8. Cấu trúc luận văn
2.1 Khái quát về nội dung, chương trình Giải tích lớp 11 ở trường Trung
Trung học phổ thông
Giải tích lớp 11 được đưa vào chương trình môn Toán trong nhà trường THPT với những nội dung chính sau:
Chương ''Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân'', chương ''Giới hạn'' và chương ''Đạo hàm'' là ba chương cuối cùng nằm cạnh nhau trong chương trình SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 hiện hành. Cụ thể:
- Chương III: Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân: Bao gồm định nghĩa, những tính chất của dãy số và hai dãy số đặc biệt là Cấp số cộng và Cấp số nhân.
- Chương IV: Giới hạn: Bao gồm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục.
- Chương V: Đạo hàm: Bao gồm định nghĩa, ý nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm; Đạo hàm của hàm số lượng giác; Vi phân; Đạo hàm cấp hai.
Nhìn vào nội dung của ba chương ta nhận thấy kiến thức ở chương sau có mối liên hệ mật thiết với kiến thức ở chương trước và chúng có vị trí quan trọng để nghiên cứu các khái niệm tiếp theo cũng như ứng dụng trong chương trình Giải tích 12 nói riêng và môn Toán THPT nói chung.
Để thấy được vai trò của kiến thức Giải tích lớp 11, chúng tôi xét trên các khía cạnh: Mối quan hệ giữa các khái niệm Giải tích lớp 11 trong môn Giải tích và với các khái niệm trong phân môn khác của toán học.
+ Từ thế kỉ XVII, khái niệm giới hạn đã được coi là một trong những khái niệm cơ bản của toán học. Trong đó phải kể đến tầm quan trọng của các
khái niệm về giới hạn chính là nhiều khái niệm toán học khác phụ thuộc vào nó và nó còn đóng một vai trò quan trọng trong việc áp dụng các lí thuyết toán học khác nhau như: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tính liên tục của hàm số, đạo hàm của hàm số, tích phân của hàm số,...Tất cả đều liên quan đến khái niệm của giới hạn trong việc định nghĩa chúng. Hay nói một cách khác, ''chủ đề giới hạn có vai trò hết sức quan trọng của Giải tích toán học THPT, vì khái niệm giới hạn là nền tảng, là cơ sở của Giải tích, hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân'' [27, tr. 55].
Khái niệm đạo hàm được xây dựng từ khái niệm giới hạn, ngược lại khái niệm đạo hàm có tác động trở lại là công cụ giúp tính giới hạn. Chẳng
hạn, với các bài toán tính giới hạn dạng 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − với hàm số f (x) có
đạo hàm tại x = x0 thì theo định nghĩa đạo hàm ta có 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − = f '(x0), hoặc một dạng bài tập mở rộng từ dạng bài tập trên là: tính giới hạn
0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x f x f x g x g x → −
− trong đó hàm số f(x), g(x) đều có đạo hàm tại x = x0 và g '(x0)
≠ 0 thì 0 ' 0 0 ' 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) x x f x f x f x g x g x g x → − =
− . Còn khái niệm nguyên hàm thì được xây dựng từ bài toán ngược của đạo hàm.
+ Việc nắm vững các khái niệm giải tích lớp 11 sẽ giúp HS hình thành được một số khái niệm thuộc phân môn khác của Toán học như: Hình học, Đại số, Lượng giác, đồng thời giúp HS thấy được mối quan hệ biện chứng giữa các phân môn này.
Ví dụ 2.1: Nhờ vào tính liên tục của hàm số mà HS có thể nhận ra được
sự tồn tại của số x để 2x = 3 và hiểu thêm về tập số thực, đó là số thực được biểu diễn dưới dạng logarit, từ đó xây dựng khái niệm lôgarit.
Ví dụ 2.2: Nhờ khái niệm giới hạn, HS biết được rằng một số vô tỷ có
thể xem là giới hạn của một dãy số vô tỷ và từ đó nhận ra được rằng giữa hai số vô tỷ luôn tồn tại một số hữu tỷ và từ kiến thức ''một số vô tỷ có thể là giới hạn của một dãy số hữu tỷ'', chúng ta xây dựng khái niệm lũy thừa với số mũ vô tỷ. Điều này giúp HS biết thêm được những số mà các em chưa từng gặp trước đây như: 3 , 22 − 3,...
Ví dụ 2.3: Đứng trên quan điểm giới hạn, chúng ta có thể xem hình
nón là giới hạn của hình chóp đều khi số cạnh đáy tiến tới vô cực, hình trụ là giới hạn của hình lăng trụ đều khi số cạnh đáy tiến tới vô cực. Với quan niệm này, giúp chúng ta có được cách nhìn về quan hệ giữa hình chóp và hình nón, hình lăng trụ và hình trụ.Từ đó, nhờ khái niệm giới hạn để xây dựng được các kiến thức như thể tích khối nón từ thể tích khối chóp, khái niệm thể tích khối trụ từ thể tích khối lăng trụ. Việc xác định được mối liên hệ này giúp HS lĩnh hội khái niệm dễ hơn, qua đó cũng thấy được sự liên hệ giữa các khái niệm trong các phân môn khác nhau của toán học.
Ví dụ 2.4: Nhờ khái niệm giới hạn của dãy số, người ta chứng minh
được số vô tỷ e = lim 1 1
n
n→+∞ n
+
÷
, trong đó e ≈ 2,7. Từ đó xây dựng khái niệm Lôgarit tự nhiên.