Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 2: Dao động của mạng tinh thể (Phần 3) cung cấp cho học viên những kiến thức về nhiệt dung của vật rắn: nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển, nhiệt dung theo lí thuyết Einstein, nhiệt dung theo lí thuyết Debye; sự giãn nở vì nhiệt;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
VẬT LÍ CHẤT RẮN Phạm Đỗ Chung Bộ mơn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Chương • Dao động mạng tinh thể Dao động mạng chiều Dao động mạng chiều loại nguyên tử Dao động mạng chiều hai loại nguyên tử Lượng tử dao động: Phonon Nhiệt dung vật rắn • Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển • Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein • Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Sự giãn nở nhiệt PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Nhiệt dung vật rắn • Nhiệt dung đại lượng vật lí đặc trưng cho thay đổi lượng vật rắn theo nhiệt độ • Sự thay đổi lượng thay đổi động nguyên tử nút mạng • Nhiệt dung vật rắn có mối liên hệ chặt chẽ với dao động mạng PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển Tinh thể hệ nguyên tử, nguyên tử có bậc tự Các nguyên tử nút mạng, luôn dao động nhiệt Ở nhiệt độ đủ cao, coi nguyên tử dao động độc lập 𝜀 ҧ = 𝑘𝐵 𝑇 kB số Boltzmann T nhiệt độ tuyệt đối PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển Nội tinh thể có N nguyên tử là: 𝐸 = 3𝑁𝑘𝐵 𝑇 Nhiệt dung vật rắn là: 𝑑𝐸 C= = 3𝑁𝑘𝐵 𝑑T Nếu xét mol vật rắn, chứa NA ngun tử nhiệt dung là: C = 3𝑁𝐴 𝑘𝐵 = 3𝑅 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển • Nhiệt dung vật rắn khơng phụ thuộc nhiệt độ với chất (định luật Dulong-Petit) • Ở nhiệt độ thấp, nhiệt dung cổ điển khơng phù hợp với thực nghiệm: T→0 nhiệt dung thực nghiệm tiến đến khơng (định lí Nernst) Cần có lí thuyết để xác định nhiệt dung vật rắn phù hợp với thực nghiệm vùng nhiệt độ thấp PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Sửa đổi mô hình cổ điển Năng lượng dao động mạng tinh thể 𝜔2 𝜔1 𝜔4 𝜔3 n 𝑛 𝜔𝑛 E = 𝐸𝑖 𝜔 E = 𝐸 𝜔𝑖 𝜔𝑖 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Sửa đổi mơ hình cổ điển Tổng lượng N nguyên tử tinh thể Tổng lượng tất loại phonon 𝑛 𝜔𝑛 E = 𝐸𝑖 𝜔 E = 𝐸 𝜔𝑖 𝜔𝑖 Trong mạng tinh thể dao động mạng có tần số 𝜔 khác độc lập (không tương tác) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Sửa đổi mơ hình cổ điển u cầu phù hợp với định luật vật lí, phù hợp với thực nghiệm khơng mâu thuẫn với cổ điển: Nhiệt dung 0K phải không (C=0) Nhiệt dung nhiệt độ thấp tỉ lệ với T3 Nhiệt dung nhiệt độ cao tiến tới giá trị cổ điển (phù hợp định luật Dulong-Petit) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein Các nguyên tử vật rắn dao động với tần số ωE (tần số Einstein)-tức có loại phonon tinh thể Năng lượng trung bình dao động tử có tần số ωE là: 𝑈 = 𝑛𝐸 ℏ𝜔𝐸 Trong đó: 𝑛 = PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 ℏ𝜔𝐸 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1 10 Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein • Ở nhiệt độ thấp nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein giảm theo nhiệt độ: 𝐶𝑉 ~𝑒 − ℏ𝜔𝐸 𝑘𝐵 𝑇 • Khi T = K nhiệt dung giảm đến không Nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein chưa phù hợp với thực nghiệm vùng nhiệt độ thấp thực tế C ~ T3 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 13 Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein Hạn chế lí thuyết Einstein: Cho có tần số dao động tinh thể Tức xét đến phonon quang có tần số thay đổi khơng đáng kể theo vectơ sóng K Bỏ qua vai trò phonon âm, khu vực nhiệt độ thấp phonon âm đóng vai trị chủ yếu Cần có lí thuyết phù hợp cho nhiệt dung vùng nhiệt độ thấp PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 14 Nhiệt dung theo lí thuyết Debye • Năng lượng trung bình dao động có tần số ωs là: 𝜖𝑝 (𝐾) = ℏ𝜔𝑝 𝐾 ℏ𝜔𝑝 𝐾 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1 • Năng lượng trung bình dao động tinh thể là: 𝑈 = 𝜖𝑝 (𝐾) = 𝐾 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 𝑝 ℏ𝜔𝑝 𝐾 ℏ𝜔𝑝 𝐾 𝐾,𝑝 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1 15 Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Tinh thể có chứa N ngun tử, vùng Brillouin thứ có N giá trị K Do N lớn nên ta thay tổng theo K tích phân theo K sau: 𝑈 = න 𝜖𝑝 𝐾 𝐷 𝐾 𝑑𝐾 𝐾 D(K) mật độ trạng thái theo K Do 𝜔 hàm K, ta có: 𝑈 = න 𝜖𝑝 𝜔 𝐷 𝜔 𝑑𝜔 = න 𝜔 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 ℏ𝜔 ℏ𝜔 𝜔 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 𝐷 𝜔 𝑑𝜔 −1 16 Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Hàm mật độ trạng thái chiều 𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠 𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠 𝑒 𝑖𝑁𝐾𝑎 2𝜋 ∆𝐾 = 𝐿 Mật độ trạng thái không gian K là: 𝐿 𝐷(𝐾) = 2𝜋 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Fig 4, p110, C Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th 17 Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Hàm mật độ trạng thái chiều 𝐿 𝐿 𝑑𝐾 𝐿 𝑑𝜔 𝐷 𝜔 𝑑𝜔 = 2𝑑𝐾 = 𝑑𝜔 = 2𝜋 𝜋 𝑑𝜔 𝜋 𝑑𝜔/𝑑𝐾 𝑑𝜔/𝑑𝐾 vận tốc nhóm tinh thể Hàm mật độ trạng thái chiều gần Debye: 𝐿 𝑑𝜔 𝐿 𝐷 𝜔 𝑑𝜔 = ⟹𝐷 𝜔 = 𝜋 𝑑𝜔/𝑑𝐾 𝜋𝜐 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 18 Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Hàm mật độ trạng thái ba chiều Mật độ trạng thái không gian K là: 𝐿 𝑉 𝐷 𝐾 = = 2𝜋 8𝜋 Số mode dao động hình cầu có bán kính K là: 𝐿 34 𝑁= 𝜋𝐾 2𝜋 Mật độ trạng thái theo tần số là: 𝑑𝑁 𝑉𝐾 𝑑𝐾 𝐷 𝜔 = = 𝑑𝜔 2𝜋 𝑑𝜔 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 19 Nhiệt dung theo lí thuyết Debye • Trong gần Debye: 𝑉𝐾 𝑑𝐾 𝑉𝜔2 𝐷 𝜔 = = 2𝜋 𝑑𝜔 2𝜋 𝜐 • Nếu tinh thể có chưa N nguyên tử (N ô sơ cấp) số mode dao động N: 1/3 6𝜋 𝑁 𝐾𝐷 = 𝑉 6𝜋 𝑁 𝜔𝐷 = 𝜐𝐾𝐷 = 𝜐 𝑉 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 1/3 𝜔𝐷 6𝜋 𝜐 𝑁 = 𝑉 20 Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Biết qD ta tính giá trị tích phân Chú ý: Tích phân theo φ kết 2π, tích phân theo θ kết 𝜔𝐷 𝑈=න 𝜔𝐷 3𝑉ℏ 𝑈 = 3න 2𝜋 𝜐 ℏ𝜔 ℏ𝜔 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 𝜔2 ℏ𝜔 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1 −1 𝑉𝜔2 𝑑𝜔 2𝜋 𝜐 𝑥𝐷 3𝑉𝑘𝐵4 𝑇 𝑥3 𝑑𝜔 = 3 න 𝑥 𝑑𝑥 2𝜋 𝜐 ℏ 𝑒 −1 ℏ𝜔 ℏ𝜔𝐷 𝜃 𝑥= → 𝑥𝐷 = = 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 𝑇 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 21 Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Nhiệt độ Debye: 𝜃= ℏ𝜐 𝑁 1/3 (6𝜋 ) 𝑘𝐵 𝑉 𝑥 𝐷 𝑇 𝑈 = 9𝑁𝑘𝐵 𝑇 𝜃 𝜕𝑈 𝐶𝑉 = 𝜕𝑇 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 = 9𝑁𝑘𝐵 𝑉 𝑥3 න 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 −1 𝑇 𝜃 𝑥𝐷 𝑥 4𝑒 𝑥 න 𝑥 𝑒 −1 𝑑𝑥 22 Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Ở nhiệt độ T nhỏ (T>θ nhiệt dung tiến tới giá trị cổ điển 3NkB Với T nhỏ nhiệt dung tiến đến không PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 24 Einstein vs Debye • Lí thuyết Einstein lí thuyết Debye giải thích tốt kết mà thực nghiệm tìm • Trong vùng nhiệt độ cao hai lí thuyết nhiệt dung tiến tới giá trị không đổi nhiệt dung cổ điển • Thiếu sót: Lí thuyết Einstein tính đến phonon quang; lí thuyết Debye tính đến phonon âm Kết hợp lí thuyết Einstien Debye Xét đến đóng góp hai loại dao động (âm học quang học) vào nhiệt dung PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 25 Sự giãn nở nhiệt • Thế phi điều hòa (với c, g, f>0) • Độ lệch trung bình khỏi vị trí cân nguyên tử 𝑥ҧ = PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 𝑈(𝑥) +∞ −∞ 𝑥𝑒 𝑘𝐵 𝑇 dx 𝑈(𝑥) +∞ 𝑘 𝑇 −∞ 𝑒 𝐵 dx 26 Sự giãn nở nhiệt • Giả thiết U(x)