Định lý grobman hartman cho hệ nhị phân mũ không đều

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Tran Th% Ngoan бNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO Hfi NH± PHÂN MŨ KHƠNG ĐEU LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2012 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Tran Th% Ngoan бNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO Hfi NH± PHÂN MŨ KHƠNG ĐEU Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60 46 01 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Lê Huy Tien Mnc lnc Lài cam ơn i Lài nói đau ii 1Nh% phân mũ không đeu 1.1Nh% phân mũ đeu 1.2Khái ni¾m nh% phân mũ khơng đeu 1.2.1Đ%nh nghĩa ví du 1.2.2Các tính chat cna h¾ nh% phân mũ 1.2.3Khơng gian őn đ%nh khơng őn 1.3M®t so kien thúc chuan b% 1.3.1Tính liờn tuc Hăolder 1.3.2Đ%nh lý điem bat đ®ng 1.3.3Bő đe Gronwall-Bellman v vi vii không đeu ix đ%nh x xii xii xii xii v Tương đương tơ-pơ cho h¼ nh% phân mũ khơng đeu trưàng hap thài gian rài rac 2.1 Ánh xa liên hop cho ánh xa 2.1.1 Khái ni¾m dãy toán tu nh% phân mũ 2.1.2 Sn ton tai ánh xa liên hop tô-pô 2.2 Tớnh chớnh quy Hoălder cna ỏnh xa liờn hop 2.2.1 Tớnh chớnh quy Hoălder cna ỏnh xa liờn 2.2.2 Chuan Lyapunov 2.2.3 Chúng minh tính chớnh quy Hoălder cna không đeu ánh xa liên xiv xiv xiv xviii xxiv xxiv xxv xxvii Tương đương tơ-pơ cho h¼ nh% phân mũ không đeu trưàng hap thài gian liên tnc xxxiii 3.1 Ánh xa liên hop cho dòng xxxiii iii 3.1.1 xxxiv Phép quy ve trưòng hop ròi rac 3.1.2 xxxvi Chúng minh đ%nh lý Grobman-Hartman 3.2 Tớnh chớnh quy Hăolder cna ỏnh xa liờn hop cho xl dòng Ket lu¼n Tài li¼u tham khao xliii xliv Chương Nh% phân mũ không đeu 1.1 Nh% phân mũ đeu n liờn hop hắtuyen huu han chieu Xột mđt tucm −→ cho A(t) tốn Trưóc het ta nhac khái ni¾m phân đeu Đe đơn gian ta xét trưịng tu tính b% lai ch¾n Xánh = nh% Rxa vói moi tt ≥ A(t) phương trình J x = A(t)x (1.1) GQI X(t) làGma tr¾n túc là−1nghi¾m cnatr¾n (1.1)tien thoa mãn X(t)x(0) QI X(t, s) ban, = X(t)X (s) ma hóa cnax(t) (1.1).= tai chieu P Phương hang K, α ≥ 0GQI saolàcho Đ %nhphép nghĩa 1.1 trìnhso(1.1) đưoc có nh% phân mũ đeu neu ton −1 −α(t−s) i) ||X(t)P X (s)|| ≤ Ke vói t ≥ s, ii) ||X(t)(I − P )X −1 (s)|| ≤ Ke−α(s−t) vói s ≥ t Đ%nh nghĩa trờn tng ng vúi cỏc Mắnh e sau Mẳnh e 1.2 Phương trình (1.1) có nh% phân mũ đeu chs Rn = S⊕U ton tai K, α > cho: i) ||X(t)X −1 (s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| vái t ≥ s, x ∈ S, ii) ||X(t)X −1 (s)y|| ≤ Ke−α(s−t) ||y|| vái s ≥ t, y ∈ U HQ phépđe chieu thóa trình mãn sup ∞ vái (t)X(t, = X(t, s)P (s) M¼nh 1.3.P (t) Phương (1.1)||Pcó(t)|| nh%< phân mũPđeu vàs)chs ton tai ∀t ≥ s ton tai h¾ so K, αt∈> cho i) R ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| vái t ≥ s, x ∈ Im P (s), ii) ||X(t, s)x||đó ≤ Q(t) Ke−α(t−s) vái s ≥ t, x ∈ Im Q(s), = Id||x|| − P(t) H¾ nh% phân mũ đeu có tính chat rat tot, ví du tính vung, đ¾c trưng Peron cna h¾ nh% phân mũ hay sn ton tai đa tap őn đ%nh đa tap không őn đ %nh Sau đây, phát bieu đ%nh lý Grobman-Hartman cho trưịng hop ơtơ-nơm Đ%nh lý 1.4 ([13]) Xét phương trình xJ = Ax (1.2) phương trình xJ = Ax + f (x), x ∈ Rn sinh dòng ϕt, ||f (x) − f (y)|| ≤ L||x − y|| Gia σ(A) ∩ iR lân = ∅,c¾n túcmálàcua (1.2) mũ đeu Khi đó, ton tai đong su phơi H goccóTQanh% đ®phân cho etA ◦ H = H ◦ ϕt Ví dn 1.5 (xem [13], trang 140) Cho h¾ xJ =phơi x, y J = −y + x2 Khi đó, tìm đưoc đong Σ x H = y − x3 1.2 (1.3) Khái ni¾m nh% phân mũ khơng đeu H¾ nh% phân mũ khơng đeu l trũng hop mo rđng cna hắ nh% phõn m đeu ta xem sn khác giong ban cna chúng 1.2.1 Đ%nh nghĩa ví dn Xkhoang khơng gian hàm tốn tu A : toỏn J B(X) l mđt hmchắn liờn Xét toán giámo tr% đauvà B(X) tuc Cho J ban ⊂Banach, R, t¾p tu tuyen tính b% X s ∈ J vs ∈ X (1.4) J vv(s) = A(t)v = vs Ta viet nghi¾m nhat cna phương trình (1.4) dưói dang v(t) = T (t, s)v(s), T (t, s) tốn tu tien hóa ta có T (t, t) = Id (1.5) T (t, s) = T (t, r)T (r, s) tai phép 1.6 chieuPhương P :J → B(X) vóicó nh% phân mũ khơng đeu J neu ton Đ %nhHQnghĩa trình (1.4) P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s) ∀t ≥ s, (1.6) ton tai h¾ so a < ≤ b, a, b ≥ 0, D1, D2 ≥ (1.7) cho ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s| (1.8) ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e −b(t−s)+b|t| Q(t) = Id − P (t) V¾y a, b coi so mũ Lyapunov, cịn a b đ¾c trưng cho tính khơng eu cna hắ nh% phõn m Nhẳn xột 1.7 Nh v¾y tù hai đ%nh nghĩa ve nh% phân mũ đeu nh% phân mũ khơng đeu ta thay h¾ nh% phân mũ khơng đeu có thêm m®t lưong mũ a|s| ho¾c b|t| Thnc chat nh% phân mũ khơng đeu tőng quát nh% phân mũ đeu rat nhieu Chang han, mđt hắ huu han chieu chi can cú mđt so mũ Lyapunov có phan thnc âm h¾ có nh% phân mũ không đeu ([8, Đ%nh lý 10.6]) Ta có the đ%nh nghĩa thêm ve h¾ nh% phân mũ khơng đeu manh vói h¾ so a ≤ a < ≤ b ≤ b a, b > (1.9) Jtrong neuĐ%nh ton (1.9) tai m®t HQ chieu P (t)làthoa (1.6) mũ ton tai đeu manh hắ so thoa ngha Ta núi hắ (1.4) mđtmón nh% phân không mãn sao1.8 chophép a(t−s)+a|s| −a(t−s)+a|t| ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 e , ||T (s, t)P (t)|| ≤ D1 e , (1.10) ||T (t, s)Q(s)|| ≤ D2 eb(t−s)+b|s| , ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b| Nh¼n xét 1.9 Rõ ràng m®t nh% phân mũ khơng đeu manh m®t nh% phân mũ khơng đeu ngưoc lai chưa chac t| Ta xét m®t so ví du đơn gian Ví dn 1.10 Xét phương trình cho R2, cho boi =y J −x, =xty H¾ (1.11) m®t nh% phân mũ khơng đeu R+ vói J (1.11) a = −1, b = 0, a = b = 0, D1 = D2 = Tuy nhiên bat thúc thú ba (1.10) không thoa mãn neu b ƒ= +∞ Do (1.11) khơng m®t nh% phân mũ khơng đeu manh Tiep theo ta xột mđt vớ du e phõn biắt nh% phõn m khơng đeu nh% phân mũ đeu Ví dn 1.11 Cho w > a > nhung h¾ so thnc h¾ phương trình R2 J u (−w t)u, vJ = − (wat + sin at sin=t)v (1.12) Mẳnh e 1.12 Hắ (1.12) l mđt nh% phõn m không đeu R không nh% phân mũ đeu Chúng minh Có the kiem tra rang u(t) = U (t, s)u(s) v(t) = V (t, s)v(s) −wt+ws+at cos t−as cos cos s−a sin(t, t+as) sin t+as cos s+as) sin= t−a sin s U =s,e Vlà (t, ewt−ws−at Tốn tu tien hóa cna h¾ (1.12) T (t, s)(u, v) = (U (t, s)u, V (t, s)v) Gia su P (t) phép chieu P (t)(u, v) = u Thì P thoa mãn đieu ki¾n (1.6) Ta chi ton tai D cho U (t, s) ≤ De(−w+a)(t−s)+2a|s| vói t ≥ s, (1.13) −(w+a)(t−s)+2a|t| V (s, t) s) ≤ De vói t ≥ s (1.14) Đau tiên ta viet lai U (t, sau: U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+at(cos t−1)−as(cos s−1)+a(sin s−sin t) (1.15) Vói t, s ≥ tù (1.15) có U (t, s) ≤ e2ae(−w+a)(t−s)+2as Hơn nua neu t = 2kπ, s = (2l − 1)π vói k, l ∈ N (−w+a)(t−s)+2as Vói t ≥ 0, s ≤ tù U (1.15) (t, s) suy = era U (t, s) ≤ e2ae(−w+a)(t−s) (1.16) Cuoi neu s ≤ t ≤ tù (1.15) suy U (t, s) ≤ e2ae(−w+a)(t−s)+2a|t| ≤ e2ae(−w+a)(t−s)+2a|s| Ket hop (1.13)tn.vói D = e2a vi¾c chúng minh cho V (t, s) (1.14) hồn tồnvói tương Hơn nua neu t = −2kπ, s = −(2l − 1)π (1.17) V (s, t) = e−(w+a)(t−s)+2a|t| V¾y tù (1.13), (1.14) h¾ (1.12) h¾ nh% phân mũ khơng đeu Nhưng ta không the bo e2a|s| e2a|t| bang cách cho D ho¾c w − a đn lón nên h¾ (1.12) khơng nh% phân mũ đeu 1.2.2 Các tính chat cua h¾ nh% phân mũ khơng đeu 1.2.2.1 Tính vEng X trình khơng gian Banach, A : J → B(X) hàm liên tuc J ⊂ R Xét phương v J = A(t)v (1.18) v(s) = vs, s ∈ J, vs ∈ X Gia su phương trình nghi¾m ∈ khơng J T đeu (t, s)Talànói tốn tu tien Gia su phương trình trên m®tcó nh% phân tmũ nh% phânhóa vung neu vói B đn nho h¾ v J = (A(t) + B(t))v m®t nh% phân mũ khơng đeu (1.19) Vói a, b thoa mãn a < < b, a, b > 0, D1, D2 > ta đ¾t e = min{−a, b}, ϑ = max{a, b}, D = max{D1, D2} D ˜cD= c.1 − 2δ D ˜= , − δD/(˜c + c) Đ%nh lý 1.13 (xem [8], trang 28)Toán tu A, B : J → B(X) hàm liên tnc c thóa mãn 1) Phương trình (1.18) nh% phân mũ không đeu mői khoang má J, 2) ||B(t)|| ≤ δe−2ϑ|t| vái ϑ < e, vái MQI t ∈ J Neu δ đu nhó h¾ (1.19) nh% phân mũ không đeu J vái h¾ so c, ϑ ˜ D thay bái ˜ c, 2ϑ 4DD 1.2.3 Không gian on đ%nh khơng on đ%nh J Gia su trình = A(t)v nh% phân mũ khơng đeu khoang moh¾J phương ⊂ R Xét hai tuyen khơngtính gianvcon tuyen tính E(t) = P (t)X, F (t) = Q(t)X, (1.20) vói moi t ∈ J Chúng ta đ%nh tươngtai úng GQIđiem E(t)t.và (t) lan őn đ%nh khơng őn thịi RõF ràng lưot không gian X = E(t) ⊕ F (t) vói moi t ∈ J dim E(t), dim F (t) khơng phu thu®c vào thịi điem t Nghi¾m cna (1.18) có the đưoc viet dưói dang = (U (t, s)ξ, V (t, s)η) ∈ E(t) × 2F (1.21) (t), v(s) = ∀t, s ∈ ≤(t, s s) η) J,vàtUv(t) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s) = P (t)T (t, s)P (s) (ξ, V (t, s) := T (t, s)Q(s) = T (t, s)Q(s)2 = Q(t)T (t, s)Q(s) e ... đau ii 1Nh% phân mũ khơng đeu 1.1Nh% phân mũ đeu 1.2Khái ni¾m nh% phân mũ khơng đeu 1.2.1Đ%nh nghĩa ví du 1.2.2Các tính chat cna h¾ nh% phân mũ 1.2.3Khơng gian őn đ%nh không ... H¾ nh% phân mũ đeu có tính chat rat tot, ví du tính vung, đ¾c trưng Peron cna h¾ nh% phân mũ hay sn ton tai đa tap őn đ%nh đa tap không őn đ %nh Sau đây, phát bieu đ%nh lý Grobman- Hartman cho trưịng... tốn tE nh% phân mũ không đeu Gia X làhet không gian B(X) đeu t¾p rịi cácrac tốn tuyen hop tính nh% b% ch¾n X.suTrưóc ta xét nh%Banach, phân mũ khơng haytutrưịng phân mũ khơng đeu cho dãy tốn