Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân

Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN LONG ĐỊNH LÍ ÁNH XẠ CO ĐA TRỊ VÀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA QUAN HỆ BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N◊I TRƯONG Đ�I HQC KHOA HQC Tlj NHIÊN NGUYEN VĂN LONG Đ�NH LÍ ÁNH X� CO ĐA TR� VÀ TON T�I NGHI�M CuA QUAN H� BIEN PHÂN Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã s6: 60 46 01 02 LU�N VĂN TH�C SY KHOA HQC NGƯOI HƯONG DAN KHOA HOC: PGS TS TA DUY PHƯQNG Hà N9i - Năm 2016 M c l c M đ u Ki�n thuc s 1.1 Kien thuc tơpơ giai tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian tôpô 1.2 Ánh xc; đa tri 11 1.2.1 Đinh nghĩa ánh xc; đa tri 11 1.2.2 Tính liên tl)c cua ánh xc; đa tri 15 1.3 C�n sai so cua mot hi; tuyen tính 16 1.3.1 C�n sai so .16 1.3.2 Giá tri riêng Pareto 17 Đinh lí đi�m b§t đ9ng cua ánh x vai moi x X đ�u có y X cho: (i) lim < vai moi t ≥ ) sup ϕ(s + s→t ∈ s→0 d(y, F (y)) ≤ φ(d(x, F (x)))d(x, y) ≤ ϕ(d(x, F (x)))d(x, y) ≤ d(x, F (x)) Khi tốn quan hi; bien phân có nghii;m Chung minh Ta chung minh ánh xc; đa tri F (x) = {z ∈ X : Az ≤ g(y), ∀y ∈ T (x)} có đi@m b§t đong Th�t v�y, z ∈ F (x) chi aiz ≤ gi(y), ∀y ∈ T (x) hay tương đương aiz ≤ bi(x), i = 1, 2, , k Lúc F (x) t6n tc;i nghii;m cua hi; Az ≤ b(x) Theo ket qua (1.13) ket qua (1.14) ta có h(F (x), F (y)) ≤ α1b(x) − b(y)1, ∀x, y ∈ X ⇒ h(F (x), F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X / Đi,t ψ(t) = φ(t) vai moi t > Khi theo Hi; qua 2.2.2 ta có ánh xc; đa tri F có đi@m b§t đong Tuc t6n tc;i x ∈ X cho x ∈ F (x) Do đó, theo Đinh lí 3.2.2 tốn quan hi; bien phân có nghii;m 3.5 Đinh lí (TiJn tr;i nghitm cua VRP) Gia sU F mot ánh xc; đa tri X vai giá tri không gian mot t�p đóng, khác rong cua X Gia sU d(x, F (x)) hàm nUa liên tl)c dưai X hàm φ, ϕ x ác đin h [0; +∞) cho ∀x ∈ X, x ∈/ φ(s F (x), tìm đưQc y thoa mãn < lim ϕ( n ) < vai t > t6n tc;i a > (i) lim ) sn→t s sup cho + ϕ(s sn→t+ (ii) d(x, y) ≥ d(x, F (x)) ϕ(d(x, y)) ≥ a; (iii) d(y, F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y) ≤ ϕ(d(x, y))d(x, y) ≤ d(x, F (x)) Khi tốn quan hi; bien phân có nghii;m Chung minh Tương tv chung minh Đinh lí 3.2, ta chung minh ánh xc; đa tri F (x) = {z ∈ X : Az ≤ g(y), ∀y ∈ T (x)}, có đi@m b§t đong Th�t v�y, z ∈ F (x) chi aiz ≤ gi(y), ∀y ∈ T (x) hay tương đương aiz ≤ bi(x), i = 1, 2, , k Lúc F (x) t6n tc;i nghii;m cua hi; Az ≤ b(x) Theo ket qua (1.13) ket qua (1.14) ta có h(F (x), F (y)) ≤ α1b(x) − b(y)1, ∀x, y ∈ X ⇒ h(F (x), F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X Đi,t ψ : [0; ∞) → [0; 1) đưQc xác đinh bai  ψ(t) =  neu φ(t) < ; 3 (3.8) /  φ(t) neu φ(t) ≥ Tu đinh nghĩa φ : [0; ∞) → [0; 1) ⇒ φ(t) < Tu đi�u kii;n (A2) ta có h(F (x), F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X Thu nh§t, ta có hàm d(x, F (x)) Lipschitz hàm nUa liên tl)c dưai Bai |d(x, F (x)) − d(y, F (y))| ≤ d(x, y) + h(F (x), F (y)) ≤ d(x, y) + d(x, y) = 2d(x, y) (3.9) Thu hai, vai moi s φ(s) ≥ có ≤ max{ ψ(s) ) đi�u kii;n (i) cua Đinh lí 2.2 (B) Thu ba, theo đinh nghĩa cua hàm ψ, ch9n a = suy đi�u kii;n (iii) Đinh lí 2.2 đưQc thoa mãn vai m9i x ∈ X, y ∈ Y Cuoi cùng, b§t đing thuc / , φ(s)} Tu ket qua (A d(y, F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y) ≤ ϕ(d(x, y))d(x, y) ≤ d(x, F (x)), vai y ∈ F (x) bai đi�u kii;n Lipschitz (A2) Vai b§t đing thuc thu hai, đu đ@ ta ch9n y ∈ F (x) cho αd(x, y) ≤ d(x, F (x)), α = max{ ; lim sup φ(s)} < s→d(x,F (x))+ Theo Hi; qua 2.1.1 ta có ánh xc; đa tri F có đi@m b§t đong Tuc t6n tc;i x ∈ X cho x ∈ F (x) Do đó, theo Đinh lí 3.2.2 tốn quan hi; bien phân có nghii;m KET LU�N Lu�n văn trình bày mot so v§n đ� sau: - Chương lu�n văn trình bày mot so kien thuc ban v� tơpơ giai tích hàm, khơng gian metric, khơng gian tơpơ; khái nii;m ánh xc; đa tri, phép tốn cua ánh xc; đa tri tính liên tl)c cua ánh xc; đa tri; c�n sai so cua mot hi; tuyen tính - Chương lu�n văn trình bày đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; co đa tri, đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; khơng nh§t thiet phai ánh xc; co trình bày ví dl) tìm đi@m b§t đong trưang hQp ánh xc; đa tri không phai ánh xc; co - Chương lu�n văn phát bi@u toán quan hi; bien phân (VRP), �u kii;n t6n tc;i nghii;m cua toán quan hi; bien phân đi,c bii;t lu �n văn trình bày thu�t tốn tìm nghii;m cua toán quan hi; bien phân, áp dl)ng thu�t toán vào giai mot so ví dl) Bài tốn quan hi; bien phân nhi�u ket qua phong phú nhi �u câu hoi ma chưa đưQc trình bày lu�n văn Ching hc;n nghiên cuu v � tính 6n đinh cua t�p nghii;m toán quan hi; bien phân; tính liên tl)c, liên thơng hay tính đóng cua t�p nghii;m cua toán quan hi; bien phân, Vì v�y, theo chúng tơi, tốn quan hi; bien phân mot đ� tài nhi�u đi�u thú vi có th@ khai thác, phát tri@n ma rong n-Ga Tài li�u tham khao [A] Tài li�u Ti�ng Vi�t [1] Hoàng Tl)y (2005), Hàm th1,c giai tích hàm, NXB Đc;i h9c Quoc gia Hà Noi [2] Nguyen Đơng n (2007), Giáo trình giai tích đa tri, NXB Khoa h9c Tv nhiên Công nghi; [B] Tài li�u Ti�ng Anh [3] Abdul Latif and Dinh The Luc (2013), Variational Relation Problems: Ex- istence of Solutions and Fixed Points of Contraction Mappings, Fixed Point Theory and Application 2013 315, - 10 [4] Abdul Latif and Dinh The Luc (2014), A General Fixed Points Theorem for Multivalued Mappings That Are Not Necessarily Contractions and Applica- tions, volume 2014, Article ID 104762, pages, Hindawi Publishing Copora- tion Abstract and Applied Analysis [5] Alan J Hoffman (1952), On Approximate Solution of Systems of Linear In- equalities, Volume 49, No.4, Journal of Research of the National Bureau of Standards [6] Anulekha Dhara and Dinh The Luc (2014), A solution method for linear vari- ational relation problems, Journal of Global Optimization, Volume 59, Issue 4, pp 729–756 [7] Bergthaller, C Singer, I (1992), The Distance to A Polyhedron, Linear Algebra Appl 169, 111 - 129 [8] Dinh The Luc (2008),An abstract problem in variational analysis, Journal of Optimization Theory and Application, 138, 65 – 76 [9] Jack T Markin (1968), A fixed point theorem for set valued mappings, Bull Am Math Soc 74, 475 - 488 [10] Noriko Mizoguchi and Wataru Takahashi (1989), Fixed Point Theorems for Multivanlued Mappings on Complete Metric Spaces, 141, 177 - 188 [11] Sam B Nadler, Jr (1969), Multivalued Contraction Mappings, Pacific Journal of Mathematics, 30, 475 - 488 [12] Seeger, A (1999), Eigenvalue Analysis of Equilibrium Processes Defined by Linear Complementarity Conditions, Linear Algebra Application, 292, - 14 [13] N A Assad and W A Kirk (1972), Fixed Point Theorems for SetValued Mappings of Contractive Type, Pacific Journal of Mathematics, Volume 43, No 3, 553 - 562 ... nghĩa ánh xc; co đa tri Chương trình bày đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; co đa tri cua Nadler [11], đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; co đa tri cua Mizoguchi Takahashi [10] mot đinh lí t6ng... Đinh lí đưQc chung minh 2.2 Đinh lí đi�m b§t đ9ng cua ánh x