... kiến thức 1.0.1 Định nghĩa tamthứcbậchai - Tamthứcbậchai ( x ) biểu thứcdạng ax2 + bx + c, a, b, c số cho trước với a = - Nghiệm tamthứcbậchai f (x) = ax2 + bx + c nghiệm phương trình bậc ... bậchai ax2 + bx + c = Kí hiệu: x1 , x2 nghiệm f (x) = - Biểu thức = b2 − 4ac = b − ac biệt thức biệt thức thu gọn tamthứcbậchai f (x) = ax2 + bx + c 1.0.2 Định lí thuận dấu tamthứcbậc hai: ... dấu ⇔ tam giác Bài 19 .Chứng minh: 4sin2 63◦ + 15 cos89◦ 0, nên 15 4sin263◦ Ta chứngminh 4sin2 63◦ + VT (1) < 4sin2 63◦ + 15
... (Balkan MO)/trang35 Sáng tạo BĐT) Qua toán ta thấy sửdụng tiếp tuyến chứngminhbấtđẳngthức cho ta cách tìm lời giải ngắn gọn đơn giản Một số tập áp dụng: 1.Cho a,b,c>0 a+b+c=1 CMR : 10(a b3 ... a4 5a 3b 3b ab a ( a b) 3 3 a b 4( a b ) Ta đưa bấtđăngthức cần chứngminhdạng tắc SOS Một số tập áp dụng Cho số dương Chứngminh rằng: c) Cho a,b,c >0 a+b+c =2 CMR: zzvinhduyzz@zing.vn ... 18. x y 4 4 44 4 5x 1 Điều cần: f ( x) với x 0;1 Lời giải 5a 48 a 8a 5a (4a 1) (3a 1) (Đúng x (0;1) ) 5(a...
... 4( a + b + c) + 12 = Vậy BĐT (3) chứngminhĐẳngthức xảy a = b = c = Ví dụ Giả sử a, b, c, d số thực dương cho a + b + c + d = 1 Chứngminh a + b3 + c3 + d ≥ a + b + c + d + (4) Lời giải (4) ... hợp ta suy BĐT (6) chứngminhĐẳngthức xảy a = b = c = ⋅ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ a b c Cho a, b, c > Chứngminh + + ≥ ⋅ b+c c+a a+b 1 1 Cho a, b, c, d > thỏa mãn a + b + c + d = Chứngminh + + + ≥ a +1 ... (c1 ) ≥ = ; ∀a1 , b1 , c1 ∈ (0; 1) 25 Vậy BĐT (5) chứngminhĐẳngthức (5) xảy a = b = c Ví dụ Giả sử a, b, c số thực cho a + b + c = a b c Chứngminh + + ≤ (6) 2 10 + (1 − b − c) + (1 − c − a )...
... chứngminhbấtđẳngthức sau: b2 + ⇔ c2 + ≥ + (b + c) b2 + c2 + b2 c2 + ≥ 3bc Sửdụngbấtđẳngthức AM - GM ta có: b2 + c2 ≥ bc b2 c2 + ≥ 2bc 2 Cộng bấtđẳngthức theo vế ta điều phải chứngminh ... minh: 4b2 + 4c2 + a2 + ≥ (a + b + c + 1) Sửdụngbấtđẳngthức C-B-S ta có: 4b2 + 4c2 + + 1 + + a2 + 4 ≥ (a + b + c + 1) Từ bấtđẳngthứcchứngminh xong Đẳngthức xảy khi: a = b = c = Bài Toán Cho ... chứngminhbấtđẳngthức sau: a + b2 + c2 + ≥ (a + b + c) Sửdụngbấtđẳngthức Cauchy - Schwarz ta có: a + b2 + + + c2 ≥ (a + b + c) Đẳngthức xảy khi: a = b = c = Cách 2.Nhận xét: Đây bất đẳng...
... hơn: 1/ Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b = k Chứngminhbấtđẳng thức: , 2/ Cho hai số a, b thỏa mãn Chứng minh: Bài 2: Cho a, b số không âm Chứngminh rằng: Hướng dẫn: Ta có bấtđẳng thức: - ... Dựa vào biến thiên dẫn dắt đến bấtđẳngthức cần chứngminh Tùy theo tính chất tốn, q trình thực kết hợp với nhiều bấtđẳngthức khác như: Bấtđẳngthức Phan Minh Phước – Trường THPT Krông ... chứng minh bất đẳng thức Bài 3: Cho Bài 4: Cho HD: Xét hàm số: Chứngminh rằng: Chứngminh rằng: với chứngminh nghịch biến Bài 5: Cho HD: Đặt Chứngminh rằng: Xét hàm số: Bài 6: Chứng...
... (1 .4) với n = k + Vậy bấtđẳngthứcchứngminh Dấu đẳngthức xảy a1 = a2 = · · · = an 1.2 .4 SửdụngtamthứcbậchaiBấtđẳngthức quan trọng chương trình đại số bậc trung học phổ thông bấtđẳng ... vào chứngminhbấtđẳngthức Nội dung chương nêu tổng quan nguyên lý Dirichlet, ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứngminhbấtđẳngthức số ví dụ minh họa chứngminhbấtđẳngthức cách sửdụng ... pháp phản chứng 1.2.3 Phương pháp quy nạp toán học 1.2 .4 Sửdụngtamthứcbậchai 1.2.5 Sửdụngbấtđẳngthức AM-GM 1.2.6 Sửdụngbấtđẳngthức Bunhiacovski...
... vế trái bấtđẳngthức biểu thức toạ độ tích vô hớng hai vectơ u = ( a, b, c)&v=( a ’, b ’, c ) vế phải tích hai độ dài hai vectơ nên theo (*) bấtđẳngthức (1) đợc chứngminh - Dấu đẳngthức xảy ... dung đề tài 1/Cơ sở để sửdụng tích vô hớng vào giải toán chứngminhbấtđẳngthức Định nghĩa u & v vectơ từ u v = |u| |v| cos(u,v) |u| |v| Dấu đẳngthức xảy u & v hớng hay hai vectơ vectơ không ... áp dụng vào toán ( a + b −1 )+ c −1 ≤ ab + c (3) Mặt khác ab = (ab +1) ⇒ ab + c −1 ≤ (ab +1)c (4) Tõ (3) & (4) đpcm Sáng kiến kinh nghiệm bấtđẳngthức (2) bấtđẳngthức sai Bài 3: Một tam...
... ta đến bấtđẳngthức cần chứngminh Tùy theo tính chất tốn, q trình thực kết hợp với nhiều bấtđẳngthức khác như: Bấtđẳngthức Cauchuy, Bunhiacôpski, Trêbưsép……kết hợp với chứngminh quy ... Bài 4: Cho với Chứngminh rằng: Chứngminh rằng: HD: Xét hàm số: với chứngminh nghịch biến Bài 5: Cho HD: Đặt Chứngminh rằng: Xét hàm số: Bài 6: Chứngminh rằng: Nếu Bài 7: Với , Chứng ... Cho hai số a, b thỏa mãn: Hướng dẫn: Đặt Chứngminh rằng: Khi Xét hàm số: Ta có: BBT: - Vậy + BĐT chứngminh Tổng quát hơn: 1/ Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b = k Chứngminhbấtđẳng thức: ...
... phần bổ sung thêm kiến thức kinh nghiệm việc chứngminh BĐT TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Mậu (2006), Bấtđẳngthức – Định lí áp dụng, Nxb GD Phan Đức Chính (1993), Bấtđẳng thức, Nxb GD G.H Hardy, ... b2 c2 ) 2b2c2 2abc 2c2 a2 9(ab 4ab bc 4bc ca) 4ca 3ca Từ kết hợp với tốn ta suy điều phải chứngminh 3bc Đẳngthức xảy a b Bài toán Cho số thực a, b, c Chứngminh rằng: (a c 2)(b 2)(c 2) a b ... ta có điều phải chứngminhĐẳngthức xảy a Bài toán 10 (MOSKVA – 2000) Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứngminh rằng: x y z x y z xy yz zx (1) Đẳngthức xảy ? Lời giải...
... đương Kiến thức: Ta biến đổi bấtđẳngthức cần chứngminh tương đương với bấtđẳngthứcbấtđẳngthứcchứngminh Nếu A < B ⇔ C < D , với C < D bấtđẳngthức hiển nhiên, biết có bấtđẳngthức A < ... ⇒ Bấtđẳngthức với n= k+1 Vậy: sin nx ≤ n sin x , ∀n ∈ Ν ∗ , ∀x ∈ R + 20 19 Phương pháp chứngminhBấtđẳngthức Phương pháp 16: Chứngminh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứngminhbất ... điều kiện ac ≥ 2.(b+d) Chứngminh có bấtđẳngthức sau sai: a < 4b , c < 4d Giải: Giả sửbấtđẳngthức : a < 4b , c < 4d cộng vế ta a + c < 4( b + d ) (1) Theo giả thiết ta có 4( b+d) ≤ 2ac (2) Từ...
... dấu tamthứcbậchai f ( x ) tamthứcbậchai ta cần chứngminh a f ( x) f ( x) (*) Chú ý: Nếu bấtđẳngthức (1) có bấtđẳngthức ( khơng có dấu đẳngthức ) điều kiện (*) f có bấtđẳngthức ... giả sử hàm f ( x , y ) tamthứcbậchai x gọi tamthứcbậchai P ( x ) Ta cần chứngminh P( x ) với x y Để chứngminh P( x ) với x theo toán ta cần chứngminh aP( x ) P ( x ) (*) Suy để chứngminh ... Dùng định lý đảo định lý dấu tamthứcbậchai để chứngminhbấtđẳngthức 1.1 Bài toán Chứngminh B2 – 4AC ( B2 – AC ) Phương pháp giải: Để chứngminh B2 – 4AC ta chứngminh PT Ax2 + Bx + c =0 (...
... a2 = a=±3 b = ; b = −1 4 4a2 4 IV Sửdụngtamthứcbậcchứngminhbấtđẳngthức cổ điển Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứngminh rằng: a + ab + 2abc ≤ Lời giải: ... V Sửdụngtamthứcbậc để chứngminhbấtđẳngthức tổng quát Ví dụ 30 (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh 2005-2006) Cho dãy số thực a1 ; a2 ; an ∈ [0; 1] Chứngminh (1 + a1 + a2 + a3 + + an )2 ≥ 4( a2 ... số thực k ≥ √ bấtđẳngthức đề đúng, tức với số thực k ≥ bấtđẳngthức Bài toán chứngminh xong Đẳngthức xảy a = b = c = Ví dụ 17 Cho k ∈ (−1; 2) a, b, c số đôi phân biệt Chứngminh a2 + b2 +...
... a2 = a=±3 b = ; b = −1 4 4a2 4 IV Sửdụngtamthứcbậcchứngminhbấtđẳngthức cổ điển Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứngminh rằng: a + ab + 2abc ≤ Lời giải: ... V Sửdụngtamthứcbậc để chứngminhbấtđẳngthức tổng quát Ví dụ 30 (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh 2005-2006) Cho dãy số thực a1 ; a2 ; an ∈ [0; 1] Chứngminh (1 + a1 + a2 + a3 + + an )2 ≥ 4( a2 ... số thực k ≥ √ bấtđẳngthức đề đúng, tức với số thực k ≥ bấtđẳngthức Bài toán chứngminh xong Đẳngthức xảy a = b = c = Ví dụ 17 Cho k ∈ (−1; 2) a, b, c số đôi phân biệt Chứngminh a2 + b2 +...
... nguyên lí quy nạp (*) chứngminh xong Dấu đẳngthức xảy Trường hợp (1), chứngminh tương tự Vậy (1) chứngminh hoàn toàn Áp dụng: Cơ sở phương pháp cực trị n số thứ tự cần thựchai bước bản: Bước1: ... pháp cực trị hai n số thứ tự sửdụng để chứngminhbấtđẳngthức giả thiết kết luận toán, vai trò số qua phép hốn vị vòng quanh B Bài tập ví dụ: Bài 1: Cho số dương a, b, c Chứngminh rằng: BG: ... theo giả thiết toán BĐT, ta thiết lập hai dãy tăng gọi phương pháp thuận Bước2: Áp dụng nguyên lý cực trị hai n thứ tự để suy yêu cầu toán Ghi chú: Khi sửdụnghai dãy tăng giảm gọi phương pháp nghịch,...
... lý dấu tamthứcbậc ta có bấtđẳngthức cần chứngminh x2 + y + z cos A cos B cos C + + ≤ x y z 2xyz b) Cho số thực dương a, b, c, x, y, z .Chứng minhbấtđẳng thức: om Ví dụ 22 a) Chứngminh ∀x, ... ⇔ 3 a = a=± b = ;b = − 4a2 4 IV Sửdụngtamthứcbậcchứngminhbấtđẳngthức kh cổ điển Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứngminh rằng: a + ab + 2abc ≤ Lời giải: ... V Sửdụngtamthứcbậc để chứngminhbấtđẳngthức tổng quát Ví dụ 30 (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh 2005-2006) Cho dãy số thực a1 ; a2 ; an ∈ [0; 1] Chứngminh (1 + a1 + a2 + a3 + + an )2 ≥ 4( a21...
... x0 + vAt = - 4, 4 + 50t (km); x y0 + xe B: y = y0 + vBt = - + 30t (km) Khoảng cch hai xe: L = x + y = 340 0t − 680t + 35,36 (km) áp dụngdạng biến đổi tamthứcbậc hai, ta được: L= 340 0 ( t − 0,1) ... tương tự cách nhanh chóng, dễ dàng Phương pháp tiến hành 3.1 Lý thuyết tamthứcbậc Định nghĩa Tamthứcbậc (một ẩn) đa thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c x biến a, b, c số cho, với a ≠ Tính chất ... gian t + Hai xe chạy theo hai hướng vng góc với ngã tư, nên khoảng cách hai xe xác định theo định lí pitago tọa độ hai xe + Nghĩa là, khoảng cách L hai xe biểu diễn thông qua hàm bậchai thời...