Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Bài 3: Dao động mạng tinh thể. Bài này cung cấp cho học viên những kiến thức về: dao động của chuỗi nguyên tử; dao động của mạng tinh thể; phương trình chuyển động của nguyên tử; lý thuyết lượng tử;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Bài Dao động chuỗi nguyên tử Trong tinh thể nguyên tử dao động quanh nút mạng không gian chiều Bài toán hệ hạt có tương tác với dao động với biên độ nhỏ quanh vị trí cân toán điển hình Cơ học cổ điển Để thấy số tính chất quan trọng dao động ta chuỗi thẳng nguyên tử a Chuỗi thẳng dài vô hạn nguyên tử có khối lượng m d 2x n m = - f [( x n - x n -1 ) - (x n +1 - x n )] dt xn độ lệch khỏi vị trí cân nguyên tử thứ n f số lực đàn hồi tương tác nguyên tử Nghiệm có dạng q - số soùng xn = A exp i ( wt + qna ) Thay nghiệm vào phương trình chuyển động f w = ±2 sin( qa) m cho thaáy phụ thuộc tần số dao động w vào số sóng q : w hàm tuần hoàn q với chu kỳ cần xét q khoảng 2p a p p - £q£ a a Vuøng Brillouin thứ chiều Chỉ cần bước sóng lớn 2a Ở hình , q = p/a tương ứng với l=2a q > p/a ý nghóa vật lý nguyên tử dao động chu kỳ Như vectơ sóng phép cho dao động mạng nằm vùng Brillouin thứ ( |q| < p/a ) Do tất có N giá trị phép vectơ sóng ( bước sóng ) nằm khoảng -p/a < q < p/a Mỗi giá trị tương ứng với mode dao động mạng Mode gọi mode chuẩn qa Vận tốc pha sóng chuỗi : w f sin vp = = a ( ) ( vận tốc truyền mặt đẳng pha ) q m qa ª Với q nhỏ ( bước sóng dài ) vận tốc pha vp = a(f/m)1/2 không đổi vận tốc truyền âm tinh thể ( ~ 3.105 cm/s ) ª Khi q tăng, vận tốc giảm : tượng tán sắc Sự tán sắc ï ảnh hưởng lẫn phần nén dãn sóng Với bước sóng ngắn phần gần ª Khi l giảm đến 2a phần nén dãn bù trừ lẫn làm sóng biến > vận tốc dw f qa =a cos Vận tốc truyền lượng - vận tốc nhóm: v nhóm = dq m Ở biên q = p/2 , vnhóm = : không truyền lượng w (4f / m )1/ w qa = sin (4f / m )1/ Vùng Brillouin thứ q q » 0, , l đ Ơ q= p , l = 2a a f w = ±2 sin( qa) m Với q nhỏ w f m q Có phụ thuộc tuyến tính miền b Chuỗi thẳng dài L hữu hạn gồm N nguyên tử có khối lượng m f x x(0) x(Na) L = Na Điều kiện biên tuần hoàn : xn = xn+N Từ Điều kiện biên tuần hoàn Born von Karman xn = A exp i ( wt + qna ) exp inqa = exp i(n+N)qa Nqa =2pj j số nguyên dương âm exp iNqa = = exp i2pj 2p q= j na f x L = Na Điều kiện biên tuần hoàn : xn = xn+N Các giá trị gián đoạn q xác định N dao động riêng chuỗi Nghiệm tổng quát thu từ tổ hợp tuyến tính tất nghiệm rieâng 2pn x n = å A s exp i(ws t + j) N s Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Nhánh quang Nhánh âm 2f m 2f m 2f M q 1 = + m m M Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Khi m = M : suy bieán Chuỗi có loại nguyên tử với chu kỳ a/2 Dao động ng mạng ng tinh thể Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Để tính toán dùng V tinh thể hàm tọa độ tất nguyên tử có tinh thể Khi mạng dao động, nguyên tử lệch khỏi vị trí cân Khai triển V thành chuỗi quanh vị trí cân ¶ 2V r r V = Vo + å ( r )o sn sn ' + số hạng bậc cao n ,n ' ¶ sn ¶sn ' Vo tất nguyên ưử vị trí cân sn vectơ dịch chuyển nguyên tử thứ n khỏi vị trí cân Khi độ dịch chuyển nguyên tử nhỏ bỏ qua số hạng bậc cao Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Phương trình chuyển động nguyên tử thứ m ( khối lượng M ) 2r ¶ s ¶V ¶ 2V r M = - r = -å ( r r )o sn ¶ sm ¶t n ¶ sn ¶ sm Giả thử chuyển động tuần hoàn r ro rr sm = sm exp i(wt + qam ) r r r r am = n1a1 + n 2a2 + n 3a3 Thay nghiệm vào phương trình chuyển động ¶ V rr r (o) (o) Mw sm - å ( r r )o sn exp iq(an - am ) = n ¶ sn ¶ sm Trong tinh thể với nguyên tử ô nguyên tố ta thu phương trình tương ứng với thành phần phương trình chuyển động Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Nếu biết ¶ V ( r r )o ¶ sn ¶ sm nguyên tắc xác định giá trị tần số riêng biên độ dao động thành phần cách giải phương trình nói Điều kiện phương trình có nghiệm không tầm thường hệ thức hệ số phải : ¶ V ij rr r ( ) exp i q ( a a ) M w d ij = å r r o n m n ¶ sn ¶ sm Định thức có yếu tố Từ suy phương trình bậc w2 Giải nghiệm w1, w2 , w3 w1(q) , w2 (q) w3(q) xác định nhánh aâm Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cách làm tổng quát cho trường hợp tinh thể có nhiều loại nguyên tử ô chứa nhiều nguyên tử Kết cho thấy : Nếu ô có p nguyên tử nói chung có 3p nhánh dao động w1(q) , w2 (q) , w3 (q) ………….wp (q) có nhánh âm 3p - nhánh quang Các nhánh quang Ba nhánh âm Các nhánh tùy theo đối xứng mạng tinh thể trùng theo số chiều ( suy biến ) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tần sô’ n (1012 Hz) Năng lượng (eV) Vài minh họa Vectơ sóng q rút gọn (q/qmax) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tần sô’ n Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vectơ sóng q rút gọn (không thứ nguyên) Si : Tần số phonon ( đơn vò 1012 Hz ) T=300K νLTO(Γ25') νTA(X3) νLAO(X1) νTO(X4 ) νTA (L3) νLA(L2') νLO(L1) νTO(L3') 15.5 1012 Hz 4.5 1012 Hz 12.3 1012 Hz 13.9 1012 Hz 3.45 1012 Hz 11.3 1012 Hz 12.6 1012 Hz 14.7 1012 Hz Taàn soâ’ n Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vectơ sóng q rút gọn (không thứ nguyên) Ge : Tần số phonon ( đơn vị 1012 Hz ) T=300K νLTO(Γ25') νTA(X3) νLAO(X1) νTO(X4 ) νTA (L3) νLA(L2') νLO(L1) νTO(L3') 9.02 1012 Hz 2.385 1012 Hz 7.14 1012 Hz 8.17 1012 Hz 1.87 1012 Hz 6.63 1012 Hz 7.27 1012 Hz 8.55 1012 Hz Ø Tinh thể có N nguyên tử xem hệ động học Chuyển động mô tả N tọa độ chuẩn độc lập với Mỗi tọa độ chuẩn mô tả cho cấu hình xác định tất nguyên tử tinh thể dao động điều hòa Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com & &q + w2q Q q = Q Dao động tập thể tất nguyên tử tinh thể gọi dao động chuẩn mạng Ø Trong tọa độ chuẩn, lượng toàn phần dao động mạng có dạng đơn giản : 3N m E = å (Q&i2 + wi2Qi2 ) i =1 wi tần số dao động mode chuẩn thứ i Với tọa độ chuẩn, dao động mạng trương đương với 3N dao động điều hòa độc lập ( tất nhiên, dao động tử tương ứng với mode chuẩn khác ) Một dao động biểu diễn tổ hợp tuyến tính dao động chuẩn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Lyù thuyết lượng tử cho chuyển động N hạt có tương tác với chuỗi Giải phương trình Schrodinger cho hệ N hạt tương tác với khó Nếu dùng tọa độ suy rộng đưa hệ N hạt tương tác với N dao động tử độc lập Khi phương trình Schrodinger tách thành N phương trình phương trình mô tả cho chuyển động hạt Khi hạt không tương tác với nhau, lượng hệ N E = å En n =1 hàm sóng N y = Õ y s (Q s ) s=1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Qs tọa độ suy rộng , Es Ys thỏa mãn phương trình h2 ¶ 2y s 2 + ( E m w s s Q s )y s = 2m ¶Q s Phương trình có dạng phương trình dao động tử điều hòa giải Cơ học lượng tử Trị riêng Es = (n s + )hws ns - số nguyên dương Khác với cổ điển, theo lý thuyết lượng tử lượng lấy giá trị gián đoạn Năng lượng hws xem lượng tử lượng dao động với tần số ws. > phonon Nghiệm Ys(Qs) ứng với lượng Es biểu thị cho trạng thái có ns phonon dao động chuẩn thứ s Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Theo Cơ học lượng tử, quy tắc lọc lựa cho số lượng tử dao động tử có dạng Dns = ± Khi Dns = - mạng chuyển vào trạng thái có lượng thấp : lượng hws truyền cho hạt tải điện vật xung quanh > trình chuyển trạng thái trình xạ phonon Quá trình chuyển trạng thái với Dns = +1 trình hấp thụï phonon mạng Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com § Phonon mô tả bó sóng chuyển động mạng Tính chất bó sóng giống tính chất hạt cổ điển gán cho lượng, xung lượng vận tốc Năng lượng phonon Ep = hws Chuẩn xung lượng phonon Pp = hqs § Tương tác phonon phonon electron xem tán xạ hai hạt § Phonon tuân theo phân bố Bose - Einstein ... a/2 Dao động ng mạng ng tinh theå Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Để tính toán dùng V tinh thể hàm tọa độ tất nguyên tử có tinh thể Khi mạng dao động, ... Unregistered Version - http://www.simpopdf.com & &q + w2q Q q = Q Dao động tập thể tất nguyên tử tinh thể gọi dao động chuẩn mạng Ø Trong tọa độ chuẩn, lượng toàn phần dao động mạng có dạng đơn giaûn...1 Dao động chuỗi nguyên tử Trong tinh thể nguyên tử dao động quanh nút mạng không gian chiều Bài toán hệ hạt có tương tác với dao động với biên độ nhỏ quanh vị trí cân toán điển hình Cơ học