng đường bằng tổng Riemann trong tiếp cận khái niệm tích phân không còn tồn tại ở các SV này.
Có bảy bài trả lời đồng ý nhưng không đưa ra lời giải thích. Chúng tôi minh họa một bài làm của SV
SV6: Đồng ý với cách làm của An.
Chúng tôi xem 10 bài này (7 bài trả lời đồng ý nhưng không giải thích và 03 bài không đồng ý) là những bài có câu trả lời không phù hợp.
Như vậy đa số SV chấp nhận việc xấp xỉ quãng đường bằng một tổng Riemann cụ thể. Tuy nhiên, để khẳng định SV có nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát trong dạy học tích phân hay không thì cần kết hợp với kết quả thực nghiệm câu b2.
Câu b2
Chỉ có 4/44 SV (chiếm tỉ lệ 9,1%) được hỏi nhận ra rằng cần phải tăng số phân hoạch (câu trả lời dùng chiến lược giới hạn) để có thể xấp xỉ tốt hơn. Điều này cho thấy cách tiếp cận khái niệm tích phân bằng vấn đề quãng đường chỉ thông qua bài toán tổng quát không đủ để hình thành cho họ ý nghĩa của yếu tố phân hoạch mịn hơn. Chúng tôi minh họa bài làm của một số SV
SV7: Để tính được một xấp xỉ quãng đường đi được tốt hơn thì bạn An phải ghi lại số đo của đồng hồ tốc độ sau mỗi giây.
SV8: An có thể chia nhỏ khoảng thời gian để có thể tìm được một xấp xỉ quãng đường tốt hơn.
Có tới 8 SV chiếm 18,2% cải tiến ước lượng mà bài đã cho bằng cách tính quãng đường s 30 𝑣̅ (câu trả lời dùng chiến lược vận tốc trung bình).
Như vậy không những yếu tố chuyển qua giới hạn không tồn tại ở các SV này mà họ còn xem cải tiến ước lượng chỉ là tính toán nhanh hơn chứ không phải chính xác hơn.
Có 2 SV chiếm 4,5 % đưa ra câu trả lời không phù hợp.
Phần lớn SV không đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này.
Như vậy tình huống cho phép hầu hết SV đồng ý với cách xấp xỉ quãng đường bằng một tổng Riemann cụ thể, nhưng chỉ có chưa tới 10% thấy rằng nên phân phoạch mịn hơn để có ước lượng tốt hơn.
Đến đây, ta có thể thấy, tư tưởng tích phân qua bài toán quãng đường thực sự không tồn tại ở phần lớn SV được thực nghiệm.
Câu c
Chiến lược tích phân xuất hiện khá khiêm tốn (16 SV chiếm tỉ lệ 36,4. Chúng tôi minh họa bài làm của một số SV
𝑆 = ∫03010𝑡2. 5
18𝑑𝑡 = 5
180.𝑡3
3 |30
0 = 250 𝑚.
SV10: Vận tốc trong 30 giây đầu tiên là 302
10 = 90 (𝑘𝑚 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ℎ ) = 25,2 (𝑚
𝑠). Quãng đường đi được trong 30 giây đầu tiên là 25,2 30 = 756 m.
Có ba SV (chiếm 6,8%) dùng chiến lược tổng Riemann để đưa ra câu trả lời. Cả ba SV này đều đưa ra cùng một câu trả lời.
Chúng tôi minh họa bài làm của một SV
SV11:Quãng đường đi được trong 30 giây đầu tiên là
𝑠 = ∑ 𝑡2
10 30
𝑡=0 .1000
3600≈ 262,63 (𝑚).
SV11 không dùng khái niệm tích phân để tính chính xác quãng đường. Tuy nhiên cách làm của SV này có tư tưởng của tích phân (dùng tổng Riemann với phân hoạch đều
t = 1 giây).
Như vậy, có tới 63,6 % sinh viên được hỏi không nhận ra mối liên hệ giữa tích phân với bài toán tính quãng đường khi biết hàm vận tốc. Nghĩa là sau khi đã học kiến thức toán, vật lí ở phổ thông và tiếp cận tích phân qua bài toán quãng đường trong giáo trình CĐSP, ý nghĩa hàm quãng đường là nguyên hàm của hàm vận tốc đã không còn tồn tại ở họ.
2.5.2. Phân tích câu 2
Bảng 2.4. Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 2
Câu 2 Chiến lược K18 sư phạm
Vật lý K17 sư phạm Toán Tổng STR: Tổng Riemann 3 13 16 (36,4%) 2 a 𝑆𝑓̅: Giá trị trung bình 0 4 4 (9,1%) STP: Tích phân 4 0 4 (9,1%) Trả lời không phù hợp 14 2 16 (36,4 %) Bỏ trống 2 2 4 (9 %) STR: Tổng Riemann 11 15 26 (59,1%)
2 b1 𝑆𝑓̅, STP 1 0 1 (2,3%)
Trả lời không phù hợp 11 6 17 (38,6%)
Có 43 SV trả lời đồng ý và 01 SV trả lời không đồng ý với cách làm bài cho
SGH: phân hoạch mịn hơn 2 4 6 (13,6%)
2 b2 SCLT: Cách lập tổng 4 2 6 (13,6%) Bỏ trống hoặc trả lời không phù hợp 17 15 32 (72,8%) STP: Tích phân 17 17 34 (77,3%) 2 c STR: Tổng Riemann 0 1 1 (2,3%) Bỏ trống hoặc trả lời không phù hợp 6 3 9 (20,4%) Câu a
Có 16 SV chiếm tỉ lệ 36,4% (trong câu 1a 9,1%) đưa ra câu trả lời bằng chiến lược
tổng Riemann. Qua đó cho thấy, việc dùng tổng Riemann để xấp xỉ diện tích không hiện hữu trong đa số SV. Như vậy SV dùng chiến lược tổng Riemann để xấp xỉ diện tích chiếm tỉ lệ cao hơn so với tỉ lệ SV dùng chiến lược này để xấp xỉ quãng đường. Điều này phù hợp với những phân tích ở chương trước (bài toán tính diện tích được giới thiệu từ lớp 12, được giáo trình CĐSP nhấn mạnh hơn vấn đề quãng đường). Sau đây là minh họa bài làm của một SV
SV1: Diện tích các hình thang là
S1 = 1. (2+1)/2 = 1,5; S2 = 1.(5+2)/2 = 3,5; S3 = 1.(10+5)/2 = 7,5; S4 = 1.(17+10)/2 = 13,5;
Suy ra diện tích D xấp xỉ bằng S1 + S2 + S3 + S4 = 26.
Có 4 (chiếm 9,1%) SV sử dụng chiến lược giá trị trung bình để đưa ra câu trả lời, và cả 4 SV này đều đưa ra cùng một câu trả lời (bài làm giống SV2).
Chúng tôi minh họa bài làm của một SV
SV2: Coi miền phẳng D là một hình thang vuông, từ đó ta có diện tích hình thang
Cách tính diện tích này cho thấy 4 SV này không quan tâm đến giá trị của hàm f tại các điểm x = 1, 2, 3 mà bài đã cho. Như vậy không những việc dùng tổng Riemann để xấp xỉ diện tích không còn tồn tại mà bốn SV này còn chưa tính đúng trọng số trung bình của hàm f. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Có 4 (chiếm 9,1%) SV dùng chiến lược tích phân để đưa ra câu trả lời, chúng tôi minh họa một câu trả lời tiêu biểu của SV.
SV3: Diện tích miền phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 4 được tính như sau
𝑆𝐷 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥04 .
So với vấn đề xấp xỉ quãng đường (ở câu 1a) thì ở vấn đề xấp xỉ diện tích đã xuất hiện chiến lược tích phân. Từ đó cho thấy dấu ấn của bài toán “tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b” hiện hữu rất rõ ràng ở bốn SV này. Điều này do bài toán tính diện tích được giới thiệu rất kỹ từ lớp 12 và được giáo trình CĐSP nhấn mạnh, trong khi bài toán tính quãng đường chỉ được giới thiệu ở bài toán tổng quát.
Có 16 (chiếm 36,4 %) SV đưa ra câu trả lời không phù hợp, chúng tôi minh họa bài làm một số SV.
SV4: Chia miền D thành các hình chữ nhật có các cạnh nằm trên trục hoành. S = 1.1+2.2+5.3 + 10.4 = 60.
Câu trả lời của SV4 không phù hợp với chiến lược tổng Riemann.
SV5: Diện tích miền phẳng D là 𝑆 = ∫ (𝑥04 2+ 1)𝑑𝑥 = (𝑥3 3 + 𝑥) |4 0 = 76 3.
Câu trả lời của SV5 không phù hợp với chiến lược tích phân bởi không chắc hàm f có công thức f(x) = x2 + 1.
Câu b Câu b1
Có tới 26 SV chiếm tỉ lệ 59,1% đồng ý với cách ước lượng mà bài đã cho với lời giải thích chủ yếu với nội dung đó cũng là một cách xấp xỉ diện tích. Tỉ lệ này thấp hơn tỉ lệ SV dùng chiến lược tổng Riemann trong câu 1 b1 (tỉ lệ SV dùng chiến lược tổng Riemann ở câu 1 b1 là 75%).
Có 1 SV không đồng ý với cách làm của bài cho, lời giải thích cho thấy chiến lược tích phân được sử dụng nhưng giải thích chưa rõ. Lời giải thích của SV này có ý “diện tích của miền D bằng tổng diện tích các hình thang cong nhỏ được chia ra từ miền D”.
Có 17 SV chiếm tỉ lệ 38,6% đồng ý hoặc không đồng ý với cách làm bài cho nhưng không giải thích. Chúng tôi xem đây là những câu trả lời không phù hợp, không có SV nào không đưa ra trả lời.
So với chiến lược tổng Riemann được SV dùng trong vấn đề quãng đường (câu 1 b1 chiếm 75%), ở vấn đề diện tích chiến lược tổng Riemann xuất hiện ít hơn (chỉ chiếm 59,1%). Tuy nhiên, điều đó không đủ cơ sở để khẳng định việc dùng tổng Riemann để xấp xỉ quãng đường hay diện tích còn hiện diện trên các SV ở các tỉ lệ đó. Giống câu 1 b1, ở câu 2 b1, để biết SV có nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát trong dạy học khái niệm tích phân hay không thì cần phải kết hợp với kết quả thực nghiệm câu 2 b2.
Câu b2
Có 6/44 (chiếm tỉ lệ 13,6%) SV được hỏi nhận ra rằng cần phải tăng số khoảng phân hoạch (câu trả lời dùng chiến lược giới hạn) để có thể xấp xỉ tốt hơn. Qua đó cho thấy, cho dù giáo trình CĐSP giới thiệu rất nhiều cách khác nhau để tiếp cận khái niệm tích phân thông qua bài toán diện tích, tuy nhiên điều đó chưa đủ để hình thành cho hầu hết SV ý nghĩa của việc phân hoạch mịn hơn.
Chúng tôi minh họa bài làm của một số SV
SV6: Bạn Nam cần thêm nhiều hình bậc thang để có thể tính ra kết quả chính xác hơn.
SV7: Ta chia nhỏ miền D thành các hình thang. Chia [0; 4] thành 8 đoạn
[0; 0,5], [0,5; 1], [1; 1,5], [1,5; 2], [2; 2,5], [2,5; 3], [3; 3,5], [3,5; 4]. Diện tích miền D gần bằng diện tích các hình thang với chiều cao là độ dài các đoạn trên.
Như vậy đối với việc nhận ra cần tăng số khoảng phân hoạch để có thể xấp xỉ tốt hơn, ở vấn đề xấp xỉ diện tích đạt tỉ lệ 13,6%, ở vấn đề xấp xỉ quãng đường tỉ lệ là 9,1%. Điều này phù hợp với các phân tích ở chương trước của chúng tôi: vấn đề diện tích được giới thiệu từ lớp 12, được giáo trình CĐSP ưu tiên hơn vấn đề quãng đường.
Có 6 SV chiếm 13,6% dùng chiến lược cách lập tổng để đưa ra câu trả lời. cả 6 SV này đều đưa ra cải tiến bằng cách xấp xỉ miền D bằng các hình thang có chiều cao là 1. Chúng tôi minh họa bài làm của một SV
SV8: Ta xấp xỉ miền D bằng các hình thang như hình vẽ Khi đó diện tích miền D xấp xỉ bằng tổng
diện tích các hình thang có chiều cao là 1 (nằm trên trục hoành)
S = (1+2)/2 + (2+5)/2 + (5+10)/2 + (10+17)/2 = 26.
Hình 2.4. Hình minh họa bài làm của SV 9