8. Cấu trúc luận văn
1.4.2.4 Mô hình xuyên môn
Dạy học theo hướng tích hợp xuyên môn là hình thức chọn những kiến thức cốt lõi, những nội dung giao thoa giữa các môn học với nhau để dạy. Trong cách tiếp cận tích hợp xuyên môn, GV là người tổ chức chương trình học tập xoay quanh các vấn đề và quan tâm của người học, trong đó ''chủ yếu phát triển những kĩ năng mà học sinh có thể sử dụng trong tất cả các môn học, trong tất cả các tình huống, chẳng hạn, nêu một giả thiết, đọc thông tin, thông báo thông tin, giải một bài toán,...Những kĩ năng này là những kĩ năng xuyên môn, có thể lĩnh hội được những kĩ năng này trong từng môn học hoặc trong những hoạt động chung cho nhiều môn học'' (Trích dẫn [36, tr. 48]).
Chẳng hạn, khi dạy về đạo hàm có thể cho HS biết rằng, đạo hàm là công cụ hữu hiệu nhất trong việc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Bài toán cực trị là một trong những dạng toán gần gũi với cuộc sống thực tiễn và một số bài toán ở các môn học khác trong nhà trường phổ thông như Vật lí, Hóa học,...
Ví dụ 1.9:
Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, một tàu chạy về hướng nam với vận tốc 6 hải lý / giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải
lý / giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất?
Lời giải:
Gọi d là khoảng cách giữa hai tàu tại thời điểm t sau khi xuất phát. Ta có: d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7t)2 + (6t)2
A B
A1
B1 d
Suy ra d = 85t2 −70t +25. Áp dụng đạo hàm, với hàm số d(t) = 85t2 −70t +25, với t ∈ R ta được d nhỏ nhất khi t =
17 7
(giờ), khi đó ta có d ≈ 3,25.
Ví dụ 1.10: Một nguồn điện với suất điện động E và điện trở r được nối
với một biến trở R. Hỏi với giá trị nào của biến trở thì công suất tỏa nhiệt ở mạch ngoài sẽ đạt cực đại?
Lời giải:
Theo công thức tính công suất: P = RI2 với I =
r R E + . Suy ra 2 2 E R P (R r) = + , ( R > 0). Áp dụng Đạo hàm ta được P lớn nhất khi R = r.
Ví dụ 1.11: Viết phương trình phản ứng tạo thành nitơ (IV) ôxít từ nitơ
(II) ôxít và ôxy. Hãy xác định nồng độ khí «xy tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất?
Lời giải: Ta có phương trình phản ứng: 2NO + O2 = 2NO2
Nếu gọi x là nồng độ % của khí NO, y là nồng độ % của khí O2, k là hằng số chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ mà không phụ thuộc vào các chất tham gia phản ứng. Khi đó: Tốc độ của phản ứng trên là: v = kx2y = kx2(100 - x)
= -kx3 + 100kx2 (0 < x < 100)
Áp dụng Đạo hàm ta được v lớn nhất khi x = 66,67 %. Suy ra nồng độ % của khí ôxy là y = 33,33 %.
Trong 4 mô hình tích hợp trên, mỗi mô hình có những mặt mạnh và khó khăn, vì vậy khi áp dụng cần hết sức lưu ý tới những đặc điểm. Tuy nhiên yêu cầu của xã hội và dạy học ngày nay đòi hỏi chúng ta phải hướng tới hai mô
E r
hình liên môn và xuyên môn. Mô hình liên môn cho phép việc phối hợp kiến thức, kĩ năng của nhiều môn học để nghiên cứu và giải quyết một tình huống. Mô hình xuyên môn, cho phép phát triển ở HS những kiến thức, kỹ năng xuyên môn để có thể áp dụng trong mọi tình huống, giải quyết vấn đề.
1.5 Thực trạng dạy học Giải tích theo hướng tích hợp ở trường Trung học phổ thông hiện nay
Để xác định tính cần thiết của đề tài nghiên cứu, chúng tôi đã tiến hành khảo sát về thực trạng dạy học Giải tích theo hướng tích hợp ở trường THPT. Phần khảo sát gồm các nội dung sau đây:
1.5.1 Mục đích khảo sát
Tìm hiểu thực tế của việc vận dụng phương pháp dạy học Giải tích theo hướng tích hợp ở trường THPT.
1.5.2 Nội dung khảo sát
Khảo sát sự hiểu biết của GV Toán về DHTH ở trường THPT.
Khảo sát thực trạng vận dụng phương pháp dạy học Giải tích theo hướng tích hợp ở trường THPT.
1.5.3 Địa bàn, thời gian khảo sát
Khảo sát GV Toán ở một số trường THPT trên địa bàn Huyện Nghi Xuân, Đức Thọ, Tỉnh Hà Tĩnh, đó là: Trường THPT Nguyễn Du, THPT Nguyễn Công Trứ, THPT Đức Thọ.
Thời gian khảo sát: Học kì II, năm học 2013 - 2014.
1.5.4 Phương pháp khảo sát
Phiếu điều tra
Chúng tôi đã khảo sát 40 GV Toán, qua số liệu điều tra cho thấy chỉ có
9
40 GV, chiếm tỷ lệ 22,5% có tìm hiểu về DHTH và đã vận dụng trong dạy học Giải tích ở trường THPT. Tuy nhiên, hầu hết những GV này chủ yếu tự tìm hiểu về DHTH qua sách, tài liệu, các phương tiện thông tin và tự đánh giá là chưa có đầy đủ những kĩ năng về DHTH môn Toán nói chung và vận dụng trong dạy học Giải tích nói riêng.
Như vậy, hiện nay phần đa các GV Toán ở trường THPT chưa thực sự quan tâm đúng mức về việc vận dụng phương pháp dạy học Giải tích theo hướng tích hợp cho HS. Điều này cho thấy, trong chương trình đào tạo GV THPT của các trường sư phạm, hầu hết chưa đưa quan điểm DHTH vào chương trình đào tạo và trong các kì bồi dưỡng thường xuyên, phương pháp DHTH cũng chưa được chú ý tập huấn cho GV. Ngoài ra, tích hợp chưa trở thành nguyên tắc hoặc định hướng chung nhất quán từ đầu trong việc xây dựng chương trình, viết SGK và định hướng dạy học ở trường phổ thông.
Bên cạnh đó, thực trạng dạy học môn Toán ở trường phổ thông cho thấy rằng, đa số GV chỉ quan tâm tới việc truyền thụ lí thuyết, thiếu thực hành và liên hệ kiến thức với thực tiễn, với các môn học khác, cũng như các ứng dụng của Toán học Giải tích vào cuộc sống thực tế. Thực tế dạy học đã chỉ ra đây là một trong những thiếu sót quan trọng nhất của giáo dục phổ thông nước ta. Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn [41], khi nhận xét về tình hình dạy và học Toán hiện nay ở nước ta thì một vấn đề quan trọng - một yếu kém cơ bản là trong thực tế dạy Toán ở trường phổ thông, các GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn.
1.6 Kết luận chương 1
phương pháp dạy học phù hợp. Đồng thời cũng phù hợp với xu hướng giáo dục Toán học của nhiều nước tiên tiến trên thế giới. DHTH kiến thức giải tích nhằm rèn luyện cho HS năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các bài toán thuộc nhiều môn học khác nhau hay trong chính nội bộ môn Toán và một số bài toán trong đời sống, góp phần quan trọng vào việc hình thành năng lực cho HS theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Chương trình và SGK của các môn ở THPT nói chung, môn Toán nói riêng cũng đang được xây dựng theo hướng tích hợp. Do đó, trong quá trình dạy, GV cần nghiên cứu kĩ các nội dung tích hợp và chú ý khai thác các bài toán thực tế cũng như các bài toán ứng dụng vào giải quyết nhiều môn học khác, để DHTH đạt hiệu quả cao hơn.
Điều tra thực trạng cho thấy sự cần thiết của việc vận dụng phương pháp dạy học môn Toán theo hướng tích hợp nói chung và Giải tích nói riêng cho GV Toán ở trường THPT.
Chương 2
DẠY HỌC GIẢI TÍCH LỚP 11 CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG TÍCH HỢP
2.1. Khái quát về nội dung, chương trình Giải tích lớp 11 ở trườngTrung học phổ thông Trung học phổ thông
Giải tích lớp 11 được đưa vào chương trình môn Toán trong nhà trường THPT với những nội dung chính sau:
Chương ''Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân'', chương ''Giới hạn'' và chương ''Đạo hàm'' là ba chương cuối cùng nằm cạnh nhau trong chương trình SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 hiện hành. Cụ thể:
- Chương III: Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân: Bao gồm định nghĩa, những tính chất của dãy số và hai dãy số đặc biệt là Cấp số cộng và Cấp số nhân.
- Chương IV: Giới hạn: Bao gồm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục.
- Chương V: Đạo hàm: Bao gồm định nghĩa, ý nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm; Đạo hàm của hàm số lượng giác; Vi phân; Đạo hàm cấp hai.
Nhìn vào nội dung của ba chương ta nhận thấy kiến thức ở chương sau có mối liên hệ mật thiết với kiến thức ở chương trước và chúng có vị trí quan trọng để nghiên cứu các khái niệm tiếp theo cũng như ứng dụng trong chương trình Giải tích 12 nói riêng và môn Toán THPT nói chung.
Để thấy được vai trò của kiến thức Giải tích lớp 11, chúng tôi xét trên các khía cạnh: Mối quan hệ giữa các khái niệm Giải tích lớp 11 trong môn Giải tích và với các khái niệm trong phân môn khác của toán học.
+ Từ thế kỉ XVII, khái niệm giới hạn đã được coi là một trong những khái niệm cơ bản của toán học. Trong đó phải kể đến tầm quan trọng của các
khái niệm về giới hạn chính là nhiều khái niệm toán học khác phụ thuộc vào nó và nó còn đóng một vai trò quan trọng trong việc áp dụng các lí thuyết toán học khác nhau như: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tính liên tục của hàm số, đạo hàm của hàm số, tích phân của hàm số,...Tất cả đều liên quan đến khái niệm của giới hạn trong việc định nghĩa chúng. Hay nói một cách khác, ''chủ đề giới hạn có vai trò hết sức quan trọng của Giải tích toán học THPT, vì khái niệm giới hạn là nền tảng, là cơ sở của Giải tích, hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân'' [27, tr. 55].
Khái niệm đạo hàm được xây dựng từ khái niệm giới hạn, ngược lại khái niệm đạo hàm có tác động trở lại là công cụ giúp tính giới hạn. Chẳng
hạn, với các bài toán tính giới hạn dạng 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − với hàm số f (x) có
đạo hàm tại x = x0 thì theo định nghĩa đạo hàm ta có 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − = f '(x0), hoặc một dạng bài tập mở rộng từ dạng bài tập trên là: tính giới hạn
0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x f x f x g x g x → −
− trong đó hàm số f(x), g(x) đều có đạo hàm tại x = x0 và g '(x0)
≠ 0 thì 0 ' 0 0 ' 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) x x f x f x f x g x g x g x → − =
− . Còn khái niệm nguyên hàm thì được xây dựng từ bài toán ngược của đạo hàm.
+ Việc nắm vững các khái niệm giải tích lớp 11 sẽ giúp HS hình thành được một số khái niệm thuộc phân môn khác của Toán học như: Hình học, Đại số, Lượng giác, đồng thời giúp HS thấy được mối quan hệ biện chứng giữa các phân môn này.
Ví dụ 2.1: Nhờ vào tính liên tục của hàm số mà HS có thể nhận ra được
sự tồn tại của số x để 2x = 3 và hiểu thêm về tập số thực, đó là số thực được biểu diễn dưới dạng logarit, từ đó xây dựng khái niệm lôgarit.
Ví dụ 2.2: Nhờ khái niệm giới hạn, HS biết được rằng một số vô tỷ có
thể xem là giới hạn của một dãy số vô tỷ và từ đó nhận ra được rằng giữa hai số vô tỷ luôn tồn tại một số hữu tỷ và từ kiến thức ''một số vô tỷ có thể là giới hạn của một dãy số hữu tỷ'', chúng ta xây dựng khái niệm lũy thừa với số mũ vô tỷ. Điều này giúp HS biết thêm được những số mà các em chưa từng gặp trước đây như: 3 , 22 − 3,...
Ví dụ 2.3: Đứng trên quan điểm giới hạn, chúng ta có thể xem hình
nón là giới hạn của hình chóp đều khi số cạnh đáy tiến tới vô cực, hình trụ là giới hạn của hình lăng trụ đều khi số cạnh đáy tiến tới vô cực. Với quan niệm này, giúp chúng ta có được cách nhìn về quan hệ giữa hình chóp và hình nón, hình lăng trụ và hình trụ.Từ đó, nhờ khái niệm giới hạn để xây dựng được các kiến thức như thể tích khối nón từ thể tích khối chóp, khái niệm thể tích khối trụ từ thể tích khối lăng trụ. Việc xác định được mối liên hệ này giúp HS lĩnh hội khái niệm dễ hơn, qua đó cũng thấy được sự liên hệ giữa các khái niệm trong các phân môn khác nhau của toán học.
Ví dụ 2.4: Nhờ khái niệm giới hạn của dãy số, người ta chứng minh
được số vô tỷ e = lim 1 1
n
n→+∞ n
+
÷
, trong đó e ≈ 2,7. Từ đó xây dựng khái niệm Lôgarit tự nhiên.
2.2 Vận dụng một số mô hình dạy học tích hợp trong các tình
huống dạy học Giải tích lớp 11 cho học sinh Trung học phổ thông
2.2.1 Vận dụng trong tình huống dạy học khái niệm
Trong môn Toán nói chung và Giải tích lớp 11 nói riêng, việc dạy học các khái niệm có một vị trí quan trọng hàng đầu. Thực tiễn dạy học cho thấy
HS không giải được bài tập phần lớn là do không hiểu khái niệm toán học tiềm ẩn trong câu hỏi của đề toán.
Như chúng ta đã biết, các khái niệm giải tích lớp 11 như giới hạn, hàm số liên tục, đạo hàm,... là những khái niệm khó và trừu tượng. Vì vậy, trong quá trình dạy học, GV nên tạo ra các tình huống học tập liên quan đến khái niệm cần dạy để HS suy nghĩ, tìm mối liên hệ giữa các kiến thức đã biết với khái niệm cần học để từ đó dần hình thành khái niệm mới cho HS theo các trình tự và yêu cầu của dạy học khái niệm.
2.2.1.1 Vận dụng mô hình đơn môn và đa môn trong tình huống dạy khái niệm giới hạn.
Khái niệm giới hạn là cơ sở của giải tích toán học, giải tích bắt đầu
bằng khái niệm giới hạn. Có một khó khăn nhất định về tâm lý trong việc hình thành khái niệm giới hạn cho học sinh, vì trước khi học giới hạn, học sinh quen tư duy kiểu hữu hạn, rời rạc nay mới làm quen với vô hạn, giới hạn, liên tục. Vạn sự khởi đầu nan, học sinh hiểu khái niệm của dãy số, sau này học giới hạn của hàm số sẽ nhàn.
Khái niệm giới hạn trong SGK thì có nhiều, nhưng trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ vận dụng mô hình DH theo hướng tích hợp đơn môn hoặc đa môn vào một khái niệm giới hạn cụ thể.
Ví dụ 2.5: Dạy khái niệm dãy số có giới hạn là 0
Nhằm thu hút HS tham gia vào hoạt động học tập khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn, GV giới thiệu nghịch lí Zenon (để tạo hứng thú và bớt căng thẳng cho HS) sau đây: “D’Elec Zenon (496 – 429) một triết gia người Hi Lạp cổ đại, đã đưa ra bài toán A-sin đuổi theo rùa và lập luận như sau: A-sin là một lực sĩ trong thần thoại Hi Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Giả sử A-sin xuất phát tại vị trí a1 và rùa xuất phát tại vị trí t1. Khi A-sin đến điểm a2 = t1, thì
rùa chạy lên phía trước tại vị trí t2. Khi A-sin đến vị trí a3 = t2, thì rùa đến vị trí t3,... Quá trình này tiếp tục vô hạn và được minh họa như sau”:
Hình 2.6. Mô hình minh họa các vị trí của A-sin và rùa