5. Cấu trúc của luận văn
1.1.4.Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm
Công thức Newton – Leibniz được giáo trình Mỹ giới thiệu (trang 386) như một định lý cơ bản của giải tích (The Fundamental Theorem of Calculus) ngay sau bài học về định nghĩa tích phân.
Trước tiên, tác giả điểm qua lịch sử về sự phát hiện mối liên hệ giữa hai phép tính vi phân và tích phân:
[…]. Phép tính vi phân nổi lên từ vấn đề tiếp tuyến, trong khi đó phép tính tích phân nổi lên từ một vấn đề tưởng như không có liên quan, vấn đề diện tích. Người thầy của Newton tại Cambridge, Isacc Barrow (1630 – 1677), đã phát hiện ra hai vấn đề này thực sự có mối liên hệ gần gũi. Thực tế, ông đã nhận ra cách lấy vi phân và cách lấy tích phân là những quá trình ngược nhau. Định lý cơ bản của giải tích đưa ra đúng mối liên hệ ngược giữa đạo hàm và tích phân. Đó là Newton và Leibniz những người khai thác mối liên hệ này và đã dùng nó để phát triển giải tích thành một hệ thống phương pháp của toán học. […]
[20, tr. 386]
Định lý cơ bản của giải tích được giáo trình Mỹ giới thiệu bao gồm hai phần. Định lý cơ bản của giải tích phần 1
Nếu f liên tục trên [a; b], thì hàm g định nghĩa bởi
𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
liên tục trên [a; b] và khả tích trên (a; b), và g’(x) = f(x). [20, tr. 388]
Định lý cơ bản của giải tích phần 2 Nếu f liên tục trên [a; b], thì
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Trong đó, F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x), nó hàm mà F’ =f [20, Tr. 391]
a. Định lý cơ bản của giải tích phần 1
Tác giả đã đưa vào dạy học định lý cơ bản của giải tích phần 1 theo tiến trình: tiếp cận định lý dự đoán định lý phát biểu và chứng minh định lý củng cố, vận dụng định lý.
Tiếp cận định lý
Tiếp cận thông qua việc khảo sát hàm cận trên
Đầu tiên, tác giả giải thích hàm số (hàm cận trên) 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡,𝑎𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
Hình 1.8. Hàm diện tích g(x) Trong đó
- Hệ trục tọa độ tạo bởi trục hoành Ot và trục tung Oy. - Hàm số y = f(t) liên tục trên đoạn [a; b].
- Giá trị của hàm số y = g(x) tại x[a ; b] là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y =f(t), trục hoành và hai đường thẳng t=a, t =x.
Chúng tôi dự đoán rằng người học sẽ gặp một số khó khăn khi làm việc với hàm diện tích 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡,𝑎𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 như sau.
Thứ nhất : Đây là hàm số không cho ở dạng biểu thức chứa biến quen thuộc.
Thứ hai : Trong công thức tích phân ta có 2 loại biến độc lập x và t trong biểu thức. t là biến độc lập của hàm f, còn x là biến độc lập của hàm g. Với mỗi x cố định trên [a ; b], biến t sẽ lấy giá trị trong đoạn [a ; x].
Trong giáo trình, hàm g được mô tả đầu tiên thông qua hình vẽ diện tích : với mỗi x cố định trong [a ; b] thì g là số đo diện tích như trong hình tương ứng. [Hình 1.8]
Để nghiên cứu hàm cận trên g(x), tác giả xét một trường hợp cụ thể là ví dụ 1 trang 387.
Ví dụ 1 Nếu f là hàm số mà đồ thị của nó được chỉ ra ở hình 2 và 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡0𝑥 . Tìm giá trị của g(0), g(1), g(2), g(3), g(4) và g(5). Sau đó vẽ phác họa đồ thị của g.
[20, tr. 387]
Để tính các g(k), k = 1, 2, 3, 4, 5 nêu trên, tác giả chủ yếu dùng ý nghĩa hình học của tích phân và ước lượng gần đúng. Chúng tôi minh họa việc tính g(k) của tác giả như sau
Hình 1.10. Hình minh họa tính g(1), g(2), g(3). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hình 1.11. Hình minh họa tính g(4), g(5).
Sau khi tính các g(k), tác giả biểu diễn đồ thị hàm số y = g(x) trên [0; 5] (hình 1.12).
Mối quan hệ giữa sự tăng giảm của hàm g và dấu của hàm f được nêu ra từ quan sát.
[…]. Để ý rằng, bởi vì f(t) dương với t < 3, chúng ta tếp tục cộng thêm diện tích
với t < 3 và do đó g tiếp tục tăng cho tới khi t = 3, khi đó nó đạt giá trị lớn nhất. Với x > 3, g giảm bởi vì f(t) âm. [20, tr. 387]
Như vậy, ý đồ của thực nghiệm này là hình thành nên mối liên hệ giữa dấu của hàm f
và tính đơn điệu của hàm g.
Tiếp cận thông qua biểu thức giải tích g’ = f.
Ngay sau việc chỉ ra sự tương đồng giữa chiều biến thiên của hàm g và dấu của hàm f trong ví dụ 1 trên, tác giả chọn một ví dụ từ một bài tập đã làm để chính thức đưa ra giả thuyết g’ = f hay g là một (nguyên hàm)5 của hàm f.
Nếu chúng ta lấy f(t) = t và a = 0, thì dùng bài tập 27 trong phần 5.2, chúng ta có
𝑔(𝑥) = ∫ 𝑡𝑑𝑡0𝑥 =𝑥22. Để ý rằng g’(x) = x hay g’ = f. Nói cách khác, nếu g được
định nghĩa bằng cách lấy tích phân của hàm f (𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 ) thì g hóa ra là một nguyên hàm của f , ít nhất trong trường hợp này. Và nếu chúng ta minh họa đạo hàm của hàm g trong hình 4 (1.12) bằng xấp xỉ hệ số góc của tiếp tuyến, chúng ta được đồ thị của hàm f trong hình 2 (1.9). Do đó ta nghi ngờ rằng g’ = f cả ở trong ví dụ 1. [20, tr. 387]
Thông qua các hoạt động trên tác giả muốn người học phát hiện kết quả g’ = f ở một vài trường hợp cụ thể.
5 Khái niệm nguyên hàm đã được giáo trình hoàn thiện ở chương trước (nguyên hàm được định nghĩa ở trang 344 thuộc chương 4 - Ứng dụng của đạo hàm).
Cũng cố dự đoán
Để cũng cố dự đoán, giáo trình xét một hàm tổng quát y= f(x) không âm trên [a; b].
Quá trình cũng cố dự đoán g’ = f
có thể được tóm tắt như sau:
Dùng ý nghĩa hình học của hàm 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 -diện tích của miền phẳng nằm dưới đồ thị y = f(x) từ a đến b - để tính gần đúng g(x+h) – g(x) với h>0. Hình vẽ cho thấy g(x+h) – g(x) gần bằng số đo diện tích hình chữ nhật h.f(x).
Từ đó, suy ra
𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)
ℎ ≈ 𝑓(𝑥).
Bằng cách chuyển qua giới hạn, ta có: 𝑔′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ = 𝑓(𝑥)
Phát biểu và chứng minh định lý
Sau khi cũng cố kết quả g’ = f đối với trường hợp f(x) 0, giáo trình dự đoán (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
g’(x) = f(x) đúng cho cả trường hợp f(x) ≤ 0 trên [a; b] và đưa tới định lý cơ bản của giải tích phần 1.
Sau khi đưa ra định lý, tác giả đưa ra phép chứng minh định lý. Chúng tôi tóm tắt chứng minh đó (trang 388 – 389) như sau:
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) = ∫𝑥𝑥+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡 suy ra 𝑚ℎ ≤ ∫𝑥𝑥+ℎ𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≤ 𝑀ℎ với m, M là giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất của hàm f trên [x; x+h] (m = f(u), M = f(v)). Suy ra:
𝑓(𝑢) ≤ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ ≤ 𝑓(𝑣)
Khi h 0 thì u, v x ta được được g’(x) = f(x).
Như vậy phép chứng minh trên về cơ bản là sự chính xác hóa suy luận của tác giả trong bước dự đoán định lý.
Củng cố định lý
Sau bước chứng minh định lý, giáo trình Mỹ đưa ra ba ví dụ để củng cố, vận dụng định lý.
Ví dụ thứ nhất (ví dụ 2 trang 389) là “tính đạo hàm của hàm 𝑔(𝑥) = ∫ √1 + 𝑡0𝑥 2 𝑑𝑡”. Ví dụ này vận dụng trực tiếp định lý để tính dạo hàm của hàm diện tích với mục đích củng cố định lý ở mức cơ bản.
Ví dụ thứ hai (ví dụ 3 trang 389) là khảo sát hàm (hàm Fresnel)
𝑆(𝑥) = ∫ sin (𝜋𝑡
2
2 ) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
Qua ví dụ này, người học sẽ nhận thấy một tác dụng lớn lao của định lý - tác dụng đó là có thể khảo sát các tính chất cơ bản một hàm số mà không biết công thức tường minh của nó.
Ví dụ thứ ba (ví dụ 4 trang 390) là “tính 𝑑
𝑑𝑥∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡1𝑥2 𝑑𝑡". Để tính đạo hàm của hàm này, người học chủ yếu dùng định lý và công thức đạo hàm của hàm hợp với phép đặt u = x2. Mục đích của ví dụ này vẫn là củng cố định lý, nhưng ở mức cao hơn so với ví dụ thứ nhất (khi mà cận trên là một hàm số).
Như vậy chúng tôi nhận thấy rằng tác giả đã đưa vào dạy học định lý cơ bản của giải tích phần 1 rất tự nhiên. Theo cách đó người học hoàn toàn có thể chủ động phát hiện, nghiên cứu và vận dụng định lý vào các tình huống cụ thể trong thực tế.
b. Định lý cơ bản của giải tích phần 2
Vì định lí phần 2 được suy ra như một hệ quả của định lí phần 1 nên giáo trình chỉ phát biểu định lý, chứng minh và củng cố.
Trước khi vào định lý này, tác giả đưa ra nhận xét về khó khăn khi tính tích phân bằng định nghĩa.
Việc tính tích phân bằng giới hạn của tổng Riemann nhiều khi dài dòng và phức tạp. Phần thứ 2 của định lý cơ bản của giải tích, cái mà dễ dàng suy ra từ phần 1, chỉ ra cho chúng ta một phương pháp đơn giản hơn nhiều chi việc tính giá trị của một tích phân.
[20, tr.390]
Sau đó, tác giả đưa vào định lý cơ bản của giải tích phần 2 (ở Việt Nam gọi là công thức Newton – Leibniz)
Nếu f liên tục trên [a; b], thì
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏
𝑎 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Trong đó, F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x), nó hàm mà F’ =f [20, tr.391]
Sau khi đưa ra định lý, tác giả đưa ra phép chứng minh cho định lý khá đơn giản vì dựa vào phần một của định lý cơ bản của giải tích phần 1.
Tiếp đến tác giả nhấn mạnh tới tầm quan trọng của định lý là tính được tích phân của một hàm số trên [a; b] chỉ thông qua việc xác định giá trị của một hàm số khác tại hai điểm a và b.
Đầu tiên, tác giả chỉ ra ý nghĩa cơ học của định lý. Cụ thể, đối với vấn đề tính quãng đường đi được của một chất điểm chuyển động với vận tốc v(t), theo đó thì s’(t) = v(t) với s = s(t) là quãng đường đi được tại thời điểm t. Từ đó tác giả đưa ra công thức
∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎 = 𝑠(𝑏) − 𝑠(𝑎)
Tiếp đó giáo trình Mỹ đưa ra 4 ví dụ (ví dụ 5 trang 391, ví dụ 6, 7, 8 trang 392) vận dụng trực tiếp định lý để tính tích phân, và một ví dụ (ví dụ 9 trang 393) với mục đích cảnh báo về việc áp dụng hình thức định lý này sẽ gặp sai lầm khi mà hàm dưới dấu tích phân không liên tục trên đoạn lấy tích phân.
Như vậy qua các hoạt động củng cố, vận dụng định lý của mình, tác giả muốn chỉ cho người học thấy ý nghĩa của định lý cơ bản của giải tích phần 2 là để tính tích phân.
Định lý cơ bản của giải tích phần 1 làm rõ mối quan hệ giữa phép tính tích phân và phép tính vi phân.
Để ý rằng phần 1 có thể viết lại như là
𝑑
𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 = 𝑓(𝑥)
nó chỉ ra rằng nếu f được lấy tích phân và sau đó lấy đạo hàm của kết quả, ta sẽ thu được cấu trúc hàm f.
Trong Bài báo của Lê Thị Hoài Châu (2004)“ Khai thác lịch sử toán trong dạy- học khái niệm tích phân” đăng trên tạp chí Nghiên cứu khoa học, số 2(36)/2004, ĐHSP tp Hồ Chí Minh.
Bài báo đã xây dựng các tình huống được gợi lên từ lịch sử để học sinh THPT hiểu được nghĩa của khái niệm tích phân xác định và mối liên hệ giữa nó với khái niệm đạo hàm. Trong đó, chúng tôi quan tâm tới các tình huống mà bài báo đã xây dựng để người học hiểu mối liên hệ giữa khái niệm tích phân với khái niệm đạo hàm. Cụ thể là các tình huống để người học nhận ra S’(x) = f(x) với f liên tục, dương trên [a; b], S(x) là diện tích miền D = {(t; y): 0 ≤ t ≤ x, 0 ≤ y ≤ f(t)}. Để đưa tới dự đoán S’(x) = f(x), tác giả đã đặt vấn đề tính S’(x) đằng sau các kết quả giải quyết bài toán cầu phương của các nhà toán học Ibn Quarra, Fermat và Pascal. Do đó, chúng tôi không đi sâu vào cách giải quyết các bài toán của từng nhà toán học hay các tình huống mà bài báo sử dụng để suy ra kết quả của mỗi bài toán. Thay vào đó, chúng tôi quan tâm tới các bài toán và cách đặt vấn đề trên cơ sở kết quả mỗi bài toán của bài báo.
Bài toán cầu phương Ibn Quarra đã giải quyết “Tính diện tích S(a) của hình phẳng xác định bởi {(x; y): 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ √𝑥}, với a > 0 cho trước”. Sau khi đưa tới kết quả 𝑆(𝑎) = 23𝑎√𝑎, bài báo đặt vấn đề “Tính S’(x) với 𝑆(𝑥) =23𝑥√𝑥 , có nhận xét gì?”
Bài toán cầu phương Fermat đã giải quyết “Tính diện tích S(𝛼) của hình phẳng xác định bởi {(x; y): 0 ≤ x ≤ 𝛼, 0 ≤ y ≤ kxm} (mR+ cho trước)”. Sau khi đưa tới kết quả 𝑆(𝛼) = 𝑘𝛼𝑚+1𝑚+1, bài báo đặt vấn đề “Tính S’(x) với 𝑆(𝑥) = 𝑘𝑥𝑚+1𝑚+1, có nhận xét gì?”.
Trên cơ sở phương pháp của Pascal, bài báo đưa ra bài toán “Chứng minh rằng diện tích hình phẳng xác định bởi 0 ≤ x ≤ 𝛼; 0 ≤ y ≤ sinx (𝛼 [0; /2]) cho trước) là S(𝛼) = 1 – cos𝛼. Sau đó bài báo cũng đưa ra yêu cầu “Tính S’(x), với S(x) = 1 – cosx”.
Như vậy nói cách khác, bài báo đưa tới kết quả g’(x) = f(x) với 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 (viết lại kết quả theo ngôn ngữ tích phân Riemann với f(t) là hàm không âm trên [a; b]) chủ yếu dựa vào một số trường hợp đơn giản của hàm f. Đó là một cách tiếp cận định lý cơ bản của giải tích phần 1. So với bài báo thì giáo trình Mỹ đưa ra nhiều cách để tiếp cận kết quả g’(x) = f(x)(𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 ) hơn. Trong đó nổi bật
là cách tiếp cận đựa vào việc (khảo sát hàm cận trên)6 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 . Do đặc trưng của thể chế dạy học Toán ở Trường THPT mà việc khảo sát hàm cận trên khó thực hiện được đối với đối tượng học sinh này.