Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 2: Dao động của mạng tinh thể cung cấp cho học viên những kiến thức về dao động của mạng 3 chiều, dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử, dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
VẬT LÍ CHẤT RẮN Phạm Đỗ Chung Bộ mơn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Chương • Dao động mạng tinh thể Dao động mạng chiều Dao động mạng chiều loại nguyên tử Dao động mạng chiều hai loại nguyên tử Lượng tử dao động: Phonon Nhiệt dung vật rắn Sự giãn nở nhiệt PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Dao động mạng tinh thể Mạng khơng gian Mạng tinh thể Gốc Gốc hình cầu cứng Các cấu trúc xếp chặt Gốc tương tác lẫn Các loại tinh thể (ion,…) Gốc dao động Dao động mạng PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Dao động mạng tinh thể Tại cần nghiên cứu? • Trong mạng tinh thể nguyên tử dao động quanh vị trí cân (nút mạng) • Dao động mạng liên quan đến nhiệt dung vật rắn (khả dự trữ lượng) • Dao động mạng giải thích lí vật giãn nở nhiệt PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Dao động mạng ba chiều • Sóng đàn hồi truyền theo số phương đối xứng cao: , , • Chỉ xét sóng túy dọc ngang • Các sóng phức tạp biểu diễn tổ hợp tuyến tính sóng phẳng • Trên mặt phẳng tinh thể vng góc với phương truyền sóng nguyên tử dao động giống PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Dao động mạng chiều Dao động mạng ba chiều Sóng dọc Fig 2, p90, C Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Dao động mạng ba chiều Sóng ngang PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Fig 3, p90, C Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th Dao động mạng chiều loại nguyên tử Dao động mạng tinh thể có loại nguyên tử có khối lượng m, cách khoảng a • Coi có tương tác nguyên tử lân cận • Giả sử lực tương tác nguyên tử lực đàn hồi • Độ lệch khỏi vị trí cân bằng: us a a -1 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 s-1 a s a s+1 s+2 Dao động mạng chiều loại nguyên tử Phương trình cho nguyên tử thứ m a a -1 s-1 a s a s+1 s+2 𝐹𝑠 = 𝐶(𝑢𝑠+1 -𝑢𝑠 ) + 𝐶(𝑢𝑠−1 −𝑢𝑠 ) 𝑑 𝑢𝑠 𝑀 = 𝐶(𝑢𝑠+1 + 𝑢𝑠−1 −2𝑢𝑠 ) 𝑑𝑡 𝑢𝑠 = 𝑢𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡 us độ dời khỏi vị trí cân nguyên tử thứ s a.s vị trí nguyên tử thứ s K vector sóng (K=2𝜋/a) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Dao động mạng chiều loại nguyên tử Ta có: 𝑑 𝑢𝑠 2𝑢 = −𝜔 𝑠 𝑑𝑡 • Thay dạng nghiệm us vào phương trình dao động −𝑀𝜔2 = 𝐶(𝑢𝑠+1 + 𝑢𝑠−1 −2𝑢𝑠 ) • Lưu ý: 𝑢𝑠±1 = 𝑢𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎 𝑒 ±𝑖𝐾𝑎 −𝑀𝜔2 = 𝐶(𝑒 𝑖𝐾𝑎 + 𝑒 −𝑖𝐾𝑎 −2)d • Thay eiKa = cos Ka + isin Ka ta có: 2𝐶 𝜔 = (1 − cos 𝐾𝑎) 𝑀 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 10 Dao động mạng chiều loại nguyên tử • K có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài nên đại lượng xét khơng gian mạng đảo • Mạng thuận có chu kì a mạng đảo có chu kì 2π/a • Khoảng -π/a ≤ K ≤ π/a mạng đảo gọi vùng Brillouin thứ • Vùng Brillouin thứ chứa giá trị ω PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 14 Dao động mạng chiều loại nguyên tử Vận tốc nhóm: vận tốc truyền lượng dao động 𝐶 𝐾𝑎 𝜔=2 sin 𝑀 𝑑𝜔 𝑣𝑔 = = 𝑑𝐾 𝐶𝑎2 𝐾𝑎 cos 𝑀 Fig 6, p95, C Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th Tâm vùng Brillouin: vg số Biên vùng Brillouin: vg=0 sóng bị phản xạ PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 15 Dao động mạng chiều loại nguyên tử Điều kiện biên tuần hoàn Born-Karman 𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠 𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑒 𝑖(𝑠+N)𝐾𝑎 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠 𝑒 𝑖𝑁𝐾𝑎 x(0) eiKNa = hay KNa = 2πn Ta có vectơ sóng K thỏa mãn: 2𝜋 𝐾=𝑛 𝐿 vectơ sóng K bị lượng tử hố 16 Dao động mạng chiều loại nguyên tử Với mạng chiều: -π/a ≤K ≤ π/a –N/2 ≤n≤N/2 • K nhận N giá trị gián đoạn từ -π/a đến π/a, giá trị cách lượng 2π/(Na) • Trong mạng tinh thể có N tần số dao động ω(q) ứng với N giá trị K • N lớn nên 2π/(Na) nhỏ K gần liên tục nên không ảnh hưởng đến kết toán PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 17 Dao động mạng chiều loại nguyên tử • Dao động mạng tinh thể tuần hồn có tần số từ đến giá trị ωmax hữu hạn • Sự hữu hạn tinh thể thực dẫn đến vectơ sóng K có hữu hạn giá trị giá trị khơng cịn liên tục mà bị lượng tử hóa PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 18 Dao động mạng chiều hai loại nguyên tử Bài toán mạng chiều chứa hai loại nguyên tử khác ứng dụng cho mạng chiều chứa hai loại nguyên tử khác (NaCl) xét lan truyền sóng theo phương đối xứng () a/2 M2 a/2 a/2 M1 M2 m-1 a/2 M1 a/2 M2 m a/2 M1 m+1 Mạng chiều có loại nguyên tử M1 M2 (M1 >M2) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 19 Dao động mạng chiều hai loại nguyên tử 𝑑 𝑢𝑠 𝑀1 = 𝐶(𝑣𝑠 + 𝑣𝑠−1 −2𝑢𝑠 ) 𝑑𝑡 𝑑2 𝑣𝑠 𝑀2 = 𝐶(𝑢𝑠+1 + 𝑢𝑠 −2𝑣𝑠 ) 𝑑𝑡 𝑢𝑠 = 𝑢𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡 𝑣𝑠 = 𝑣𝑒 𝑖𝑠𝐾𝑎−𝑖𝜔𝑡 Fig 9, p97, C Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 20 Dao động mạng chiều hai loại ngun tử Thay phương trình sóng vào hệ ta được: −𝑀1 𝑢𝜔2 = 𝐶𝑣(1 + 𝑒 −𝑖𝐾𝑎 ) −2𝐶𝑢 −𝑀2 𝑣𝜔2 = 𝐶𝑢(1 + 𝑒 𝑖𝐾𝑎 ) −2𝐶𝑣 Nhóm u v lại ta có hệ phương trình: ቐ 2𝐶 − 𝑀1 𝜔2 𝑢 − 𝐶 + 𝑒 −𝑖𝐾𝑎 𝑣 = −𝐶 + 𝑒 𝑖𝐾𝑎 𝑢 + 2𝐶 − 𝑀2 𝜔2 𝑣 = PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 21 Dao động mạng chiều hai loại nguyên tử Điều kiện để nghiệm không tầm thường là: 2𝐶 − 𝑀1 𝜔2 −𝐶 + 𝑒 −𝐶 + 𝑒 −𝑖𝐾𝑎 𝑖𝐾𝑎 2𝐶 − 𝑀2 𝜔 =0 𝑀1 𝑀2 𝜔4 − 2𝐶 𝑀1 +𝑀2 𝜔2 −2𝐶 − cos 𝐾𝑎 = 𝜔± 1 =𝐶 + ±𝐶 𝑀1 𝑀2 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 1 + 𝑀1 𝑀2 − sin2 Ka 𝑀1 𝑀2 22 Dao động mạng chiều hai loại nguyên tử Với giả thiết đề là: M1>M2 ta có: ω- ω+ K=0 1 2𝐶 + 𝑀1 𝑀2 K