1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

DAO HAM VA VI PHAN

23 8 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 23
Dung lượng 451 KB

Nội dung

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM Cho y = f(x) xác định (a, b) ∋ x0, xét tỷ số ∆f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = = ∆x x − x0 ∆x ∆f ( x ) f ′( x0 ) = lim x → x0 ∆x ( ∆x → 0) Đạo hàm phải(trái) x0: ∆f ( x0 ) f±′ ( x0 ) = lim ∆x x → x0± ( ∆x →0± ) Bảng công thức đạo hàm hàm ( arcsin x ) ′ = 1− x ′ ( arccos x ) = − 1− x ′ ( arctan x ) = 1+ x ′ ( arccot ) = − 1+ x ( cosh x ) ′ = sinh x ′ sinh x ( ) = cosh x cosh x ′ ( coth x ) = − sinh x ( x ) ′ = Cách tính đạo hàm Nếu f xác định biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm sơ cấp quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) Nếu x0, biểu thức f ’ khơng xác định: tính định nghĩa Nếu hàm số có phân chia biểu thức x0: tính định nghĩa Nếu f(x) = u(x)v(x) f(x) tích thương nhiều hàm: tính (lnf)’ Ví dụ: tính đạo hàm điểm / f ( x ) = x ln x x = / f (x) = x x / f (x) = x +  x2 , x ≤1 / f ( x) =  2 x − 1, x >1 / f ( x) = 1− e x = − x2 / f ( x ) = − x arcsin x, x0 = 2 Đạo hàm liên tục f có đạo hàm x0 f liên tục x0 VD: tìm số a, b để f có đạo hàm x0 (Nên xét tính liên tục x0 trước) a sin x + b cos x + 1, x < f (x) =  2 x + 1, x ≥ Tìm a, b để f có đạo hàm x = ĐẠO HÀM CẤP CAO Cho f(x) có đạo hàm cấp lân cận x0, f’ có đạo hàm x0, đặt f ′′( x0 ) = ( f ′( x ) ) ′ x = x0 f ′′( x ) = ( f ′( x ) ) ′ Có thể viết: Tổng quát: đạo hàm cấp n đạo hàm đạo hàm cấp (n – 1) f (n ) ′ ( n −1)   ( x ) = f (x) Công thức đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao ( f ± g) (n ) = f (n ) ± g (n ) tổng hiệu: Đạo hàm cấp cao tích: ( f g ) (n ) n = k (k ) (n −k ) C ∑ nf g k =0 (công thức Leibnitz) Đạo hàm cấp cao hàm (a ) x (n ) α  (n ) ( ax + b )   (n )    ÷  ax + b  [ ln(ax + b)] (n ) =a x ( ln a ) (e ) ax ( n ) n n x =a e = a α (α − 1)L (α − n + 1) ( ax + b ) n n = (−1) n ! = (−1) n −1 a n (ax + b) (n − 1)! n +1 a n (ax + b)n α −n Đạo hàm cấp cao hàm π  [ sin(ax + b)] = a sin  ax + b + n ÷ 2  π (n )  n [ cos(ax + b)] = a cos  ax + b + n ÷ 2  (n ) n Ví dụ Tìm đạo hàm cấp f x = 1: Tìm đạo hàm cấp n x = Tính đạo hàm cấp x = f ( x) = 2x − x −x−2 Tính đạo hàm cấp x = f ( x) = ( x − x).e 2x f ( x) = arctan x f ( x ) = ( x + 1) Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f(x) xác định phương trình F (x, y ) = (∗) gọi hàm ẩn xác định (∗) Cách tìm y’(x): lấy đạo hàm pt (∗) theo x, giải tìm y’ theo x y Cách tìm y”(x): lấy đạo hàm pt (∗) lần theo x, giải tìm y” theo x, y y’ Thay y’ theo x, y Ví dụ Tìm y’(x) với y xác định từ pt : x2 + y = y Tìm y’(0) với y = y(x) xác định + y + x.2 = Tìm đạo hàm x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác x+y ( x − 1) e + xy = định pt: Tìm đạo hàm cấp x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định pt: y + x y − x +1 = Đạo hàm hàm cho theo tham số  x = x (t ) Cho hàm số :   y = y (t ) y ′( x ) = y ′(t ).t ′( x ) y ′(t ) y ′( x ) = x ′(t ) ( ) ′ ( n −1) y ′′(t ) x ′(t ) − y ′(t ) x ′′(t ) y (x) y ′′( x ) = (n ) t y ( x ) = [ x′(t )] x ′(t ) Ví dụ  x (t ) = t et − 1 Cho :  y ( t ) = t +t  Tính y’(x) x = -1 Cho y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2, tính y”(t) SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN f khả vi xo tồn số A cho ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = A.( x − x0 ) + o ( x − x0 ) hay f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = A.∆x + o ( ∆x ) Khi đại lượng: dy = df ( x0 ) = A.∆x gọi vi phân f xo Đạo hàm vi phân f khả vi xo ⇔ f có đạo hàm xo df ( x0 ) = f ′( x0 ).∆x Cách viết thông thường: df ( x0 ) = f ′( x0 ).dx Cách viết khác đạo hàm: df ( x0 ) = f ′( x0 ) dx Các phép tính vi phân d (c.f ) = cdf , c = const d ( f ± g ) = df ± dg d ( f g ) = gdf + fdg  f  gdf − fdg d  ÷= g g   Vi phân hàm hợp Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy = f ′( x)dx Nếu x = x(t), y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi ⇒ y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập): hay dy = y′(t )dt dy = f ′( x)dx với dx = x′ ( t ) dt (Công thức vi phân hàm hợp) Dù x biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân y theo x khơng đổi Ví dụ Cho f(x) = 3x2 – x, tìm số gia ∆f vi phân df x = với ∆x =0.01 Tìm vi phân f(x) = xex x = Cho y = f(x) = sin(x2), a) Tính dy theo dx x = π b) x(t) = arctan(t), tính dy theo dt t = VI PHÂN CẤP CAO dx = ∆x : số Nếu x biến độc lập: d y = d ( dy ) = d ( y′dx ) = ( y′′dx ) dx = y′′dx n (n) d y = y dx Nếu x = x(t): dx = x’dt : hàm số d y = d ( dy ) = d ( y′dx ) n = d ( y′).dx + y′d ( dx ) d y = y′′dx + y′d x Ví dụ Cho y = sin(x) Tính d2y theo dx Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt Tổng kết Tính đạo hàm cho loại hàm số (y = f(x), hàm ẩn, tham số) Nếu x biến độc lập: tính vi phân tính đạo hàm Nếu x = x(t) (là hàm số): Vi phân cấp : dy = y’(x)dx, sau khai triển dx theo dt Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x cuối phải đưa dt2(chỉ tính đến cấp 2) ... Đạo hàm vi phân f khả vi xo ⇔ f có đạo hàm xo df ( x0 ) = f ′( x0 ).∆x Cách vi? ??t thông thường: df ( x0 ) = f ′( x0 ).dx Cách vi? ??t khác đạo hàm: df ( x0 ) = f ′( x0 ) dx Các phép tính vi phân...  gdf − fdg d  ÷= g g   Vi phân hàm hợp Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy = f ′( x)dx Nếu x = x(t), y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi ⇒ y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập):... SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN f khả vi xo tồn số A cho ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = A.( x − x0 ) + o ( x − x0 ) hay f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = A.∆x + o ( ∆x ) Khi đại lượng: dy = df ( x0 ) = A.∆x gọi vi phân

Ngày đăng: 24/12/2021, 20:43

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Bảng công thức đạo hàm các hàm mới () () () ()222 21arcsin11arccos11arctan11arccot 1xxxxxxx′ =−′ = −−′ =+′ = − +()()()() 2 2coshsinhsinhcosh1tanhcosh1cothsinhxxxxx xx x′ =′ =′ =′ = − - DAO HAM VA VI PHAN
Bảng c ông thức đạo hàm các hàm mới () () () ()222 21arcsin11arccos11arctan11arccot 1xxxxxxx′ =−′ = −−′ =+′ = − +()()()() 2 2coshsinhsinhcosh1tanhcosh1cothsinhxxxxx xx x′ =′ =′ =′ = − (Trang 3)

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w