Bài tập toán cao cấp I

Chương I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài tập 1: Cho 2 ma trận A và B Tính: a) At – 2BA + 3Bt b) 2AB - 3BA + 2ABt c) Cho f(x) = x3 + 3x – 2 Tính f(A) , f(B)

Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị NgũChương I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHBài tập 1: Cho 2 ma trận A và B−−=011103112A =001121112BTính: a) At – 2BA + 3Btb) 2AB - 3BA + 2ABtc) Cho f(x) = x3 + 3x – 2 Tính f(A) , f(B)Ta có:−−=011101132tA;=011021112tB;−−−=112329338BA−−−−−−=−224641866162BA;=0330633363tB;=233335344AB=46666106882AB;−−−=−2000200022−−−−−−=−396962799243BA;=133325234tAB;=0033633363B=26664104682tAB;−−−=215325316AA;−−−=6311721373123A−−=0333093363A;=112355346BB;=3461015181014193B −−−=+−2027214100832ttBBAA ;−−=+−99621471958232tABBAABNguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 1/18 Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ−−−=−+=8614100221061623)(3AAAf ; =−+=14913192113172323)(3BBBfBài tập 2: Tính A-1B + ABt + At +2 khia)−−=110213101A;−=011110011Bb)−=121113210A;−−=111211102Bc)−−−−=211312201A;−−=020113120BCÂU A:−−=110213101A;−=011110011BVì 16−∃⇒= AA Tìm A-1 theo 2 cách: Cách 1 :31121)1(1111=−−=+C;31023)1(2112−=−=+C;31013)1(3113−=−−=+C11110)1(1221=−−−=+C;11011)1(2222=−−=+C;11001)1(3223=−−=+C12110)1(1331=−−=+C;52311)1(2332−=−−=+C;11301)1(3333=−=+C−−−=−−−=→−−−=⇒−616163656163616163113513113611511113331AC Cách 2 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 2/18 Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ−−−→→+−→−−→→→+−−−→+→→−−−→→+−→−−6161631006561630106161630015616163100013510616163001616111360001351000110110011001351000110131001100102130011013322311332211333222113322111hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhTa có:−−=121110031tA;−=010111101tB;−−−−−=101234111tAB;−−−=−6161646167626165621BAVậy−−−=+++−6136116166176296266561762621 ttAABBACÂU B:−=121113210A;−−=111211102BVì 112−∃⇒= AA Tìm A-1 theo 2 cách: Cách 1 :31211)1(1111−=−−=+C;21113)1(2112−=−=+C;72113)1(3113=−−=+C31221)1(1221=−=+C;21020)1(2222−=−=+C;12110)1(3223=−=+C31121)1(1331=−−=+C;62320)1(2332=−=+C;31310)1(3333−=−−=+C−−−−=−−−−=→−−−−=⇒−1231211271261221221231231233176223331213631237231AC Cách 2 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 3/18 Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ−−−−−→→→+−−−−→→+−→−−→→→+−−−→→→−−→−→→−→→−→−−−→→+−→−↔→↔−737112710012612212201012312312300173123121127100126122122010717207301721231211271007371072107172073012123121127100737107210100121127737117120073710721010012100121073710721010012171001210310270100121300121001011310012110012101011300121033221133322311332211233221132322113322113322111312231hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhTa có:−=112211130tA;−−=121110112tB;−=213167132tAB;−−=−11241112800001BAVậy=+++−61220621292806421 ttAABBACÂU C:−−−−=211312201A;−−=020113120BVì 13−∃⇒−= AA Tìm A-1 theo 2 cách: Cách 1 :12131)1(1111=−−−=+C;12132)1(2112=−−−=+C;11112)1(3113−=−−−=+CNguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 4/18 Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ22120)1(1221−=−−−=+C;42121)1(2222=−−−−=+C;11101)1(3223−=−−−−=+C23120)1(1331−=−=+C;73221)1(2332=−−=+C;11201)1(3333−=−−=+C−−−−=−−−−−−=→−−−−−=⇒−313131373431323231111741221311721421111AC Cách 2 −−→→→−−→+→→−−−−↔+→+→−−−−−3131311000127100012016122260001271000120121011001271000120122100211010312001201332211332221132322111hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh−−−−→→→+−−−−−→→+−→3131311003734310103232310012313131100373431010001201733221133322311hhhhhhhhhhhhhhTa có:−−−−=232110121tA;−−=011212030tB;−−−−=244285012tAB;−−−−=−32313135316343138361BAVậy−−−−−=+++−3834353143493113235521 ttAABBANguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 5/18 Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị NgũBài tập 3: Giải các hệ phương trình sau1.=+++−=−+−=++=−+83212453382443214321421321xxxxxxxxxxxxxx2.=−−=+−+=−+=++−02126342304223214321421321xxxxxxxxxxxxx3.=−+−+=−+−=+−=+−+−01036338322725432154214315431xxxxxxxxxxxxxxxxNguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 6/18 Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị NgũCÂU 1=+++−=−+−=++=−+83212453382443214321421321xxxxxxxxxxxxxxTa có−−−−−−→+→→→−−−−−−→+−→+−→→−−−−−−→+−→+−→+−→−−−−→→→→−−−−=04419200005522001057501241122502111000552200105750124114654128176089124010575012411432801245301381132124118113212411530138012444333221144333222114413312211141322413hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhA⇒r(A) = r(A) = 4 vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:====⇔=−=+−=+−−=−+−⇔00210441920552210575124)1(43214434324321xxxxxxxxxxxxxxNguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 7/18 Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị NgũCÂU 2=−−=+−+=−+=++−02126342304223214321421321xxxxxxxxxxxxxTa có:−−−−−→→+−→→−−−→+→+−→+−→−−−−−→→→→−−−−−=00000254152300212400021147000001227021240002112400422126342103100211002111263421031004224433222114413312211141332214hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhA⇒r(A) = r(A) = 3 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:−=+−=−+=−−⇔254152322402)2(43432321xxxxxxxx(*)Chọn x4 làm biến phụ; x1, x2, x3 làm biến chính. Cho α=4x với αlà tham số tuỳ ý.+=−−=+=⇔=−=+−=−+=−−⇔35253442254152322402(*)321443432321ααααxxxxxxxxxxxxVậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là:+−−+αααα;3525;344;2 với αtuỳ ýNguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 8/18 Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị NgũCÂU 3:=−+−+=−+−=+−=+−+−01036338322725432154214315431xxxxxxxxxxxxxxxxTa có:−−−−−→→→→−−−−−↔−−−−−→→→→−−−−−→+→+→+→−−−−−−−=2221000701100310033071201170110022210003100330712011701010222100031003307121017010103100330222100071210132011111103603380320271210143342211324432231144133122111hhhhhhhhcchhhhhhhhhhhhhhhhhhhA⇒r(A) = r(A) = 4 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:=+−=−=+−=+−+−⇔2227313302)3(5442325431xxxxxxxxxx(**)Chọn x5 làm biến phụ; x1, x2, x3, x4 làm biến chính. Cho β=5x với βlà tham số tuỳ ý−=−=−=−=⇔==+−=−=+−=+−+−⇔222314215223972227313302(**)432155442325431βββββxxxxxxxxxxxxxxxVậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là:−−−−βββββ;222;3142;152;2397Với βlà tham số tuỳ ý.Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 9/18 Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị NgũBài tập 4: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo a+=++++=+++=+++21)(a1)z(ayx1az1)y(ax1zy1)x(aTa có:−−−−−−−−++→+→→+−−−−−−++↔+−−−−−−++→+−→++−→+++++→→→+++++=aaaaaaaaaahhhhhhhaaaaaaaaaaaCCaaaaaaaaaaahhhhh)h(ahh)(aaaaahhhhhh)(aaaaaA3002201111022011110220111112111111111111211111111111122233222112223222233122111332112Biện luận: Nếu )3()0(0)( −=∨=⇔=−− aa3aa2 Khi a = 0 thì:⇒==⇒= 1)()(000000001111ArArAHệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.Với nghiệm tổng quát có dạng: (βα−−1;α;β) với βα, là các tham số tuỳ ý. Khi a = -3 ⇒=≠=⇒−−−−= 3)(2)(300033302211ArArAHệ phương trình vô nghiệm. Nếu)0(0)( ≠⇔≠−− a3aa2 và )3( −≠a, khi đó ta có+++++→+−→−→−−−−−−−−++=aaaaaaahhaahhahhaaaaaaaaaaA310022101111311300220111123322211222Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:+=+=++−=⇔+=+=+++=+++33137332)2(1)1(2azayaaxaaayazyaazyaxKết luận: Khi a = 0 : Hệ có vô số nghiệm có dạng (βα−−1;α;β) với βα, là các tham số tuỳ ý. Khi a = -3 : Hệ vô nghiệm.Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 10/18 [...]... cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Ba i 10: 1 1  1 + tan x  Sinx  1 + tan x + Sinx − Sinx  Sinx  lim  1 + Sinx  = lim  1 + Sinx  X →0   X →0  1 + Sinx    tan x − Sinx  tanx − Sinx  = lim 1 +   1 + Sinx  X → 0    =e tanx − Sinx 1 1 + sinx Sinx tanx - Sinx 1 1+sinx Sinx Sinx  tanx − Sinx 1  lim 1 + sinx Sinx  = X →0   = − Sinx Cosx lim Sinx.(1 + Sinx) X →0 Sinx − SinxCosx lim... 1 + xSinx + Cos 2 x 2 2 1 + xSinx − Cos 2 x = lim x X →0 tan 2 1 + xSinx + Cos 2 x 2 xSinx + 2Sin 2 x = lim x X →0 tan 2 1 + xSinx + Cos 2 x 2 1 ( xSinx + 2 Sin 2 x) = lim lim x 1 + xSinx + Cos 2 x X → 0 X →0 tan 2 2 ( ) ( ( ( = lim X →0 ( ) ) ) 1 1 + xSinx + Cos 2 x lim X →0 ) ( xSinx + 2 Sin 2 x).Cos 2 Sin 2 x 2 x 2   1 x xSinx Sin 2 x   = lim Cos 2  lim − 2 lim 2 X →0 2  X → 0 Sin 2 x... 2 Cosx.( ( Sin 2 x + Cosx + Sinx) 1 1 = 1+ 0 +1 2 MSV: 071250510319 Trang 12/18 Ba i tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Vậy  lim   π x→ 2  tan 2 x +  1 1 − tan x  =  2 Cosx  Ba i 2:   2  2 Cosx  lim  Sin2 x − Cotx  = lim  2Sinx.Cosx − Sinx  π  π    x→ x→ 2 2 1 Cosx   = lim  −  Sinx  π  Sinx.Cosx x→ 2 = lim 1 − Cos 2 x Sinx.Cosx = lim Sin 2 x Sinx = lim Sinx.Cosx x... π 2 2 = lim tgx = ∞ x→ π 2 Ba i 3: Sinx − Sinx tan x − Sinx Sinx − Sinx.Cosx = lim Cosx 3 = lim lim x3 x x 3 Cosx x →0 x→0 x →0 x2 Sinx(1 − Cosx ) = lim = lim 3 2 3 x Cosx x→0 x → 0 x Cosx 1 1 = lim = 2 x → 0 2.Cosx x Ba i 4: lim x →1 Nguyễn Phan Thanh Lâm π π π x − Sin x π 2 = lim 2 − 1 2 = 2 1− x x →1 Cos MSV: 071250510319 Trang 13/18 Ba i tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Ba i 5: ( 1 +...Ba i tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ  Khi a ≠ 0 và a ≠ −3 : Hệ có nghiệm duy nhất ( − Nguyễn Phan Thanh Lâm 3a + 7 1 , ,a + 3) a+3 a + 3 MSV: 071250510319 Trang 11/18 Ba i tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Chương II: HÀM MỘT BIẾN THỰC Ba i tập 1:Tính các giơ i hạn sau: 1  lim   π x→ 2 tan 2 x +   1 − tan x   Cos  2 tan x − Sinx 3 lim x3 x→0 5 lim x→0 ... x  X →0 Sin    2 2   1  x2 x2   = 1. lim − 2 lim x 2 2  X →0 ( x )2 X →0 ( )   2 2   1 1 1 1 = ( − ) = − 2 4 2 8 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 14/18 Ba i tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Ba i 7 : lim x→0 Cosx − 3 Cosx Cosx − 3 Cos 2 x 1 Cosx − 3 Cos 2 x = lim = lim 2 3 Sin 2 x 2 x→0 Sin 2 x x→0 Sin x.( Cosx + Cosx ) = 1 Cos 3 x − Cos 2 x 2 lim Sin 2 x.(Cos... − Cosx − Cos 2 x = lim ( ) 2 x→0 Sin 2 x Cos 2 x + 2.Cosx.3 Cos 2 x + 3 Cos 4 x x2 1 1 1 = ( − ) lim 22 = − 2 4 x→0 x 16 B i 8: x→0 1 − x2 −1 = lim (Cos 2 x − 1).( 1 − x 2 + 1) (1 − Cos 2 x).( 1 − x 2 + 1) = lim − x2 x2 x→0 = lim lim Cos 2 x − 1 2Sin 2 x.( 1 − x 2 + 1) Sin 2 x = 2 lim 2 ( 1 − x 2 + 1) x2 x x→0 x→0 x→0 = 2 lim x→0 x2 ( 1 − x 2 + 1) = 4 x2 Ba i 9: −7  2x2 + 3  lim  2 x 2 + 10  ... GVHD: Phan Thị Ngũ e lim ∫ ε →0+ 1+ε dx = x ln x lim ε →0+ 1 1 ∫ − t dt = lim ( − ln t ) ε →0+ 1 1+ε 1 1 1+ε 1   = lim −  ln 1 − ln =0 1+ ε   ε →0+ e Vậy dx ∫ x ln x 1 Hô i tụ B i 3: 2 ∫ 1 2 2 2 dx dx dx dx = lim ∫ 3 = lim ∫ × lim ∫ 2 x 3 − 1 ε → 0+ 1+ ε x − 1 ε → −∞ 1+ ε x − 1 ε → 0+ 1+ ε x + 2 x + 1 2 2 = lim ln( x + 1) 1+ ε × lim ε → 0+ ∫ ε → 0+ 1+ ε 2 dx dx = lim (ln 1 − ln ε ) × lim ∫ 2 x... tan 2 x +  = lim − tan x  lim  Cosx π 1  x→π x→  ( tan 2 x + + tan x) 2 2 Cosx 1 tan 2 x + − tan 2 x Cosx = lim π 1 2 x→ + tan x) 2 ( tan x + Cosx 1 = lim π 1 2 x→ + tan x) 2 Cosx.( tan x + Cosx 1 = lim π Sin 2 x 1 Sinx x→ + + ) 2 Cosx.( 2 Cos x Cosx Cosx lim π x→ 2 1 2 Cosx.( Sin x 1 Sinx + + ) 2 Cos x Cosx Cosx x→ π 2 = lim x→ = Nguyễn Phan Thanh Lâm 1 = lim π 2 Sin x + Cosx Sinx + ) Cos 2 x... x3 x→0 5 lim x→0  2x2 + 3  lim  2 x 2 + 10    x→+∞   x→ lim 1+ x −1 3 1+ x 6 lim Cosx − 3 Cosx Sin 2 x 8 lim x →0 x→0 π x 2 1− x 1 + xSinx − Cos 2 x x tan 2 2 Cos 2 x − 1 9 1 − x2 −1 Cos 1 2 6 x +12  x2 + 4x − 1  lim  x 2 + 7 x − 1    x→+∞    2 2 x→1 lim 1 − x→0 7 4  lim  Sin2 x − Cotx  π   Sinx 10 lim  1 + tan x    x→0  1 + Sinx  11 x −1 2 Ba i 1: 1 1 ( tan 2 x + − tan x).( . )81)2141.(21)2(2)2(.1.2122222122).2(.211.2tan)2(.21121.2tan221.2tan2121.2tan)21).(21(2tan212202202202020222002200220202020limlimlimlimlimlimlimlimlimlimlimlimlim−=−=−=−=+++=+++=+++=++−+=++++−+=−+→→→→→→→→→→→→→xxxxxSinxSinxSinxSinxxCosxSinxCosxSinxSinxxCosxSinxxxSinxSinxxCosxSinxxCosxSinxxxSinxSinxxCosxSinxxxCosxSinxxCosxSinxxxCosxSinxxCosxSinxxxCosxSinxXXXXXXXXXXXXXNguyễn. 2:∞====−=−=−=−→→→→→→→tgxCosxSinxCosxSinxxSinCosxSinxxCosSinxCosxCosxSinxSinxCosxCosxSinxCotxxSinxxxxxxxlimlimlimlimlimlimlim222222222..1.1.2222πππππππBa i 3:21.21.2..)1(..tanlimlimlimlimlimlim032030303030===−=−=−=−→→→→→→CosxCosxxxxCosxxCosxSinxCosxxCosxSinxSinxxSinxCosxSinxxSinxxxxxxxxBài