Bằng việc kết hợp hai phân tích trên vào bài nghiên cứu, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau: đầu tiên, chúng ta thực hiện phân tích thành phần chính, sau đó là phân tích nhân tố.
Phân tích thành phần chính
Hình 1.1: Tập dữ liệu trong không gian hai chiều
Mỗi một điểm đen ở hình 1.1 do hai thành phần X (trục hoành) và Y (trục tung) tạo nên. Nhìn vào hình trên chúng ta dễ nhận thấy rằng, dữ liệu quay về hướng tại một góc với trục X trong không gian, một trong hai chiều sẽ chứa đựng nhiều sự biến thiên hơn, trục còn lại biểu diễn sự ít biến thiên hơn của tập dữ liệu. Chúng ta chọn chiều này trong không gian làm thành phần cơ sở thứ nhất, trục vuông góc còn lại là thành phần cơ sở thứ hai. Chúng ta thực hiện xoay trục tọa độ
Thành phần thứ nhất
Thành phần thứ hai Y
23
gốc đến khi tìm được chiều trong không gian, sao cho trục cơ sở của các nhóm số liệu hình elip nằm dọc theo chiều này. Do đây là trục lớn, biểu diễn sự biến thiên lớn nhất, rộng nhất của dữ liệu, gọi là thành phần thứ nhất. Tương tự, thành phần thứ hai bao gồm các dữ liệu có sự biến thiên lớn thứ hai.
Trường hợp có ba biến, chúng ta sẽ có tương ứng ba chiều trong không gian. Một phép xoay các trục của ba biến, sao cho thành phần thứ nhất là chiều của biến thiên dữ liệu rộng nhất, tương tự, thành phần thứ hai, thứ ba là chiều với tỷ lệ biến thiên rộng thứ hai, thứ ba tương ứng, ba thành phần này trực giao với nhau. Phép xoay này được gọi là phép xoay cứng (rigid rotations). Chúng ta thực hiện tương tự với trường hợp có nhiều biến hơn.
Với một tập hợp gồm k biến Xi (i1,k), chúng ta có thể biến đổi các biến gốc thành một tập cũng gồm k biến không tương quan nhau Yj ( j1,k) bằng một phép xoay thích hợp. Cụ thể như sau:
Phương trình (1.4) gồm các thành phần chính thứ nhất là một tổ hợp tuyến tính của k biến gốc Xi (i1,k):
Y1 = a11X1 + a12X2 + … + a1kXk(1.4)
Tương tự: thành phần chính thứ hai Y2 được hình thành như sau:
Y2 = a21X1 + a22X2 +…+ a2kXk (1.5)
Tiếp tục cho các thành phần chính còn lại, với aij là hằng số và được xem là hệ số hồi quy. Một tổ hợp tuyến tính được hình thành bằng phép xoay trục.
Khi sử dụng k biến độc lập mới Y, các biến mới này phải bao trùm được tất các các biến thiên trong quan sát. Chúng ta cần chuyển các biến gốc thành tổ hợp tuyến tính trực giao với nhau và bao quát hết các biến thiên trong quan sát, thành phần thứ nhất là thành phần có biến thiên rộng nhất, tương tự cho các thành phần còn lại.
Phân tích nhân tố
Có hai loại phân tích nhân tố: phân tích nhân tố R (R – factor analysis) và phân tích nhân tố Q (Q – factor analysis). Trong bài này chúng ta chỉ quan tâm đến phương pháp nhân tích nhân tố thứ nhất (phân tích nhân tố R).
24
Trong phân tích này, chúng ta giả thiết các biến được tạo thành từ một tổ hợp tuyến tính các nhân tố chung (nhân tố ẩn ảnh hưởng đến biến và có thể ảnh hưởng các biến khác) và một thành phần riêng lẻ duy nhất đối với biến đó.
Tập hợp k biến gốc Xi được viết dưới dạng tổ hợp một tập con m nhân tố chung (F) và một thành phần riêng lẻ với mỗi biến (U)
Xi = aijFj + Ui (1.6)
1,
i k; j1,k; aij là hệ số tải nhân tố (factor loading)
Tách nhân tố
Việc tách nhân tố dựa trên thành phần chung, nhằm xác định số lượng các nhân tố trong một phân tích cụ thể dựa trên tỷ lệ của các biến thiên được giải thích bởi mỗi nhân tố.
Đầu tiên chúng ta tính ma trận tương quan của tất cả các biến. Hệ số tương quan ở hàng i cột j trong ma trận này chính là hệ số tương quan giữa biến Xi và Xj, đặc biệt tương quan với chính nó sẽ bằng 1. Chính vì vậy, đường chéo của ma trận này sẽ có giá trị bằng 1. Máy tính sử dụng ma trận này để tách các nhân tố và tạo ra ma trận nhân tố, đây là ma trận trình bày các hệ số tải nhân tố, chính là các aij trong phương trình trên.
Xoay nhân tố
Sau khi các nhân tố được tách, tiếp theo chúng sẽ được xoay, nhằm tìm ra phân phối tốt nhất cho hệ số tải nhân tố theo hàm ý ý nghĩa các nhân tố.
Hai phương pháp có thể sử dụng trong phép xoay nhân tố chính là: (1) Trực giao (rigid): giữa các trục tạo thành góc vuông, khi nhân tố xoay, vẫn giữ được tính không tương quan; (2) phép xoay xiên (nonrigid): cho phép các nhân tố tương quan nhau, chia góc 90o của một cặp nhân tố, sau đó tìm sự kết hợp tốt nhất giữa các nhân tố và các biến mà chúng bao gồm (không quan tâm đến các nhân tố có độc lập với nhau hay không)
Có nhiều thuật toán cho phép xoay trực giao, tuy nhiên được dung nhiều nhất là thuật toán cực đại hóa tổng các phương sai, VARIMAX, nhằm tìm kiếm giải pháp sao cho biến mang nhiều nhất thông tin về một nhân tố và chứa đựng ít nhất
25
thông tin về nhân tố khác. Ngoài ra còn có hai phương pháp khác: là QUARTIMAX và EQUIMAX.