5. Cấu trúc của luận văn
2.4.3. Phân tích câu 2
a. Mục tiêu
Việc thực nghiệm câu 2 nhằm tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi 1. Qua câu 2 cho phép đánh giá việc vận dụng khái niệm tích phân của SV trong vấn đề tính diện tích.
Câu a nhằm quan sát một tổng Riemann có xuất hiện hay không? Và xuất hiện như thế nào trong một tình huống vận dụng định nghĩa tích phân để tính xấp xỉ diện tích.
Câu b
Để xem SV có nhận ra tổng Riemann này (trong câu b) là trường hợp cụ thể của tổng Riemann tổng quát đã đề cập trong dạy học định nghĩa tích phân hay không. Cụ thể, chúng tôi tạo cơ hội cho tổng Riemann xuất hiện trong bài toán xấp xỉ diện tích nhằm quan sát yếu tố chuyển qua giới hạn còn tồn tại ở SV hay không.
- Câu b1 để xem SV có chấp nhận với cách xấp xỉ diện tích bằng một tổng Riemann không.
- Câu b2 cho thấy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ diện tích còn hiện diện ở SV hay không.
Câu c cho phép đánh giá việc SV có biết dùng tích phân tính chính xác diện tích mà các em đã xấp xỉ hay không.
b. Các chiến lược và cái có thể quan sát
Câu 2 a
Câu trả lời ứng với chiến lược tổng Riemann là xấp xỉ diện tích bằng một tổng Riemann 𝑆 ≈ ∑4 𝑓(𝑥𝑖∗
𝑖=1 ) 1, 𝑓(𝑥𝑖∗) [f(i-1); f(i)] với i = 1, 2, 3, 4. Như vậy tổng Riemann còn hiện diện ở SV.
Chiến lược giá trị trung bình: 𝑆𝑓̅
- Câu trả lời ứng với chiến lược giá trị trung bình có thể là diện tích S 30 𝑓, (𝑓 = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
5 ).
- Câu trả lời sử dụng chiến lược giá trị trung bình còn có thể là diện tích s 1+172 × 4 = 36 𝑚2.
Như vậy tổng Riemann không còn tồn tại ở SV.
Chiến lược tích phân: STP
Câu trả lời ứng với chiến lược tích phân là diện tích S ≈ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥04 , với y = f(x) là công thức của đồ thị hàm số đã cho. Đây là một câu trả lời mà kết quả không cho một số cụ thể, khi đó có thể coi tổng Riemann không còn hiện diện ở SV.
Câu b Câu b1
Ta có thể quan sát câu trả lời ứng với câu b1 như sau
- Đồng ý và giải thích “đó cũng là một cách xấp xỉ diện tích”, câu trả lời này được xem là đến từ chiến lược tổng Riemann. Như thế SV đã chấp nhận xấp xỉ diện tích bằng một tổng Riemann. Tuy nhiên, giống câu 1 b1, cần xem xét yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ diện tích bằng tổng Riemann còn tồn tại trong SV hay không. Cụ thể, phải dựa vào kết quả thực nghiệm ở câu b2. Từ đó mới đủ cơ sở để kết luận SV có nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát được đề cập trong dạy học khái niệm tích phân hay không.
- Không đồng ý. Câu trả lời này có thể đến từ chiến lược giá trị trung bình hay chiến lược tích phân,…. Như vậy SV không nhận ra đó là một tổng Riemann cụ thể. Câu b2
Chiến lược phân hoạch mịn hơn: SPHM
Câu trả lời sử dụng chiến lược phân hoạch mịn hơn là chỉ ra một cách phân hoạch mịn hơn. Cụ thể là việc chia [0; 4] thành các đoạn có độ dài nhỏ hơn 1. Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ diện tích thực sự hiện diện ở SV.
Chiến lược cách lập tổng: SLT
Câu trả lời sử dụng chiến lược cách lập tổng là chỉ ra cải tiến ước lượng trong câu b chỉ xoay quanh việc lập tổng Riemann (không đề cập tới phân hoạch). Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ diện tích không còn hiện diện ở SV.
Như vậy các chiến lược tổng Riemann và chiến lược giới hạn được sử dụng trong câu b sẽ cho phép kết luận tổng Riemann đã đề cập trong dạy học khái niệm tích phân còn hiện diện ở SV.
Câu c
Các chiến lược ứng với câu 2c tương tự các chiến lược trong câu 2a.
Chiến lược tích phân: STP
- Câu trả lời ứng với chiến lược tích phân: 𝑆 = ∫ (𝑥04 2+ 1)𝑑𝑥 = (𝑥3
3 + 𝑥) |4
0 =
76 3. Như thế SV vận dụng tốt khái niệm tích phân (định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz) cho bài toán diện tích.
- Câu trả lời ứng với chiến lược tích phân có thể là 𝑆 = ∫ (𝑥04 2+ 1)𝑑𝑥 và không tính tích phân này. Như thế SV biết vận dụng định nghĩa tích phân nhưng chưa vận dụng tốt công thức Newton – Leibniz cho bài toán diện tích.
Chiến lược tổng Riemann: STR
Câu trả lời sử dụng chiến lược tổng Riemann là diện tích miền D S = ∑𝑛 ((𝑥𝑖∗)2+ 1)
𝑖=1 ∆𝑥𝑖, với ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1, x0 = 0 < x1< x2 < …< xn = 4, 𝑥𝑖∗
[xi-1; xi], i = 1, 2, …, n. Như vậy SV chưa vận dụng định nghĩa tích phân cho bài toán diện tích.
c. Các biến didactic và giá trị của nó
Giống như câu 1, câu 2 bao gồm các biến V1 cách cho hàm số y = f(x) và V2
cách cho ước lượng mẫu (ước lượng để SV đánh giá) đã phân tích trong câu 1.
Ngoài ra, với việc cho đồ thị hàm số y = f(x) (để minh họa miền cần tính diện tích D) thì việc cho hay không cho xuất hiện lưới ô vuông là một biến didactic. Như vậy xuất hiện thêm biến
V3: Lưới mặt phẳng
Biến V3 có hai giá trị là: xuất hiện lưới ô vuông, không xuất hiện lưới ô vuông trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Trong câu 2, chúng tôi lựa chọn không cho xuất hiện lưới ô
vuông để ngăn việc xấp xỉ diện tích miền D bằng việc đếm số ô vuông mà miền D xấp xỉ chiếm chỗ và đưa tới kết quả mà chúng tôi không mong đợi. Mục đích là để quan sát chiến lược tổng Riemann có xuất hiện hay không, và nếu có thì nó xuất xuất hiện như thế nào ở SV.