các bài tập toán cao cấp 2

... iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 . Khi d´o z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ), z 1 − z 2 = x 1 − x 2 + i(y 1 − y 2 ), |z 1 + z 2 | 2 =(x 1 + x 2 ) 2 +(y 1 + y 2 ) 2 , |z 1 − z 2 | 2 =(x 1 − x 2 ) 2 +(y 1 − ... z 2 | 2 =(x 1 − x 2 ) 2 +(y 1 − y 2 ) 2 . T`u . d ´othudu . o . . c |z 1 + z 2 | 2 + |z 1 − z 2 | 2 =2( x 2 1 + y 1 ) 2 +2( x 2 2 + y 2 2 ) =2( |z 1 | 2 + |z 2 | 2 ). T`u . hˆe . th´u . cd ˜a c h ... 1 ⇔ 2i x − i =2i sin ψ 2 cos ψ 2 − 2 sin 2 ψ 2 ⇔ 1 x − i = sin ψ 2  cos ψ 2 − 1 i sin ψ 2  = sin ψ 2  cos ψ 2 + i sin ψ 2  . 1 .2. Da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c 11 T`u . d ´o a 2 −...

... b)(a 2 − ab + b 2 ) suy ra a n =  3 √ n 2 − n 3 + n  3 √ n 2 − n 3  2 − n 3 √ n 2 − n 3 + n 2   3 √ n 2 − n 3  2 − n 3 √ n 2 − n 3 + n 2 = n 2  3 √ n 2 − n 3  2 − n 3 √ n 2 − n 3 + n 2 = 1 [1/n ... gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay: 0, 2; 0, 22 ; 0, 22 2; ,0, 22 2    n , Chı ’ dˆa ˜ n. Biˆe ’ udiˆe ˜ n a n du . ´o . ida . ng a n =0, 22 2= 2 10 + 2 10 2 + ···+ 2 10 n (DS. lim a n =2/ 9) 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a ... hˆo . itu . 1) a n = n 2 − 1 n 2 2) a n =2+ 1 2! + 1 3! + ···+ 1 n! Chı ’ dˆa ˜ n. T´ınh bi . ch˘a . nd u . o . . csuyt`u . n!  2 n−1 v`a do d´o a n  2+ 1 2 + 1 2 2 + ···+ 1 2 n−1 =3− 1 2 n−1 < 3. 4....

... x, dv = 2xdx (x 2 + a 2 ) n = d(x 2 + a 2 ) (x 2 + a 2 ) n . Khi d´o du = dx, v = − 1 (n − 1)(x 2 + a 2 ) n−1 v`a 1 2a 2  x 2xdx (x 2 + a 2 ) n = −x 2a 2 (n − 1)(x 2 + a 2 ) n−1 + 1 2a 2 (n − ... I n du . o . . cbiˆe ’ udiˆe ˜ ndu . ´o . ida . ng I n = 1 a 2  x 2 + a 2 − x 2 (x 2 + a 2 ) n dx = 1 a 2   dx (x 2 + a 2 ) n−1 −  x 2 dx (x 2 + a 2 ) n  = 1 a 2 I n−1 − 1 2a 2  x 2xdx (x 2 + a 2 ) n · Ta t´ınh t´ıch phˆan ... (1- 12) 1.  xdx (x + 1)(x + 2) (x − 3) . (D S. 1 4 ln|x +1|− 2 5 ln|x +2| + 3 20 |x− 3|) 2.  2x 4 +5x 2 − 2 2x 3 − x − 1 dx. D S. x 2 2 +ln|x − 1| + ln(2x 2 +2x + 1) + arctg(2x + 1)) 3.  2x 3 +...

... c´o 2 x − x 2 x − 2 = 2 x − 2 2 − (x 2 − 2 2 ) x − 2 =4· 2 x 2 − 1 x− 2 − x 2 − 4 x − 2 · T`u . d ´o suy r˘a ` ng lim x 2 2 x − x 2 x − 2 = 4 lim x 2 2 x 2 − 1 x − 2 − lim x 2 x 2 − 4 x − 2 = ... nˆen 1+ 1 2 + ···+ 1 2 n = 2( 2 n − 1) 2 n , 1+ 1 3 + ···+ 1 3 n = 3(3 n − 1) 2 · 3 n v`a do d´o: lim a n = lim 2( 2 n − 1) 2 n · 2 · 3 n 3(3 n − 1) = 2 lim 2 n − 1 2 n · 2 3 lim 3 n 3 n − 1 = 2 lim[1 ... ta c´o: 2+ 4+6+···+2n = 2+ 2n 2 · n; 1+3+5+···+(2n +1)= 1+(2n +2) 2 (n +1). Do d ´o a n = n n +1 ⇒ lim a n =1. 3) Nhu . ta biˆe ´ t: 1 2 +2 2 + ···+ n 2 = n(n + 1)(2n +1) 6 22 Chu . o . ng 7....

... c´o 2 x − x 2 x − 2 = 2 x − 2 2 − (x 2 − 2 2 ) x − 2 =4· 2 x 2 − 1 x− 2 − x 2 − 4 x − 2 · T`u . d ´o suy r˘a ` ng lim x 2 2 x − x 2 x − 2 = 4 lim x 2 2 x 2 − 1 x − 2 − lim x 2 x 2 − 4 x − 2 = ... gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay: 0, 2; 0, 22 ; 0, 22 2; ,0, 22 2    n , Chı ’ dˆa ˜ n. Biˆe ’ udiˆe ˜ n a n du . ´o . ida . ng a n =0, 22 2= 2 10 + 2 10 2 + ···+ 2 10 n (DS. lim a n =2/ 9) 7 .2. Gi´o . iha . n h`am ... nˆen 1+ 1 2 + ···+ 1 2 n = 2( 2 n − 1) 2 n , 1+ 1 3 + ···+ 1 3 n = 3(3 n − 1) 2 · 3 n v`a do d´o: lim a n = lim 2( 2 n − 1) 2 n · 2 · 3 n 3(3 n − 1) = 2 lim 2 n − 1 2 n · 2 3 lim 3 n 3 n − 1 = 2 lim[1...

... mˆo . t c ’ o s ’ ’ o c ’ ua khˆong gian Hilbert X v`a P n x = n  k=1 x, e k e k , x ∈X, n = 1, 2, . . . l`a d˜ay ph´ep chii ´ ˆeu tr ’ u . c giao. Ch ´ ’ ung minh r ` ˘ ang d˜ay {P n } n hˆo . i ... c´o (P n 0 − I)e n 0 +1  = P n 0 e n 0 +1 − e n 0 +1  = e n 0 +1  = 1 (vˆo l´y) . 1 Ch ’ u ’ ong 2. Khˆong gian ¯di . nh chu ’ ˆan 10. Cho A, B l`a hai to´an t ’ ’ u t´ıch phˆan trong C [a,b] v ´ ’ oi...

... c´o 2 x − x 2 x − 2 = 2 x − 2 2 − (x 2 − 2 2 ) x − 2 =4· 2 x 2 − 1 x− 2 − x 2 − 4 x − 2 · T`u . d ´o suy r˘a ` ng lim x 2 2 x − x 2 x − 2 = 4 lim x 2 2 x 2 − 1 x − 2 − lim x 2 x 2 − 4 x − 2 = ... gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay: 0, 2; 0, 22 ; 0, 22 2; ,0, 22 2    n , Chı ’ dˆa ˜ n. Biˆe ’ udiˆe ˜ n a n du . ´o . ida . ng a n =0, 22 2= 2 10 + 2 10 2 + ···+ 2 10 n (DS. lim a n =2/ 9) 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a ... b)(a 2 − ab + b 2 ) suy ra a n =  3 √ n 2 − n 3 + n  3 √ n 2 − n 3  2 − n 3 √ n 2 − n 3 + n 2   3 √ n 2 − n 3  2 − n 3 √ n 2 − n 3 + n 2 = n 2  3 √ n 2 − n 3  2 − n 3 √ n 2 − n 3 + n 2 = 1 [1/n...

... r˘a ` ng a) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ;b)z 1 z 2 = z 1 · z 2 ;c)  z 1 z 2  = z 1 z 2 ; Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 20 06, 27 6 Tr. Từ khoá: ... sin ϕ )2 sin (n +1)α 2  cos (n +1)α − π 2 + i sin (n +1)α − π 2  2 sin α 2  cos α − π 2 + i sin α − π 2  = sin (n +1)α 2 cos  ϕ + nα 2  sin α 2 + sin (n +1)α 2 sin  ϕ + nα 2 sin α 2 i. T`u . d ´o ... sin 126 π 6  =2 126 [cos π + i sin π]= 2 126 . 2) Ta c´o w = z 4 − z 2 = cos 4ϕ + i sin 4ϕ − [cos 2 − i sin 2 ] = cos 4ϕ − cos 2 + i(sin 4ϕ + sin 2 ) = 2 sin 3ϕ sin ϕ +2i sin 3ϕ cos ϕ = 2 sin...

... ) 8 1 ) 2 1 4 1 .( 2 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( .1. 2 1 2 2 2 22 1 2 2 ) .2( . 21 1 . 2 tan )2( . 21 1 21 . 2 tan 2 21. 2 tan 21 21 . 2 tan )21 ). (21 ( 2 tan 21 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 22 00 2 2 00 2 2 0 2 0 2 0 2 0 limlim limlimlim limlim limlim lim lim limlim −=−=             −=             −= + ++ = + ++ = ++ + = ++ −+ = ++ ++−+ = −+ →→ →→→ →→ →→ → → →→ x x x x x Sin xSin x Sin xSinxx Cos x Sin x CosxSinxSinx xCosxSinx x xSinxSinx xCosxSinx xCosxSinx x xSinxSinx xCosxSinx x xCosxSinx xCosxSinx x xCosxSinxxCosxSinx x xCosxSinx XX XXX XX XX X X XX Nguyễn ... 8: 4)11. (2 )11. (2 )11. (2 )11). (21 ()11).( 12( 11 12 2 2 2 0 2 2 2 0 2 22 0 2 2 0 2 2 0 2 0 lim limlim limlimlim =+−= +−= +− = +−− = − +−− = −− − → →→ →→→ x x x x x xSin x xxSin x xxCos x xxCos x xCos x xx xxx Bài 9: 21 1 02 18 3.7 1 02 ) 126 .(7 1 02 7 1 1 02 7 1 1 02 32 22 2 2 126 2 126 2 2 limlim limlimlim 10 2 2 ) 12 2 6.(7 lim ) 12 2 6.( 10 2 2 7 7 10 2 2 2 2 −=       + +−= + +− =                 + −=       + −=         + + +∞→+∞→ +∞→ + +∞→ + +∞→ + +− +∞→ + + − + − xx x xxx x xx x x x x x x x x x x x e Vậy ... có:               −− − −− → →+− → →             − −− →+ →+− →+− →             − − − −− → → → →             −− − − − = 00000 2 5 4 15 2 3 00 21 240 0 021 1 4 7 00000 122 70 21 240 0 021 1 2 4 00 422 126 34 21 031 0 021 1 0 021 1 126 34 21 031 00 422 44 3 32 22 11 441 331 22 1 11 41 33 22 14 hh hhh hh hh hhh hhh hhh hh hh hh hh hh A ⇒ r(A)...

... y 2 ) 2 = x 2 1 + y 2 1 + x 2 2 + y 2 2 − (2x 1 x 2 +2y 1 y 2 ) =2( x 2 1 + y 2 1 ) +2( x 2 2 + y 2 2 ) − [(x 1 + x 2 ) 2 +(y 1 + y 2 ) 2 ] =2| z 1 | 2 +2| z 2 | 2 − 2| z 1 + z 2 | 2 . Nhu . ng z 1 + z 2 = ... −  1+i 2  2 n+1 1 − 1+i 2 · Ta cˆa ` n tnh 1+i 2 2 n+1 = 1+i 2 2 2 n = i 2 2 n = i 2 n 2 2 n = 1 2 2 n à Do d o = 1 1 2 2 n 1 1+i 2 = 2 1 1 2 2 n 1 i ì 1+i 1+i = 1 1 2 2 n (1 + i)  V´ı ... |z 1 z 2 | nˆen |z 1 + z 2 | 2  |z 1 | 2 + |z 2 | 2 +2| z 1 ||z 2 | =(|z 1 | + |z 2 |) 2 ⇒|z 1 + z 2 |  |z 1 | + |z 2 |. (ii) V`ı |z 2 | = |−z 2 | nˆen |z 1 − z 2 | = |z 1 +(−z 2 )|≤|z 1 | + |−z 2 |...

... y 2 ) 2 = x 2 1 + y 2 1 + x 2 2 + y 2 2 − (2x 1 x 2 +2y 1 y 2 ) =2( x 2 1 + y 2 1 ) +2( x 2 2 + y 2 2 ) − [(x 1 + x 2 ) 2 +(y 1 + y 2 ) 2 ] =2| z 1 | 2 +2| z 2 | 2 − 2| z 1 + z 2 | 2 . Nhu . ng z 1 + z 2 = ... iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 . Khi d´o z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ), z 1 − z 2 = x 1 − x 2 + i(y 1 − y 2 ), |z 1 + z 2 | 2 =(x 1 + x 2 ) 2 +(y 1 + y 2 ) 2 , |z 1 − z 2 | 2 =(x 1 − x 2 ) 2 +(y 1 − ... z 2 | 2 =(x 1 − x 2 ) 2 +(y 1 − y 2 ) 2 . T`u . d ´othudu . o . . c |z 1 + z 2 | 2 + |z 1 − z 2 | 2 =2( x 2 1 + y 1 ) 2 +2( x 2 2 + y 2 2 ) =2( |z 1 | 2 + |z 2 | 2 ). T`u . hˆe . th´u . cd ˜a c h...

... c´o 2 x − x 2 x − 2 = 2 x − 2 2 − (x 2 − 2 2 ) x − 2 =4· 2 x 2 − 1 x− 2 − x 2 − 4 x − 2 · T`u . d ´o suy r˘a ` ng lim x 2 2 x − x 2 x − 2 = 4 lim x 2 2 x 2 − 1 x − 2 − lim x 2 x 2 − 4 x − 2 = ... (15 -26 ) 15. lim x→0 √ 1+x + x 2 − 1 x (D S. 1 2 ) 16. lim x 2 √ 3+x + x 2 − √ 9 − 2x + x 2 x 2 − 3x +2 (D S. 1 2 ) 17. lim x→0 5x 3 √ 1+x − 3 √ 1 − x (D S. 15 2 ) 18. lim x→0 3 √ 1+3x − 3 √ 1 − 2x x ... x)tg πx 2 (D S. 2 π ) 41. lim x→1 1 − x 2 sin πx (D S. 2 π ) 42. lim x→π sin x π 2 − x 2 (DS. 1 2 ) 43. lim x→0 cos mx− cos nx x 2 (DS. 1 2 (n 2 − m 2 )) 44. lim x→∞ x 2  cos 1 x − cos 3 x  (D S. 4) 45....

... x a= + = ĐS: 3 2 a π 30. 2 2 2 , 2z x y z= + = ĐS: 4 π 31. 2 2 2 2 2 , 2z x y x y z= + + + = ĐS: [8 2- 7] 6 π 32. 2 2 2 2 ,z x y z x y= + = + ĐS: 6 π 33. 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ĐS: ... + ≤ ∫∫∫ ĐS: 5 4 5 R π 20 . 2 2 2 2 2 2 2 ; V x y z dxdydz x y z R+ + + + ≤ ∫∫∫ ĐS: 4 R π 21 . ( ) 2 2 2 2 , , 1 V x y dxdydz z x y z+ = + = ∫∫∫ ĐS: 6 π 22 . 2 2 2 2 ; 2 , 0, 0, 3 V z x y dxdydz ... ≥ + + ∫∫ ĐS: ( ) 2 2 π π − 51. ( ) 2 2 2 2 2 2 ln , :1 D x y dxdy D x y e x y + ≤ + ≤ + ∫∫ ĐS: 2 π 52. ( ) 2 2 D x y dxdy+ ∫∫ , D giới hạn bởi các đường tròn 2 2 2 2 2 1 0, 2 0x y x x y x+ +...

...        =       − −= + C 0       −=       −= + C 0       −=       − −= + C       =       − − −= + C 0       =       − −= + C 0       =       − −= + C       =       − −= + C 0       −=       − −= + C 0       =       −= + C                 − −−=           − −−=→           − −− =⇒ −                            AC      Nguyê ̃ n Phan Thanh Lâm MSV: 07 125 0510319 Trang 2/ 20 Ba ̀ i tâ ̣ p toa ́ n cao cấp I GVHD: Phan Thi ̣ Ngu ̃ 2         =−− =+−+ =−+ =++−         xxx xxxx xxx xxx                  −− − −− → →+− → →             − −− →+ →+− →+− →             − − − −− → → → →             −− − − − =                                       hh hhh hh hh hhh hhh hhh hh hh hh hh hh A ⇒  ... Thanh Lâm MSV: 07 125 0510319 Trang 18 /20 Ba ̀ i tâ ̣ p toa ́ n cao cấp I GVHD: Phan Thi ̣ Ngu ̃        =+− =− =+− =+−+− ⇔          xx xx xx xxxx 22   # )3  4  5+%  )&- # 63 7 3  73  73  4  5+%  )  ) β =  x !(  + β 4   10  -$  $           −= −= −= −= ⇔          = =+− =− =+− =+−+− ⇔             22           β β β β β x x x x x xx xx xx xxxx " # $% # &'()*  )  !010  )*+% #   )*+% # 0 8 )*9-  4         −−−− βββββ 66   66   (  + β 4  10  -$  $       ;7  <9  8=  7  ... ) 4)4) 4) 4) 4+ 4+4+4+ = + = == + +++ + + + tdt txx dx e " # $ e xx dx 4) =0 # +- # E' = ++ ì= ++ ì+= ++ ì = = + + + + + + ++++ ++ 4)4) 4) 4+ 4+ 4+ 4+ 4+4+4+ xx dx xx dx x xx dx x dx x dx x dx ;: 4)4) 4) 4+ 4+ 4+ 4+ 4+ = ++= += += += + = + b b x dx x dx x dx x x dx x dx x x dx x x b b b b bb b bb b b b " # $ + dx x x =0 # +- # Nguyờ n Phan Thanh Lõm MSV: 07 125 0510319 Trang 20 /20 Ba ̀ i tâ ̣ p toa ́ n cao cấp I GVHD: Phan Thi ̣ Ngu ̃ 2         =+++ −=−+− =++ =−+         xxxx xxxx xxx xxx                   − − − −−− →+ → → →                 − − − −−− →+− →+− → →             − − − −−− →+− →+− →+− →             − −−− → → → →             −−− − =                                                          hhh hh hh hh hhh hhh hh hh hhh hhh hhh hh hh hh hh hh A ⇒ ...

... khi λ = 21 2 .Tac´o  A =      12 21 2    3 3 −1 − 21 2    2 21 3 à h 1 ì 2 h 1 h 2 ì 2 h 2 24 21 6 6 2 21 4 21 3 à h 2 3h 1 h 2 h 3 h 1 h 3 24 21 6 0 ... tr`ınh 1) x 1 +2x 2 +3x 3 =6, 2x 1 − x 2 + x 3 =2, 3x 1 − x 2 − 2x 3 =2.      (4.7) 2) x 1 − 2x 2 +3x 3 − x 4 =6, 2x 1 +3x 2 − 4x 3 +4x 4 =7, 3x 1 + x 2 − 2x 3 − 2x 4 =9, x 1 − 3x 2 +7x 3 +6x 4 = ... · 4+1· 2= 2, x 2 = − 5 2 · 4+4· 4 − 3 2 · 2= 3, x 3 = 1 2 · 4 − 1 · 4+ 1 2 · 2= −1. 2) Viˆe ´ t ma trˆa . n A cu ’ ahˆe . v`a t`ım A −1 : A =    32 1 11 2 22 5    ⇒ A −1 =    1 − 12 5 −117−7 0...