Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
451 KB
Nội dung
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM Cho y = f(x) xác định (a, b) ∋ x0, xét tỷ số ∆f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = = ∆x x − x0 ∆x ∆f ( x ) f ′( x0 ) = lim x → x0 ∆x ( ∆x → 0) Đạo hàm phải(trái) x0: ∆f ( x0 ) f±′ ( x0 ) = lim ∆x x → x0± ( ∆x →0± ) Bảng công thức đạo hàm hàm ( arcsin x ) ′ = 1− x ′ ( arccos x ) = − 1− x ′ ( arctan x ) = 1+ x ′ ( arccot ) = − 1+ x ( cosh x ) ′ = sinh x ′ sinh x ( ) = cosh x cosh x ′ ( coth x ) = − sinh x ( x ) ′ = Cách tính đạo hàm Nếu f xác định biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm sơ cấp quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) Nếu x0, biểu thức f ’ khơng xác định: tính định nghĩa Nếu hàm số có phân chia biểu thức x0: tính định nghĩa Nếu f(x) = u(x)v(x) f(x) tích thương nhiều hàm: tính (lnf)’ Ví dụ: tính đạo hàm điểm / f ( x ) = x ln x x = / f (x) = x x / f (x) = x + x2 , x ≤1 / f ( x) = 2 x − 1, x >1 / f ( x) = 1− e x = − x2 / f ( x ) = − x arcsin x, x0 = 2 Đạo hàm liên tục f có đạo hàm x0 f liên tục x0 VD: tìm số a, b để f có đạo hàm x0 (Nên xét tính liên tục x0 trước) a sin x + b cos x + 1, x < f (x) = 2 x + 1, x ≥ Tìm a, b để f có đạo hàm x = ĐẠO HÀM CẤP CAO Cho f(x) có đạo hàm cấp lân cận x0, f’ có đạo hàm x0, đặt f ′′( x0 ) = ( f ′( x ) ) ′ x = x0 f ′′( x ) = ( f ′( x ) ) ′ Có thể viết: Tổng quát: đạo hàm cấp n đạo hàm đạo hàm cấp (n – 1) f (n ) ′ ( n −1) ( x ) = f (x) Công thức đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao ( f ± g) (n ) = f (n ) ± g (n ) tổng hiệu: Đạo hàm cấp cao tích: ( f g ) (n ) n = k (k ) (n −k ) C ∑ nf g k =0 (công thức Leibnitz) Đạo hàm cấp cao hàm (a ) x (n ) α (n ) ( ax + b ) (n ) ÷ ax + b [ ln(ax + b)] (n ) =a x ( ln a ) (e ) ax ( n ) n n x =a e = a α (α − 1)L (α − n + 1) ( ax + b ) n n = (−1) n ! = (−1) n −1 a n (ax + b) (n − 1)! n +1 a n (ax + b)n α −n Đạo hàm cấp cao hàm π [ sin(ax + b)] = a sin ax + b + n ÷ 2 π (n ) n [ cos(ax + b)] = a cos ax + b + n ÷ 2 (n ) n Ví dụ Tìm đạo hàm cấp f x = 1: Tìm đạo hàm cấp n x = Tính đạo hàm cấp x = f ( x) = 2x − x −x−2 Tính đạo hàm cấp x = f ( x) = ( x − x).e 2x f ( x) = arctan x f ( x ) = ( x + 1) Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f(x) xác định phương trình F (x, y ) = (∗) gọi hàm ẩn xác định (∗) Cách tìm y’(x): lấy đạo hàm pt (∗) theo x, giải tìm y’ theo x y Cách tìm y”(x): lấy đạo hàm pt (∗) lần theo x, giải tìm y” theo x, y y’ Thay y’ theo x, y Ví dụ Tìm y’(x) với y xác định từ pt : x2 + y = y Tìm y’(0) với y = y(x) xác định + y + x.2 = Tìm đạo hàm x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác x+y ( x − 1) e + xy = định pt: Tìm đạo hàm cấp x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định pt: y + x y − x +1 = Đạo hàm hàm cho theo tham số x = x (t ) Cho hàm số : y = y (t ) y ′( x ) = y ′(t ).t ′( x ) y ′(t ) y ′( x ) = x ′(t ) ( ) ′ ( n −1) y ′′(t ) x ′(t ) − y ′(t ) x ′′(t ) y (x) y ′′( x ) = (n ) t y ( x ) = [ x′(t )] x ′(t ) Ví dụ x (t ) = t et − 1 Cho : y ( t ) = t +t Tính y’(x) x = -1 Cho y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2, tính y”(t) SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN f khả vi xo tồn số A cho ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = A.( x − x0 ) + o ( x − x0 ) hay f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = A.∆x + o ( ∆x ) Khi đại lượng: dy = df ( x0 ) = A.∆x gọi vi phân f xo Đạo hàm vi phân f khả vi xo ⇔ f có đạo hàm xo df ( x0 ) = f ′( x0 ).∆x Cách viết thông thường: df ( x0 ) = f ′( x0 ).dx Cách viết khác đạo hàm: df ( x0 ) = f ′( x0 ) dx Các phép tính vi phân d (c.f ) = cdf , c = const d ( f ± g ) = df ± dg d ( f g ) = gdf + fdg f gdf − fdg d ÷= g g Vi phân hàm hợp Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy = f ′( x)dx Nếu x = x(t), y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi ⇒ y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập): hay dy = y′(t )dt dy = f ′( x)dx với dx = x′ ( t ) dt (Công thức vi phân hàm hợp) Dù x biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân y theo x khơng đổi Ví dụ Cho f(x) = 3x2 – x, tìm số gia ∆f vi phân df x = với ∆x =0.01 Tìm vi phân f(x) = xex x = Cho y = f(x) = sin(x2), a) Tính dy theo dx x = π b) x(t) = arctan(t), tính dy theo dt t = VI PHÂN CẤP CAO dx = ∆x : số Nếu x biến độc lập: d y = d ( dy ) = d ( y′dx ) = ( y′′dx ) dx = y′′dx n (n) d y = y dx Nếu x = x(t): dx = x’dt : hàm số d y = d ( dy ) = d ( y′dx ) n = d ( y′).dx + y′d ( dx ) d y = y′′dx + y′d x Ví dụ Cho y = sin(x) Tính d2y theo dx Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt Tổng kết Tính đạo hàm cho loại hàm số (y = f(x), hàm ẩn, tham số) Nếu x biến độc lập: tính vi phân tính đạo hàm Nếu x = x(t) (là hàm số): Vi phân cấp : dy = y’(x)dx, sau khai triển dx theo dt Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x cuối phải đưa dt2(chỉ tính đến cấp 2) ... Đạo hàm vi phân f khả vi xo ⇔ f có đạo hàm xo df ( x0 ) = f ′( x0 ).∆x Cách vi? ??t thông thường: df ( x0 ) = f ′( x0 ).dx Cách vi? ??t khác đạo hàm: df ( x0 ) = f ′( x0 ) dx Các phép tính vi phân... gdf − fdg d ÷= g g Vi phân hàm hợp Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy = f ′( x)dx Nếu x = x(t), y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi ⇒ y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập):... SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN f khả vi xo tồn số A cho ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = A.( x − x0 ) + o ( x − x0 ) hay f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = A.∆x + o ( ∆x ) Khi đại lượng: dy = df ( x0 ) = A.∆x gọi vi phân