8. Cấu trúc luận văn
2.2.4 Vận dụng trong tình huống giải bài tập
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Trong thực tiễn dạy học, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra xem HS vận dụng lí thuyết vào bài tập như thế nào,...Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của HS,...Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.
2.2.4.1 Vận dụng mô hình đơn môn trong tình huống giải bài tập giải tích
Thực tế cho thấy, các bài tập giải tích trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11 thường được giải quyết chủ yếu bằng những kiến thức toán học như: Đại số, Giải tích, Hình học,...Chẳng hạn, sử dụng Giới hạn để tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, để chứng minh phương trình có nghiệm, hay để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, chứng minh bất đẳng thức, xét tính liên tục của hàm số tại một điểm,...Theo chúng tôi, đây là kiểu tích hợp trong nội bộ môn Toán thường xuất hiện trong SGK, giáo trình môn Toán hiện nay.
Chẳng hạn, sử dụng Giới hạn để chứng minh phương trình có nghiệm. Vấn đề này đã đề cập trong SGK, tuy nhiên số lượng bài tập đang rất hạn chế.
Ví dụ 2.20: Chứng minh rằng phương trình:
x3+1000x2+0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm.
Lời giải:
Xét hàm số f(x) = x3 + 1000x2 + 0,1 là hàm số liên tục trên R.
Ta có: f(0) = 0,1 > 0 , xlim ( )→−∞ f x = −∞, nên tồn tại một số âm a sao cho f(a) < 0. Mặt khác f(0)f(a) < 0 nên tồn tại một số thực c ∈ (a ; 0) sao cho f(c) = 0. Số x = c là một nghiệm âm của phương trình đã cho, nghĩa là phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm âm.
Qua ví dụ 2.20 ta nhận thấy, nếu không dùng giới hạn thì rất khó chỉ ra được tính chất f(0)f(a) < 0 để cùng với tính liên tục của hàm số chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Hay như hàm số cho bởi hai biểu thức không thể dùng công thức để tính đạo hàm tại một điểm được mà phải dùng định nghĩa đạo hàm để tính, tức là dùng giới hạn của hàm số tại một điểm.
Nếu nhìn theo phương diện tích hợp giữa các phân môn thì giải tích là một trong những công cụ hữu hiệu để giải bài toán đại số, hình học,...Chẳng hạn, dùng kiến thức giải tích là giới hạn và tính liên tục của hàm số để giải bài toán đại số: chứng minh phương trình có nghiệm (như ví dụ 2.20) hay chứng minh bất đẳng thức,...Hay ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm, tính tổng có các hệ số là số các tổ hợp chập k của n,...Tích hợp những nội dung kiến thức giải tích vào giải các bài toán đại số, hình học, hay chính bài toán giải tích còn giúp loại bỏ nội dung trùng lặp, kĩ năng trùng lặp (ví dụ như kĩ năng tính giới hạn của dãy số giống với kĩ năng tính giới hạn của hàm số khi x→ +∞ đối với
biểu thức có dạng phân thức hữu tỷ như:
2 2 3 1 lim 2 5 n n n + − + = 2 2 3 1 1 1 lim 5 2 2 n n n + − = + ; 2 2 2 2 3 1 1 3 1 1 lim lim 5 2 5 2 2 x x x x x x x x →+∞ →+∞ + − + − = =
+ + ), giúp hình thành ở HS năng lực giải quyết vấn đề, năng lực hành động, năng lực khẳng định mình. Bản thân môn Giải tích không phải là tập hợp các dữ kiện tách rời nhau, hay là một thế giới ''trừu tượng'' tách biệt với đời sống và các khoa học khác mà trái lại, nó có tính liên hệ nội tại cao. Do vậy, trong dạy học GV nên chú ý đến các ứng dụng của Giải tích trong các phân môn của Toán học. Chẳng hạn, việc nghiên cứu
nghiệm của phương trình có chứa tham số ta quy về nghiên cứu số giao điểm của hai đồ thị hoặc ngược lại: Bài toán tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x) cắt đồ thị (C') của hàm số y = g(x) tại n điểm có hoành độ thỏa mãn tính chất α được ứng dụng để giải quyết bài toán tìm m sao cho phương trình
f(x) = g(x) có n nghiệm thỏa mãn điều kiện α . Hay bài toán tìm tập hợp điểm
M trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn tính chất α cũng được giải quyết dễ dàng
nhờ hàm số.
Thông qua kiểu tích hợp này, HS được rèn luyện thói quen tư duy, nhận thức vấn đề một cách có hệ thống và lô gic. Qua đó, HS cũng thấy được mối quan hệ biện chứng giữa các kiến thức toán học được học trong chương trình. Thực tế cho thấy, có nhiều HS học thuộc lí thuyết song khả năng vận dụng vào giải bài tập còn hạn chế, vì vậy trong quá trình dạy học, GV cần tăng cường khai thác sự hỗ trợ giữa các phân môn trong toán học và liên kết các kiến thức trong nội bộ môn giải tích để rèn cho HS biết huy động và vận dụng những kiến thức, kĩ năng của mình để giải quyết và ứng dụng trong các tình huống cụ thể , nhằm phát triển hứng thú học tập và các năng lực vận dụng kiến thức của HS.
Trong dạy học giải tích lớp 11, mỗi bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau, nhưng chủ yếu vẫn là dụng ý củng cố kiến thức vừa được lĩnh hội, hình thành một số kĩ năng, kể cả kĩ năng ứng dụng Giải tích vào thực tiễn. Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ. Giải bài tập toán còn nhằm phát triển khả năng trực giác và tạo cơ hội để HS khám phá những kiến thức từ hình ảnh trực quan. Các bài tập dạng này yêu cầu HS quan sát đồ thị cho sẵn và trả lời một số câu hỏi liên quan, chẳng hạn như nhìn vào đồ thị của một hàm số nào đó, HS thấy ngay được tính liên tục, hay gián đoạn của hàm số tại một điểm, hay trong khoảng, đoạn cho trước,...
Trong giới hạn của luận văn này, chúng tôi chỉ minh họa một số ví dụ về việc tích hợp các kiến thức trong nội bộ môn Giải tích khi dạy học chủ đề giới hạn để giải một số bài toán THPT.
Ví dụ 2.21:
Chứng minh rằng với mọi số a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.
Lời giải:
Xét hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Ta có f(x) là hàm số liên tục trên R
. Mặt khác: lim ( ) lim ( 3 2 )
x f x x x ax bx c
→+∞ = →+∞ + + + = +∞, nên tồn tại số x1 > 0 sao cho f(x1) > 0.
Tương tự xlim ( )→−∞ f x = −∞, do đó tồn tại số x2 < 0 sao cho f(x2) < 0.
Vì hàm số liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [x2 ; x1]. Hơn nữa f(x1)f(x2) < 0 , nên ∃x0 ∈ (x2 ; x1) sao cho f(x0) = 0, nghĩa là phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (x2 ; x1).
Vậy phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.
Nhận thấy công cụ giới hạn chỉ sử dụng trong trường hợp phương trình có các hệ số tổng quát, hoặc phương trình có các hệ số là số thực quá lớn hoặc quá nhỏ, khó kiểm tra được tính chất f(a)f(b) < 0.
Ví dụ 2.22:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau thỏa mãn với mọi x âm: (m + 1)x2 + x + m < 0.
Lời giải:
Nếu m = -1 thì bất phương trình đã cho trở thành: x -1 < 0 luôn đúng với mọi x < 0. Suy ra m = -1 thỏa mãn bài toán.
Nếu m ≠-1 thì chứng minh như sau: Giả sử m0 là một giá trị cụ thể của tham số m sao cho: (m0 + 1)x2 + x + m0 < 0, ∀x < 0.
Do đó 2 2 0 0 0 0 2 1 lim ( 1) lim ( 1) x x m m x x m x m x x →−∞ →−∞ + + + = + + + = −∞ . Điều này
xảy ra khi m0 < -1. Ngược lại giả sử m < -1, ta thấy bất phương trình đã cho luôn thỏa mãn với mọi x âm.
Vậy tất cả các giá trị của m cần tìm là m ≤ -1.
2.2.4.2 Vận dụng mô hình đa môn và xuyên môn trong tình huống giải bài tập giải tích lớp 11
Việc tăng cường các ứng dụng ngoài Toán học sẽ làm rõ hơn vai trò công cụ của môn Toán trong các môn học khác ở trường phổ thông và trong đời sống lao động sản xuất. Đồng thời bước đầu giúp HS có năng lực thích ứng, năng lực thực hành, hình thành năng lực giao tiếp Toán học. Phát triển năng lực dựa trên các kiến thức của nhiều môn học với sự kết hợp vào toán giải tích, kích thích sự hứng thú học tập cho HS rèn luyện năng lực nghiên cứu khoa học.
Nếu GV hướng dẫn HS vận dụng mô hình đa môn hoặc xuyên môn trong tình huống giải bài tập có hiệu quả thì ngoài mục đích giúp HS nắm vững kiến thức, rèn luyện kĩ năng theo tinh thần sẵn sàng ứng dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác, còn giúp HS biết đưa ra những ứng dụng chung cho nhiều môn học, lập được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học vào các bài tập có nội dung thực tế và qua mỗi bài tập ấy, làm cho HS cảm nhận được những điều thú vị cũng như vẻ đẹp của kiến thức được tích hợp.
Chẳng hạn, tích hợp các môn học nhờ công cụ dãy số Phi-bo-na-xi: Ta đã biết dãy Phi-bo-na-xi là dãy số (un) được xác định bởi hệ thức
truy hồi sau: 1 2
1 2 1 . ( 3) n n n u u u u − u − n = = = + ≥
Đây là một dãy số có nhiều ứng dụng trong đời sống. Để minh họa, ta xét bài toán về vấn đề sinh trưởng sau:
Ví dụ 2.23: *Bài toán Thỏ đẻ con dẫn đến dãy số Phi-bo-na-xi: Một
người nông dân mua một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) để nuôi. Tháng đầu tiên đôi thỏ ấy sinh một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và một thỏ cái), tháng thứ hai sinh một đôi thỏ nữa rồi ngừng lại. Các đôi thỏ con đến lượt mình lại sinh ra hai đôi khác (mỗi tháng sinh một đôi) rồi cũng ngừng lại. Hỏi cứ mỗi tháng người nông dân có thêm bao nhiêu đôi thỏ?
Để giải bài toán này trước hết vẽ sơ đồ minh họa cho các đôi thỏ sau 6 tháng, kể cả đôi thỏ ban đầu rồi phân tích, suy luận như sau:
+ Đầu tiên người nông dân có 1 đôi thỏ đã mua. + Tháng thứ nhất đôi thỏ đã mua sinh 1 đôi thỏ mới.
+ Tháng thứ hai, cả 2 đôi thỏ trên mỗi đôi sinh một đôi thỏ mới, vậy tháng này người nông dân có 2 đôi thỏ mới.
+ Tháng thứ ba, đôi thỏ đầu tiên ngừng sinh, đôi thỏ tháng thứ nhất sinh một đôi, 2 đôi thỏ ở tháng thứ hai sinh 2 đôi, vậy người nông dân có 3 đôi thỏ mới.
Hình 2.24. Sơ đồ các đôi thỏ sau 6 tháng
+ Tiếp tục thỏ ở tháng thứ nhất ngừng sinh, thỏ ở tháng thứ hai sinh 2 đôi, thỏ ở tháng thứ ba sinh 3 đôi, vậy người nông dân có 5 đôi thỏ mới.
+ Như vậy, ở mỗi tháng chỉ có thỏ ở 2 tháng ngay trước đó sinh thỏ mới, vậy số đôi thỏ mới mỗi tháng bằng tổng số đôi thỏ mới của 2 tháng trước.
+ Số đôi thỏ mới ở mỗi tháng của người nông dân lập thành một dãy số mà hai số hạng đầu là 1, các số hạng khác kể từ số thứ ba trở đi bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
Dãy số trên được gọi là dãy số Phi-bo-na-xi (Phi-bo-na-xi(Fibonacci) là biệt danh của Lesonardo Pisano - nhà toán học người Ý.
Từ dãy Phi-bo-na-xi, với những tính chất toán học phong phú của nó, người ta cố gắng tìm những mô hình trong thiên nhiên, sinh học,...phản ánh mối liên hệ giữa toán học và thực tế cuộc sống muôn hình, muôn vẻ. Nếu GV dành ít thời gian giới thiệu thêm cho HS về dãy số Phi-bo-na-xi trong thiên nhiên sẽ giúp các em có thêm hiểu biết về những điều lí thú cũng như mối liên hệ gần gũi giữa Toán học và đời sống, tạo hứng thú trong học tập. Chẳng hạn như: Những chiếc lá trên một nhành cây mọc
cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Phi-bo-na-xi hay trong các bông hoa hướng dương cũng xuất hiện các số Phi-bo-na- xi,...Ngoài ra, người ta còn phát hiện dãy số này còn có tính chất rất lí thú như lấy ba số liên tiếp bất kì của dãy, ta luôn có tích của số thứ nhất và số thứ ba bằng bình phương của số thứ hai trừ đi một.
Ví dụ 2.26: Bài toán về thực vật học.
Từ dãy số Phi-bo-na-xi, chia mỗi số cho số liền sau nó ta được dãy tỉ số:
1 1 2 3 5 8
, , , , , ,...
1 2 3 5 8 13 Các phân số của dãy tỉ số này biểu thị cho một loại chỉ số phát triển của một số loại thực vật nhất định, thể hiện bằng sự phân bố của các lá xung quanh thân cây. Khi quan sát sự phân bố này, người ta thấy chúng được phân phối đều và cuộn theo một đường xoắn ốc theo hướng từ dưới lên (Hình 2.26). Trong trường hợp này đường xoắn ốc quấn 5 vòng xung quanh thân cây từ lá số 1 đến lá số 9 và 8 khoảng giữa các lá 1 đến lá 9. Tỉ số
Phi-bo-na-xi của cây này là 5
8. Đối với mỗi cây nhất định, tỉ số này là một
hằng số sinh học. Chẳng hạn, với cây thông tỉ số này là 5
8 hoặc 8
13, còn với
cây hoa cúc tây là 21
34 . Các tỉ số này giúp cho các nhà thực vật học có thêm những số liệu để phân loại và tìm ra quy luật phát triển của các loài cây.
Việc tăng cường rèn luyện vận dụng Toán học vào thực tiễn đời sống cho HS thông qua giải bài tập sẽ đảm bảo cho HS nắm vững kiến thức Toán học để có thể vận dụng đúng vào trong thực tiễn, biết một số ứng dụng của Toán học vào trong thực tiễn, rèn luyện cho HS có những kĩ năng vận dụng Toán học vào cuộc sống. Kĩ năng này là một mục tiêu quan trọng của môn Toán, nó càng cho HS thấy rõ hơn mối liên hệ giữa Toán học và đời sống. Ngoài ra, việc liên hệ kiến thức môn Toán với thực tiễn trong giải bài tập còn góp phần phát triển các năng lực trí tuệ cho HS. Các năng lực trí tuệ chung của HS như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duy biện chứng, trong đó các
năng lực trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa...được phát triển trong các hoạt động vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. Chẳng hạn tích hợp kiến thức về cấp số nhân lùi vô hạn để giải bài toán sau:
Ví dụ 2.27: Người ta xếp các hình vuông kề với nhau như trong hình vẽ 2.6 dưới đây, mỗi hình vuông có độ dài cạnh bằng nửa độ dài cạnh của hình vuông trước nó. Nếu hình vuông đầu tiên có cạnh dài 10cm thì trên tia Ax cần có một đoạn thẳng dài bao nhiêu xentimet để có thể xếp được tất cả các hình vuông đó?
A x
Hình 2.28 Lời giải:
Ta thấy cạnh của các hình vuông theo thứ tự là 10cm, 5cm, 5
2cm, 52
2 cm,..tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q = 1
2, u1 =10. Do đó, tổng các cạnh nằm trên tia Ax của các hình vuông đó là:
10 + 5 + 5 2 + 52 2 + ... = 10 1 1 2 − = 20 (cm).
Vậy: Nếu hình vuông đầu tiên có cạnh dài 10cm thì trên tia Ax cần có một đoạn thẳng dài 20 (cm) để có thể xếp được tất cả các hình vuông đó.
Khó khăn của HS thường không biết quy bài toán trên về bài toán tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, vì vậy GV gợi cho HS từ các con số lần