5. Cấu trúc của luận văn
2.4. Phân tích tiên nghiệm
2.4.1. Tổ chức thực nghiệm
Chúng tôi dự định trình tự, thời gian cho các tình huống thực nghiệm như sau Tình huống 1
Thực nghiệm câu 1 (làm việc cá nhân).
Thứ nhất: chúng tôi phát phiếu số 1 (phiếu đề bài và câu hỏi a, b1, b2, c) và phiếu số 2 (phiếu làm bài và nháp cho câu a) của câu 1. Thời gian làm bài cho câu a là 18 phút.
Thứ hai: sau khi thu phiếu làm bài số 2 thì mới phát phiếu số 3 (phiếu đề bài b) và phiếu số 4 (phiếu làm bài cả nháp cho câu b1, b2), phiếu số 5 (phiếu làm bài và nháp cho câu c) của câu 1. Thời gian làm bài cho câu b (b1, b2) là 15 phút, thời gian làm câu c là 10 phút. Sau 25 phút mới thu cùng lúc hai phiếu số 4 và phiếu số 5.
Tình huống 2
Thực nghiệm câu 2 (làm việc cá nhân).
Thứ nhất: chúng tôi phát phiếu số 1 (phiếu đề bài và câu hỏi a, b1, b2, c) và phiếu số 2 (phiếu làm bài và nháp cho câu a) của câu 2. Thời gian làm bài cho câu a là 18 phút.
Thứ hai: sau khi thu phiếu làm bài số 2 thì mới phát phiếu số 3 (phiếu đề bài b) và phiếu số 4 (phiếu làm bài và nháp cho câu b1, b2), phiếu số 5 (phiếu làm bài và nháp cho câu c) của câu 2. Thời gian làm bài cho câu b (b1, b2) là 15 phút, thời gian làm câu c là 10 phút. Sau 25 phút mới thu cùng lúc hai phiếu số 4 và phiếu số 5.
Tình huống 3
Thực nghiệm câu 3 (làm việc nhóm).
Thứ nhất: chia lớp thành 4 đến 8 nhóm, mỗi nhóm 4 đến 7 sinh viên. Mỗi nhóm ngồi quanh một bàn lớn (có thể được xếp từ 2 đến 4 bàn học thông thường).
Thứ hai: phát mỗi nhóm 3 phiếu số 1 (phiếu đề bài), 4 đến 7 phiếu số 3 (phiếu nháp), ba phiếu làm bài: 1 phiếu số 2 (câu a), 1 phiếu số 4 (câu b), 1 phiếu số 5 (câu c).
Thứ ba: thông báo thời gian làm bài cho câu 3 là 45 phút, hết 45 phút mới thu cùng lúc ba phiếu làm bài (số 2, 4 và 5).
2.4.2. Phân tích câu 1 a. Mục tiêu a. Mục tiêu
Việc thực nghiệm câu 1 nhằm tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi 1. Nói cách khác, qua thực nghiệm câu 1 cho phép đánh giá ứng xử của SV trong việc vận dụng khái niệm tích phân đối với bài toán tính quãng đường.
Câu a nhằm quan sát một tổng Riemann có xuất hiện hay không? Và xuất hiện như thế nào trong một tình huống vận dụng định nghĩa tích phân để tính xấp xỉ quãng đường?
Câu b
Để xem SV có nhận ra tổng Riemann này (trong câu 1 b) là trường hợp cụ thể của tổng Riemann tổng quát đã đề cập trong dạy học định nghĩa tích phân hay không. Cụ thể, chúng tôi tạo cơ hội cho tổng Riemann xuất hiện trong bài toán xấp xỉ quãng đường nhằm quan sát yếu tố chuyển qua giới hạn còn tồn tại ở SV hay không.
- Câu b1 để xem SV có đồng ý với cách xấp xỉ quãng đường bằng một tổng Riemann cụ thể hay không.
- Câu b2 cho thấy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường còn hiện diện ở SV hay không.
Câu c để xem SV có biết tính chính xác quãng đường mà các em đã xấp xỉ bằng bài toán tích phân hay không.
b. Các chiến lược và cái có thể quan sát
Câu a
Chiến lượctổng Riemann: STR
Câu trả lời ứng với chiến lược tổng Riemann là xấp xỉ quãng đường đi được bằng một tổng Riemann ∑6 𝑣𝑖
𝑖=1 5, vi [v(ti-1); v(ti)] với t0 = 0, t1 = 5, t2 = 10, t3 = 15, t4 = 20, t5 = 25, t6 = 30. Với cách xấp xỉ như trên, kết quả thu được quãng đường s [192,5 (m) ; 318,5 (m)] . Như vậy tổng Riemann còn hiện diện ở SV.
Chiến lược vận tốc trung bình: 𝑆𝑣̅
Câu trả lời ứng với chiến lược vận tốc trung bình là xấp xỉ quãng đường đi được s 30 𝑣 = 30 9,1 = 273 𝑚, với 𝑣 =v(0)+v(5)+v(10)+v(15)+v(20)+v(25)+v(30)7
= 9,1 𝑚/𝑠. Khi đó tổng Riemann không còn hiện diện ở SV.
Chiến lược tích phân: STP
Câu trả lời ứng với chiến lược tích phân là quãng đường đi được 𝑠 ≈ ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡030 , với v(t) là hàm vận tốc chuyển động của chiếc xe, khi đó có thể coi tổng Riemann không còn hiện diện ở SV. Chúng tôi dự đoán chiến lược này khó xuất hiện bởi vì câu trả lời dùng chiến lược này có kết quả không là một số cụ thể.
Câu b Câu b1
Ta có thể quan sát câu trả lời ứng với câu b1 như sau
- Đồng ý và chỉ cần giải thích tối thiểu là “đó cũng là một cách xấp xỉ quãng đường đi được” nghĩa là SV chấp nhận xấp xỉ quãng đường bằng một tổng Riemann. Câu trả lời như thế được xem là đến từ chiến lược tổng Riemann. Tuy nhiên điều này chưa đủ để khẳng định SV có nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát được đề cập trong dạy học khái niệm tích phân hay không. Vì vậy cần xem xét yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường bằng tổng Riemann còn tồn tại ở SV hay không. Cụ thể, phải kết hợp với kết quả thực nghiệm câu b2.
- Không đồng ý và giải thích tùy ý, câu trả lời này có thể đến từ chiến lược vận tốc trung bình hay chiến lược tích phân hoặc là một câu trả lời không phù hợp. Như vậy SV không nhận ra nó là một tổng Riemann cụ thể.
Câu b2
Câu trả lời sử dụng chiến lược phân hoạch mịn hơn là chỉ ra một cách phân hoạch mịn hơn. Cụ thể là việc đo vận tốc được tiến hành sau 1s, 2s hay 3s…. Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường thực sự hiện diện ở SV.
Chiến lược vận tốc trung bình: 𝑆𝑣̅
Câu trả lời sử dụng chiến lược vận tốc trung bình là tính quãng đường đi được bằng cách dùng chiến lược vận tốc trung bình (trong câu a) cho việc cải tiến ước lượng. Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ quãng đường bằng tổng Riemann không còn tồn tại ở SV.
Như vậy các chiến lược tổng Riemann, chiến lược giới hạn được sử dụng trong câu b (b1 và b2) sẽ cho phép kết luận SV nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát đã đề cập trong dạy học khái niệm tích phân còn hiện diện ở SV.
Câu c
Các chiến lược ứng với câu 1c tương tự các chiến lược trong câu 1a.
Chiến lược tích phân: STP
- Câu trả lời 𝑠 = ∫03036𝑡2𝑑𝑡 (𝑚) = 𝑡3
108|30
0 (𝑚) = 250 (𝑚). Như thế SV vận dụng tốt
khái niệm tích phân (định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz) cho bài toán quãng đường.
- Câu trả lời 𝑠 = ∫03036𝑡2𝑑𝑡 và không tính tích phân này. Như thế SV biết vận dụng định nghĩa tích phân nhưng chưa vận dụng công thức Newton – Leibniz cho bài toán quãng đường.
Chiến lược tổng Riemann: STR
Câu trả lời sử dụng chiến lược tổng Riemann là quãng đường đi được S = ∑ (𝑡𝑖∗)2
36 𝑛
𝑖=1 ∆𝑡𝑖, với ∆𝑡𝑖 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1, i = 1, 2, …, n, t0 = 0 < t1< t2 < …< tn = 30, 𝑡𝑖∗ [ti; ti+1].
Như vậy SV chưa vận dụng tốt định nghĩa tích phân, công thức Newton – Leibniz cho bài toán tính quãng đường.
c. Các biến didactic và giá trị của nó
V1: cách cho hàm vận tốc chuyển động của chiếc xe
Các giá trị của biến V1 là các cách cho hàm vận tốc (v = v(t)) chuyển động của chiếc xe, theo đó V1 có các giá trị: dạng công thức phụ thuộc biến, dạng bảng và dạng
đồ thị. Trong tình huống thực nghiệm chúng tôi chọn hàm vận tốc ở dạng bảng với mục đích thuận tiện cho quan sát chiến lược tổng Riemann có xuất hiện hay không.
V2: Cách cho ước lượng mẫu (ước lượng để SV đánh giá trong câu 1b)
Biến V2 tham gia trong câu 1b, cụ thể là cách cho trước một ước lượng quãng đường đi được. Theo đó, V2 nhận các giá trị là các cách ước lượng quãng đường đi được của chiếc xe. Cơ bản thì V2 nhận các giá trị: chiến lược tổng Riemann, chiến lược vận tốc trung bình và chiến lược tích phân. Trong tình huống thực nghiệm, chúng tôi chọn cách ước lượng dùng tổng Riemann ∑6 𝑣𝑖
𝑖=1 5, 𝑣𝑖 =𝑣(𝑡𝑖)+𝑣(𝑡𝑖+1)
2 , 𝑖 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 với mục đích quan sát tổng Riemann và tố chuyển qua giới hạn có hiện diện ở SV không.
2.4.3. Phân tích câu 2 a. Mục tiêu a. Mục tiêu
Việc thực nghiệm câu 2 nhằm tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi 1. Qua câu 2 cho phép đánh giá việc vận dụng khái niệm tích phân của SV trong vấn đề tính diện tích.
Câu a nhằm quan sát một tổng Riemann có xuất hiện hay không? Và xuất hiện như thế nào trong một tình huống vận dụng định nghĩa tích phân để tính xấp xỉ diện tích.
Câu b
Để xem SV có nhận ra tổng Riemann này (trong câu b) là trường hợp cụ thể của tổng Riemann tổng quát đã đề cập trong dạy học định nghĩa tích phân hay không. Cụ thể, chúng tôi tạo cơ hội cho tổng Riemann xuất hiện trong bài toán xấp xỉ diện tích nhằm quan sát yếu tố chuyển qua giới hạn còn tồn tại ở SV hay không.
- Câu b1 để xem SV có chấp nhận với cách xấp xỉ diện tích bằng một tổng Riemann không.
- Câu b2 cho thấy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ diện tích còn hiện diện ở SV hay không.
Câu c cho phép đánh giá việc SV có biết dùng tích phân tính chính xác diện tích mà các em đã xấp xỉ hay không.
b. Các chiến lược và cái có thể quan sát
Câu 2 a
Câu trả lời ứng với chiến lược tổng Riemann là xấp xỉ diện tích bằng một tổng Riemann 𝑆 ≈ ∑4 𝑓(𝑥𝑖∗
𝑖=1 ) 1, 𝑓(𝑥𝑖∗) [f(i-1); f(i)] với i = 1, 2, 3, 4. Như vậy tổng Riemann còn hiện diện ở SV.
Chiến lược giá trị trung bình: 𝑆𝑓̅
- Câu trả lời ứng với chiến lược giá trị trung bình có thể là diện tích S 30 𝑓, (𝑓 = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
5 ).
- Câu trả lời sử dụng chiến lược giá trị trung bình còn có thể là diện tích s 1+172 × 4 = 36 𝑚2.
Như vậy tổng Riemann không còn tồn tại ở SV.
Chiến lược tích phân: STP
Câu trả lời ứng với chiến lược tích phân là diện tích S ≈ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥04 , với y = f(x) là công thức của đồ thị hàm số đã cho. Đây là một câu trả lời mà kết quả không cho một số cụ thể, khi đó có thể coi tổng Riemann không còn hiện diện ở SV.
Câu b Câu b1
Ta có thể quan sát câu trả lời ứng với câu b1 như sau
- Đồng ý và giải thích “đó cũng là một cách xấp xỉ diện tích”, câu trả lời này được xem là đến từ chiến lược tổng Riemann. Như thế SV đã chấp nhận xấp xỉ diện tích bằng một tổng Riemann. Tuy nhiên, giống câu 1 b1, cần xem xét yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ diện tích bằng tổng Riemann còn tồn tại trong SV hay không. Cụ thể, phải dựa vào kết quả thực nghiệm ở câu b2. Từ đó mới đủ cơ sở để kết luận SV có nhận ra một tổng Riemann cụ thể từ tổng Riemann tổng quát được đề cập trong dạy học khái niệm tích phân hay không.
- Không đồng ý. Câu trả lời này có thể đến từ chiến lược giá trị trung bình hay chiến lược tích phân,…. Như vậy SV không nhận ra đó là một tổng Riemann cụ thể. Câu b2
Chiến lược phân hoạch mịn hơn: SPHM
Câu trả lời sử dụng chiến lược phân hoạch mịn hơn là chỉ ra một cách phân hoạch mịn hơn. Cụ thể là việc chia [0; 4] thành các đoạn có độ dài nhỏ hơn 1. Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ diện tích thực sự hiện diện ở SV.
Chiến lược cách lập tổng: SLT
Câu trả lời sử dụng chiến lược cách lập tổng là chỉ ra cải tiến ước lượng trong câu b chỉ xoay quanh việc lập tổng Riemann (không đề cập tới phân hoạch). Như vậy yếu tố chuyển qua giới hạn trong việc xấp xỉ diện tích không còn hiện diện ở SV.
Như vậy các chiến lược tổng Riemann và chiến lược giới hạn được sử dụng trong câu b sẽ cho phép kết luận tổng Riemann đã đề cập trong dạy học khái niệm tích phân còn hiện diện ở SV.
Câu c
Các chiến lược ứng với câu 2c tương tự các chiến lược trong câu 2a.
Chiến lược tích phân: STP
- Câu trả lời ứng với chiến lược tích phân: 𝑆 = ∫ (𝑥04 2+ 1)𝑑𝑥 = (𝑥3
3 + 𝑥) |4
0 =
76 3. Như thế SV vận dụng tốt khái niệm tích phân (định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz) cho bài toán diện tích.
- Câu trả lời ứng với chiến lược tích phân có thể là 𝑆 = ∫ (𝑥04 2+ 1)𝑑𝑥 và không tính tích phân này. Như thế SV biết vận dụng định nghĩa tích phân nhưng chưa vận dụng tốt công thức Newton – Leibniz cho bài toán diện tích.
Chiến lược tổng Riemann: STR
Câu trả lời sử dụng chiến lược tổng Riemann là diện tích miền D S = ∑𝑛 ((𝑥𝑖∗)2+ 1)
𝑖=1 ∆𝑥𝑖, với ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1, x0 = 0 < x1< x2 < …< xn = 4, 𝑥𝑖∗
[xi-1; xi], i = 1, 2, …, n. Như vậy SV chưa vận dụng định nghĩa tích phân cho bài toán diện tích.
c. Các biến didactic và giá trị của nó
Giống như câu 1, câu 2 bao gồm các biến V1 cách cho hàm số y = f(x) và V2
cách cho ước lượng mẫu (ước lượng để SV đánh giá) đã phân tích trong câu 1.
Ngoài ra, với việc cho đồ thị hàm số y = f(x) (để minh họa miền cần tính diện tích D) thì việc cho hay không cho xuất hiện lưới ô vuông là một biến didactic. Như vậy xuất hiện thêm biến
V3: Lưới mặt phẳng
Biến V3 có hai giá trị là: xuất hiện lưới ô vuông, không xuất hiện lưới ô vuông trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Trong câu 2, chúng tôi lựa chọn không cho xuất hiện lưới ô
vuông để ngăn việc xấp xỉ diện tích miền D bằng việc đếm số ô vuông mà miền D xấp xỉ chiếm chỗ và đưa tới kết quả mà chúng tôi không mong đợi. Mục đích là để quan sát chiến lược tổng Riemann có xuất hiện hay không, và nếu có thì nó xuất xuất hiện như thế nào ở SV.
2.4.4. Phân tích câu 3 a. Mục tiêu a. Mục tiêu
Thực nghiệm nhằm đi tìm các yếu tố để trả lời câu hỏi 2. Thực nghiệm cho thấy những khó khăn trong việc hình thành giả thuyết g’(x) = f(x), 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 ở SV thông qua thực nghiệm đồ thị (khảo sát một hàm cận trên cụ thể).
Câu 3a nhằm quan sát ý nghĩa diện tích đại số của định nghĩa tích phân còn hiện diện ở SV hay không. Ý nghĩa đó nó giúp gì cho các em trong việc tính tích phân. Chúng tôi gọi đây là mức độ thứ nhất của việc khám phá mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz.
Câu 3b nhằm quan sát việc SV có sử dụng ý nghĩa diện tích đại số của khái niệm tích phân để suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 hay không. Chúng tôi gọi đây là mức độ thứ hai của việc khám phá mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz.
Câu 3c để quan sát kết luận g’(x) = f(x) với 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 và lời giải thích có được SV đưa ra hay không. Chúng tôi gọi đây là mức độ thứ ba của việc khám phá mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz.
b. Các chiến lược và cái có thể quan sát
Câu 3a
Câu 3a có hai phần: tính các g(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 và phác họa đồ thị hàm g(x). Đối với việc tính các g(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 có các chiến lược sau.
Chiến lược diện tích đại số: SDTĐS
Câu trả lời sử dụng chiến lược diện tích đại số là tính các g(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 bằng cách sử dụng các công thức tính diện tích miền phẳng sẵn có. Như vậy ý nghĩa diện tích đại số của khái niệm tích phân còn hiện diện ở SV.
Chiến lược nguyên hàm: SNH
Câu trả lời sử dụng chiến lược nguyên hàm là tính các g(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 bằng cách viết phương trình các đoạn thẳng và sau đó dùng công thức Newton – Leibniz.
Như vậy ở SV ý nghĩa diện tích đại số (thông qua định nghĩa) mờ nhạt hơn ý nghĩa