5. Cấu trúc của luận văn
2.4.4.Phân tích câu 3
a. Mục tiêu
Thực nghiệm nhằm đi tìm các yếu tố để trả lời câu hỏi 2. Thực nghiệm cho thấy những khó khăn trong việc hình thành giả thuyết g’(x) = f(x), 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 ở SV thông qua thực nghiệm đồ thị (khảo sát một hàm cận trên cụ thể).
Câu 3a nhằm quan sát ý nghĩa diện tích đại số của định nghĩa tích phân còn hiện diện ở SV hay không. Ý nghĩa đó nó giúp gì cho các em trong việc tính tích phân. Chúng tôi gọi đây là mức độ thứ nhất của việc khám phá mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz.
Câu 3b nhằm quan sát việc SV có sử dụng ý nghĩa diện tích đại số của khái niệm tích phân để suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 hay không. Chúng tôi gọi đây là mức độ thứ hai của việc khám phá mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz.
Câu 3c để quan sát kết luận g’(x) = f(x) với 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 và lời giải thích có được SV đưa ra hay không. Chúng tôi gọi đây là mức độ thứ ba của việc khám phá mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz.
b. Các chiến lược và cái có thể quan sát
Câu 3a
Câu 3a có hai phần: tính các g(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 và phác họa đồ thị hàm g(x). Đối với việc tính các g(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 có các chiến lược sau.
Chiến lược diện tích đại số: SDTĐS
Câu trả lời sử dụng chiến lược diện tích đại số là tính các g(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 bằng cách sử dụng các công thức tính diện tích miền phẳng sẵn có. Như vậy ý nghĩa diện tích đại số của khái niệm tích phân còn hiện diện ở SV.
Chiến lược nguyên hàm: SNH
Câu trả lời sử dụng chiến lược nguyên hàm là tính các g(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 bằng cách viết phương trình các đoạn thẳng và sau đó dùng công thức Newton – Leibniz.
Như vậy ở SV ý nghĩa diện tích đại số (thông qua định nghĩa) mờ nhạt hơn ý nghĩa số thực xác định thông qua nguyênhàm của khái niệm tích phân.
Những lựa chọn của chúng tôi nhằm tạo thuận lợi cho xuất hiện chiến lược diện tích đại số, chiến lược nguyên hàm trở nên khó khăn. Chúng tôi dự kiến chiến lược diện tích đại số sẽ xuất hiện với số lượng lớn.
Đối với việc phác họa đồ thị hàm y = g(x), chúng tôi chỉ quan sát có nhóm nào thất bại hay không.
Câu 3 b
Chiến lược diện tích đại số: SDTĐS
Câu trả lời hàm g đồng biến trên (0; 3), nghịch biến trên (3; 5) với lời giải thích: Với x1 < x2 (0; 3) g(x2) = ∫ f(t)dtx2 0 = ∫ f(t)dtx1 0 + ∫ f(t)dtx2 x1 > 𝑔(x1) = ∫ f(t)dtx1 0 do ∫ f(t)dtx2
x1 > 0 vì hàm f dương trên (0; 3) suy ra g(x2) > g(x1) nên hàm f tăng trên (0; 3). Tương tự, x1 < x2 (3; 5) g(x2) =∫ f(t)dtx2
0 = ∫ f(t)dtx1
0 +
∫ f(t)dtx2
x1 < 𝑔(x1) = ∫ f(t)dtx1
0 do ∫ f(t)dtx2
x1 < 0 vì hàm f âm trên (3; 5) suy ra g(x2) < g(x1) nên hàm f giảm trên (3; 5). Đây là câu trả lời sử dụng chiến lược diện tích đại số. Như vậy SV hiểu rất rõ ý nghĩa diện tích đại số của khái niệm tích phân.
Chiến lược phác họa đồ thị: SPHĐT
Câu trả lời sử dụng chiến lược phác họa đồ thị là hàm số y = g(x) đồng biến trên (0; 3), nghịch biến trên (3; 5) và giải thích dựa vào quan sát phác họa thô đồ thị hàm g trong câu a. Lời giải thích như thế là không chính xác. Qua đó cho thấy SV không dùng ý nghĩa diện tích đại số của khái niệm tích phân để chỉ ra khoảng đơn điệu của hàm cận trên y = g(x).
Câu 3 c
Chúng tôi có thể quan sát một số câu trả lời cho câu hỏi mở này như sau
Câu trả lời đề cập tới mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm (kí hiệu: câu trả lời 1)
- Câu trả lời đề cập tới mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm đầy đủ là kết luận (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
g’(x) = f(x) với 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 và giải thích 𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)
ℎ ≈ 𝑓(𝑥), 𝑘ℎ𝑖 ℎ → 0
𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Như vậy SV đã thấy rõ mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công
- Câu trả lời đề cập tới mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàmcòn có thể là kết luận g’(x) = f(x) với 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 và không giải thích. Như vậy SV đã đưa ra dự đoán đúng về mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz. Với câu trả lời này, có thể xem SV đã nhận ra mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz.
Câu trả lời đề cập tới ý nghĩa diện tích đại số của khái niệm tích phân (kí hiệu: câu trả lời 2).
Câu trả lời đề cập tới ý nghĩa diện tích đại số của khái niệm tích phân là tính đơn điệu của hàm cận trên 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 phụ thuộc vào dấu của hàm dưới dấu tích phân y = f(t). Câu trả lời này là một tiền đề rất quan trọng để SV đưa ra dự đoán g’(x) = f(x). Như vậy SV đã tiến sát đến kết quả g’(x) = f(x) với 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 để có thể đưa tới được công tức Newton – leibniz từ thực nghiệm đồ thị.
Câu trả lời đề cập tới mục tiêu của việc phác họa thô đồ thị (kí hiệu: câu trả lời 3). Câu trả lời đề cập tới tới mục tiêu của việc phác họa thô đồ thị là tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số dựa vào(phác họa thô đồ thị)10của nó. Như vậy SV chưa nhận ra mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz.
c. Biến didactic và giá trị của nó
V4: dạng hàm số y = f(t)
Giá trị của biến V4 là các cách cho hàm số y = f(t) để có thể tính được các g(k), k =0, 1, 2, 3, 4, 5. Theo đó, V4 có hai giá trị là dạng đồ thị và dạng công thức phụ thuộc biến của hàm y = f(t). Dạng bảng của hàm y = f(t) không phải là một giá trị của biến V4 vì ở dạng này không thể tính các g(k). Ở câu 3, chúng tôi chọn hàm y = f(t) dạng đồ thị là các đường gấp khúc với mục đích thuận lợi cho việc quan sát chiến lược diện tích đại số ở SV.