Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN LONG ĐỊNH LÍ ÁNH XẠ CO ĐA TRỊ VÀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA QUAN HỆ BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN LONG ĐỊNH LÍ ÁNH XẠ CO ĐA TRỊ VÀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA QUAN HỆ BIẾN PHÂN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội - Năm 2016 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Kiến thức tôpô giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric 1.1.2 Không gian tôpô 1.2 Ánh xạ đa trị 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 1.2.2 Tính liên tục ánh xạ đa 1.3 Cận sai số hệ tuyến tính 1.3.1 Cận sai số 1.3.2 Giá trị riêng Pareto trị Định lí điểm bất động ánh xạ đa trị 2.1 Định lí điểm bất động ánh xạ co đa trị 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Định lí điểm bất động Nadler 2.1.3 Định lí điểm bất động Mizoguchi Takahashi 2.2 Định lí điểm bất động ánh xạ đa trị không thiết phải ánh xạ co 2.2.1 Hệ 2.2.2 Hệ 2.2.3 Ví dụ tìm điểm bất động ánh xạ đa trị khơng co Bài tốn quan hệ biến phân (VRP) 3.1 Bài toán quan hệ biến phân 3.2 Điều kiện tồn nghiệm toán VRP 3.3 Thuật tốn tìm nghiệm VRP 3.4 Định lí 3.5 Định lí KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 6 11 11 15 16 16 17 19 20 20 20 21 23 27 28 28 30 30 31 34 39 39 42 43 Mở đầu Nguyên lí ánh xạ co Banach kết quan trọng giải tích hàm Nguyên lí ánh xạ co Banach nhiều nhà toán học giới nghiên cứu tổng qt hóa lí thuyết ứng dụng, có mở rộng sang giải tích đa trị Các báo Markin [9] Nadler [11] kết nghiên cứu theo hướng mở rộng ánh xạ co cho ánh xạ đa trị, khoảng cách Hausdorff sử dụng để định nghĩa ánh xạ co đa trị Abdul Latif Đinh Thế Lục [4] mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị không thiết phải ánh xạ co tồn điểm bất động Năm 2008, Đinh Thế Lục đưa lớp toán mới, toán Quan hệ biến phân nhằm nghiên cứu mơ hình tổng qt, theo nghĩa số lớp toán quen thuộc toán cân bằng, toán tựa cân bằng, toán bao hàm thức biến phân, toán bao hàm thức tựa biến phân, tốn bất đẳng thức biến phân, nằm mơ hình tốn quan hệ biến phân Luận văn Định lí ánh xạ co đa trị tồn nghiệm quan hệ biến phân có mục đích trình bày mối quan hệ Định lí ánh xạ co đa trị tồn nghiệm quan hệ biến phân Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn chia thành chương Chương Kiến thức sở Chương giới thiệu sở lý thuyết cho chương sau, nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, trình bày số khái niệm tính chất ánh xạ đa trị; tính liên tục ánh xạ đa trị, cận sai số hệ bất phương trình tuyến tính Chương Định lí điểm bất động ánh xạ đa trị Mục đích chương trình bày định lí điểm bất động ánh xạ co đa trị Nadler Jr [11], mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho ánh xạ đa trị; định lí điểm bất động Noriko Mizoguchi Wataru Takahashi [10]; định lí điểm bất động ánh xạ đa trị không thiết phải ánh xạ co Abdul Latif Đinh Thế Lục [4] Chương Bài toán quan hệ biến phân (VRP) Chương luận văn trình bày toán quan hệ biến phân, điều kiện tồn nghiệm toán quan hệ biến phân thuật toán tìm nghiệm tốn quan hệ biến phân tuyến tính; định lí tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân trường hợp ánh xạ đa trị ánh xạ co Luận văn Định lí ánh xạ co đa trị tồn nghiệm quan hệ biến phân trình bày cách có hệ thống (với số chứng minh giải thích cụ thể chi tiết) điều kiện tồn nghiệm thuật tốn tìm điểm bất động toán quan hệ biến phân Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy dành thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, tơi xin gửi tới q thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm Hà Tây (nơi tơi cơng tác), đồng chí đồng nghiệp công tác giảng dạy Trường Cao đẳng Sư phạm Hà Tây, thời gian qua động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ giao Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Văn Long Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Các kết trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Văn Long Chương Kiến thức sở Chương trình bày số kiến thức giải tích hàm khái niệm khơng gian metric, khơng gian tơpơ, ngun lí ánh xạ co Banach, khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục ánh xạ đa trị, định lí ánh xạ co đa trị, số kiến thức cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau 1.1 1.1.1 Kiến thức tơpơ giải tích hàm Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R gọi metric X tiên đề sau thỏa mãn: 1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất); 2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng); 3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác) Tập X với metric d trang bị X gọi không gian metric, kí hiệu (X, d) hay thường viết X Các phần tử X gọi điểm, số d(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y X Hệ tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian metric, điểm x ∈ X A ⊂ X Khoảng cách từ điểm x đến tập A xác định d(x, A) = inf d(x, a) a∈A Định nghĩa 1.1.3 (Khoảng cách Hausdorff) Cho X, Y hai không gian metric A, B tập X, Y Khoảng cách Hausdorff từ tập A đến tập B xác định h(A, B) = max {sup inf d(a, b), sup inf d(a, b)}, a∈Ab∈B hay b∈B a∈A h(A, B) = max {supd(a, B), supd(b, A)} a∈A b∈B Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian metric X Một dãy {xn } gọi dãy (∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) d (xn , xm ) < ε Định nghĩa 1.1.5 Dãy số {xn } không gian metric X gọi có giới hạn hội tụ tồn số thực x cho ∀ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , d(xn − x) < Số x gọi giới hạn dãy {xn } kí hiệu x = lim xn hay viết gọn x = lim xn , n→∞ xn → x n → ∞ Nhận xét 1.1.1 Một dãy hội tụ dãy Thật vậy, xn → x, n → ∞ ta có d(xn , x) → n → ∞ d(xm , x) → m → ∞ Khi đó, theo tiên đề tam giác ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm ) → 0, (khi m, n → ∞) Suy d(xn , xm ) → (khi m, n → ∞) Do dãy {xn } dãy Nhưng ngược lại, dãy không gian metric không thiết hội tụ Chẳng hạn, xét khoảng (0; 1) không gian metric với d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ (0, 1) dãy , n = 1, 2, · · · dãy n , n = 1, 2, · · · không hội tụ không gian dãy n n →0∈ / (0; 1), Định nghĩa 1.1.6 Khơng gian metric X dãy hội tụ (tới phần tử X ) gọi không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.1.7 Ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ Lipschitz ∃k > : d (f (x), f (y)) ≤ k.d(x, y), ∀x, y ∈ X Nếu k = f gọi ánh xạ khơng giãn Nếu < k < f gọi ánh xạ co Định lí 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Mọi ánh xạ co f từ khơng gian metric đủ (X, d) vào có điểm bất động x¯ nhất, nghĩa tồn x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức f (¯ x) = x¯ Chứng minh Lấy điểm x0 ∈ X Xây dựng dãy lặp xn = f (xn−1 ), n = 1, 2, · · · Theo định nghĩa ánh xạ co ta có: d(xn , xn+1 ) = d(f (xn−1 ), f (xn )) ≤ r.d(xn−1 , xn ), d(xn−1 , xn ) ≤ r.d(xn−2 , xn−1 ), ········· d(x1 , x2 ) ≤ r.d(x0 , x1 ) Từ suy với n ta có: d(xn , xn+1 ) ≤ r.d(xn−1 , xn ) ≤ r2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ · · · ≤ rn d(x0 , x1 ) Vậy m > n, ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + d(xn+2 , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + d(xn+2 , xn+3 ) + · · · + d(xm−1 , xm ) ≤ (rn + rn+1 + rn+2 + · · · + rm−1 )d(x0 , x1 ) ≤ rn (1 + r + r2 + · · · + rm−n−1 )d(x0 , x1 ) = rn − rm−n d(x0 , x1 ) 1−r ⇒ d(xn , xm ) ≤ r n1 − r m−n 1−r d(x0 , x1 ) Vì r ∈ (0; 1) nên rõ ràng d(xn , xm ) → m, n → ∞, tức dãy {xn } dãy X X khơng gian metric đủ nên xn phải dần tới giới hạn x Ta có xn = f (xn−1 ) mà sxn → x, f (xn ) → f (x) d(f (xn−1 ), f (xn )) ≤ rd(xn−1 , x) → Vậy f (x) = x, nghĩa x điểm bất động f Ta chứng minh điểm bất động x Thật vậy, giả sử y điểm bất động f , tức f (y) = y Khi d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ rd(x, y) ⇒ d(x, y) ≤ rd(x, y), r ∈ (0; 1) Điều xảy d(x, y) = ⇒ x = y 1.1.2 Không gian tôpô Định nghĩa 1.1.8 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ tập X gọi tơpơ X thỏa mãn tính chất sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ ; (iii) Hợp số tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Khi cặp (X, τ ) gọi khơng gian tơpơ Chương Bài tốn quan hệ biến phân (VRP) 3.1 Bài toán quan hệ biến phân Phát biểu toán quan hệ biến phân Bài toán quan hệ biến phân phát biểu lần năm 2008 báo Đinh Thế Lục [8], kể từ tốn quan hệ biến phân nghiên cứu nhiều báo khác nhau, có tốn tối ưu, tốn bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, Trong thời gian gần đây, phương pháp số tác giả Anulekha Dhara Đinh Thế Lục [6] phát triển để giải toán quan hệ biến phân với liệu tuyến tính Dưới trình bày dạng đơn giản toán quan hệ biến phân Cho X Y hai tập hợp khác rỗng, S : X ⇒ X, T : X ⇒ Y ánh xạ đa trị, R(x, y) quan hệ liên kết x ∈ X y ∈ Y Về mặt lí thuyết, quan hệ R tập tích đề X × Y , tức R ⊂ X × Y cho R(x, y) điểm (x, y) thuộc vào tập hợp Bài tốn tìm x ∈ X cho (1) x điểm bất động S , tức x ∈ S(x), (2) R(x, y) với y ∈ T (x) gọi tốn quan hệ biến phân (kí hiệu VRP) Trong thực hành tính tốn, quan hệ R thường cho đẳng thức hay bất đẳng thức hàm thực hệ bao hàm hay giao tập ảnh ánh xạ đa trị X × Y Chẳng hạn cho hàm giá trị thực φ X × Y Một quan hệ biến phân định nghĩa đẳng thức hay bất dẳng thức đây: φ(x, y) = 0; φ(x, y) = 0; φ(x, y) > 0; φ(x, y) ≥ Khi hai ánh xạ đa trị G1 G2 cho X × Y với giá trị tập Z = ∅, quan hệ biến phân định nghĩa quan hệ 30 đây: G1 (x, y) ⊆ G2 (x, y), G1 (x, y) G2 (x, y), G1 (x, y) ∩ G2 (x, y) = ∅, G1 (x, y) ∩ G2 (x, y) = ∅ Các điều kiện thiết lập tồn nghiệm toán quan hệ biến phân sử dụng định lí tương giao hay định lí điểm bất động bao hàm tính chất KKM ánh xạ đa trị Trong luận văn này, xem điều kiện định lí điểm bất động ánh xạ co Mizoguchi Takahashi [10] thỏa mãn luận văn trình bày cách sử dụng thuật tốn để tính nghiệm tốn quan hệ biến phân Trên thực tế nghiên cứu dạng riêng toán VRP, quan hệ R tuyến tính phụ thuộc vào biến x Giả sử: (1) X Y tập hợp đóng khác rỗng khơng gian Rn Rm theo thứ tự (2) S(x) = X, ∀x ∈ X (3) R(x, y) Ax − g(y) ≤ với A ma trận cấp k × n, g hàm véctơ từ Y đến Rk Như vậy, toán phát biểu sau: Tìm véctơ x ∈ X cho Ax ≤ g(y), ∀y ∈ T (x) Nếu định nghĩa ánh xạ đa trị: F : X ⇒ Y xác định bởi: F (x) = {z ∈ X : Az ≤ g(y), ∀y ∈ T (x)}, tốn VRP tương đương với tốn điểm bất động tìm x ∈ X cho x ∈ F (x) Như vậy, từ toán điểm bất động ánh xạ đa trị cách tìm điểm bất động ánh xạ đa trị, có kết tương tự cho tốn quan hệ biến phân (VRP) để thiết lập điều kiện tồn nghiệm cách giải nghiệm toán quan hệ biến phân 3.2 Điều kiện tồn nghiệm toán VRP Trong phần thiết lập số điều kiện đủ để tồn nghiệm toán quan hệ biến phân giới thiệu phần 3.1.1 Định lí điểm bất động Mizoguchi Takahashi với cận sai số phần 3.2 cơng cụ để thiết lập điều kiện tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Cho hàm thực u(x), x ∈ X , định nghĩa hàm giá trị (còn gọi hàm biên) u xác định β(x) = inf u(z), z ∈ T (x) 31 Bổ đề 3.2.1 Giả sử ∀x ∈ X , hàm giá trị β(x) hữu hạn có hàm φ, ψ : [0; +∞) → (0; +∞) với ψ hàm không tăng cho h(T (x), T (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y), (3.1) | u(x) − u(y) |≤ ψ(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X (3.2) | β(x) − β(y) |≤ φ(d(x, y))ψ((d(x, y))φ(d(x, y))d(x, y) Chứng minh Lấy x, y ∈ X cho trước, ∀ > chọn z ∈ T (x) cho β(x) > u(x) − Ta chọn w ∈ T (y) cho d(z, w) ≤ h(T (x), T (y)) (3.3) Từ (3.2) ta có | β(x) − β(y) |≤ u(w) − u(z) + ≤ ψ(d(w, z))d(w, z) + Kết hợp kết với (3.1) (3.3) suy β(x) − β(y) ≤ ψ(h(T (x), T (y)))h(T (x), T (y)) + ≤ ψ((d(x, y)φ(d(x, y)))φ(d(x, y))d(x, y) + Thay đổi vai trò x y bất đẳng thức Chúng ta thu được chọn | β(x) − β(y) |≤ φ(d(x, y))ψ((d(x, y)φ(d(x, y)))d(x, y) Đây điều phải chứng minh Dưới đây, giả sử ∀x ∈ X , giá trị bi (x) = inf gi (z), i = 1, 2, , k z∈T (x) hữu hạn hệ Az ≤ b(x), z ∈ X có nghiệm Véctơ hợp thành từ véctơ bi (x), i = 1, 2, , k kí hiệu b(x) Định lí 3.2.2 Giả sử có hàm φ, ψi : [0; ∞) → [0; ∞), i = 1, 2, , k với ψi hàm khơng tăng thỏa mãn tính chất đây: (i) h(T (x), T (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y), với x, y ∈ X ; (ii) | gi (x) − gi (y) |≤ ψi (d(x, y)).d(x, y), với x, y ∈ X, i = 1, 2, , k ; k ψi (sφ(s))2 < (iii) lim sups→t+ φ(s) i=1 , α ∀t > Khi tốn quan hệ biến phân có nghiệm Chứng minh Ta chứng minh ánh xạ đa trị F (x) = {z ∈ X : Az ≤ g(y), ∀y ∈ T (x)} có điểm bất 32 động Thật vậy, z ∈ F (x) z ≤ gi (y), ∀y ∈ T (x) hay tương đương z ≤ bi (x), i = 1, 2, , k Lúc F (x) tồn nghiệm hệ Az ≤ b(x) Theo (1.13) ta có h(F (x), F (y)) ≤ α b(x) − b(y) , ∀x, y ∈ X Áp dụng Bổ đề 3.2.1 thu được: k k h(F (x), F (y)) ≤ α ψi (d(x, y).φ(d(x, y)))2 d(x, y) | bi (x) − bi (y) | ≤ αφ(d(x, y)) i=1 i=1 k ψi (tφ(t))2 , t ≥ Khi giả thiết định lí Xét hàm thực γ(t) = αφ(t) i=1 Mizoguchi Takahashi thỏa mãn ánh xạ đa trị F Do đó, theo định lí Mizoguchi Takahashi, tồn điểm bất động ánh xạ F Tức tốn VRP có nghiệm Nhận xét 3.2.1 Khi ánh xạ T hàm g ánh xạ Lipschitz, suy hệ sau Hệ 3.2.1 Giả sử T k − Lipschitz g1 , g2 , , gk l − Lipschitz với kl < √ Khi α k tốn quan hệ biến phân có nghiệm Chứng minh Đặt φ(t) = k ψi (t) = l, i = 1, 2, , k t ∈ [0; ∞) sử dụng định lí 3.1 Chúng ta xét trường hợp hàm g cộng tuyến, tức g(y) = Cy + c, C ma trận cấp k × m, c k véctơ đồ thị T đa diện lồi, tức y ∈ T (x) x, y nghiệm hệ phương trình tuyến tính P y ≤ Qx + q , P ma trận cấp k × m, Q ma trận cấp k × n, q k vecto Bài tốn VRP với liệu tuyến tính gọi toán quan hệ biến phân tuyến tính nghiên cứu báo Anulekha Dhara Đinh Thế Lục [6] Chúng ta biết tốn quan hệ biến phân khơng có nghiệm (xem ví dụ 3.1) Ta sử dụng định lí 3.2.2 để suy điều kiện tồn nghiệm mơ hình tuyến tính Các dịng ma trận C kí hiệu C , C , , C k , thành phần véctơ c kí hiệu c1 , c2 , , ck Cận sai số tốt hệ P z ≤ Qx + q kí hiệu α Hệ 3.2.2 Giả sử cận sai số α α , ma trận Q C toán quan hệ biến phân tuyến tính thỏa mãn αα Q C + · · · + C k < Khi VRP có nghiệm Chứng minh 33 Với x, y ∈ X áp dụng cơng thức (1.13), ta có | gi (x) − gi (y) |=| C i x + ci − (C i y + ci ) ≤ C i h(T (x), T (y)) ≤ α Qx + q − (Qy + q) ≤ α d(x, y), Q d(x, y) Khi đó, từ Bổ đề 3.2.1 suy | bi (x) − bi (y) |≤ α Ci Q d(x, y), i = 1, 2, · · · , k Áp dụng Định lí 3.2.2 suy tốn quan hệ biến phân có nghiệm 3.3 Thuật tốn tìm nghiệm VRP Trong phần xem xét tốn quan hệ biến phân tuyến tính đề cập phần trước Cụ thể, để tìm x ∈ Rn cho Ax ≤ Cy + c với nghiệm y hệ P y ≤ Qx + q Như nói phần trước, tốn khơng có nghiệm Dưới ví dụ minh họa Ví dụ 3.1 Chúng ta xem xét tốn quan hệ biến phân tuyến tính với x ∈ [0; 2] y ∈ R Quan hệ R định nghĩa hệ   −1   −1   −1       −1 x ≤   y +   ⇒    −x ≤ −y −   −x ≤    x ≤  0 ≤ x ≤ ⇒ y ≤ x − 34 T định nghĩa hệ     −1         0 x ≤   y + 0 ⇒    ≤ −y +   0≤y+0    x ≤ +  0 ≤ y ≤ ⇒ x ≤ Với x ∈ [0; 2], y ∈ T (x) ≤ y ≤ Với y = quan hệ R(x, y) không đúng, điều có nghĩa tốn quan hệ biến phân khơng có nghiệm Trường hợp tốn quan hệ biến phân có nghiệm thuật tốn sau giúp giải nghiệm toán quan hệ biến phân Thuật tốn Bước 1: Chọn x0 ∈ X , số > 0, nhỏ tùy ý Đặt r = Bước 2: Cho i = 1, 2, ·, k cực tiểu hóa C i y + ci theo hệ P y ≤ Qxr + q, y ∈ Y Giả sử br véctơ mà thành phần giá trị tối ưu tốn Bước 3: Giải cực tiểu hóa xr − z theo hệ Az ≤ br , x ∈ X Giả sử z nghiệm tối ưu toán Bước 4: Kiểm tra xr − z ≤ Nếu kết thúc thuật tốn Khi đó, nghiệm tối ưu z xem nghiệm tốn quan hệ biến phân Nếu khơng đặt r = r + 1, xr = z quay trở lại bước Mệnh đề Giả sử giả thiết Hệ Khi cho > thuật tốn kết thúc sau số hữu hạn bước lặp Nếu bước lặp có giá trị tối ưu tốn Bước xr nghiệm toán quan hệ biến phân Nếu không, với → dãy xr nhận Bước hội tụ tới nghiệm toán quan hệ biến phân Chứng minh Giả sử xr+1 ∈ F (xr ) Nếu với r, giá trị tối ưu tốn bước xr ∈ F (xr ) điều có nghĩa xr điểm bất động F nghiệm tốn quan hệ biến phân Hơn nữa, từ giả thiết hệ 3.2, ánh xạ F ánh xạ co, dãy {xr }∞ r=0 hội tụ tới điểm bất động F , nghiệm toán quan hệ biến phân Bằng bước thuật toán, sau số hữu hạn bước số dương thực Sau thực ví dụ áp dụng thuật tốn, ví dụ lấy từ [6] tính tốn chi tiết Trong ví dụ đầu tiên, sau hai bước thuật tốn 35 thu xác nghiệm tốn Cịn ví dụ 2, thu nghiệm gần toán Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3.2 Xét tốn quan hệ biến phân tuyến tính với liệu sau: X = [0; 2], Y = R2       −1 −1 −1  4      A = −1 , C =   0 , c =       1 2       −1  1 −1      P = 2 ,Q =    q = 2   0   −1  0 −1   Vòng lặp thứ 1: Chúng ta bắt đầu thuật toán với x0 = Tập hợp phương án toán Bước cho hệ P y ≤ q hay tương đương với hệ:     1 2   −1    2    −1  y1 y2 1    ≤ 2 0 −1 ⇒  1  y1 + y2 ≤    2    y1 − y2 ≤ 2   −y1 ≤      −y2 ≤ ⇒    y1 + y2 ≤     y1 − y2 ≤   y1 ≥      y2 ≥ ⇒  y1 = y2 = Bước 2: Ta xác định hàm cực tiểu hóa hàm Cy + c, y ∈ R2 Xét       −y1 + y2 −1 −1 −1   4    y +   =   Cy + c =  0     36 −y + y Do ba hàm để cực tiểu hóa theo thứ tự − 1; 0; 2, với b0 = (−1; 0; 2)T Trong bước tiếp theo, cực tiểu hóa |z| tập Az ≤ b0 , z ∈ X cụ thể sau, với z ∈ [0; 2] Xét        −z ≤ −1  −1 −1      ⇒1≤z≤2 Az ≤ b0 ⇒ −1 z ≤   ⇒ −z ≤    z ≤ 2 Do đó, cực tiểu hóa |z| đoạn [1; 2] ta nghiệm tối ưu z = Như vậy, x0 = z , khơng phải nghiệm tốn quan hệ biến phân Vòng lặp thứ 2: Chúng ta đặt x1 = z = quay trở lại bước để giải ba hàm đề cập đến phần tập P y ≤ Qx1 + q Cũng giống nghiệm tối ưu nhận b1 = (−1; 0; 2)T Trong bước 3, cực tiểu hóa |1 − z| tập Az ≤ b1 , z ∈ X nhận nghiệm tối ưu z = Từ x1 = z , thuật toán kết thúc x1 = nghiệm tốn quan hệ biến phân Ví dụ 3.3 Chúng ta xét toán quan hệ biến phân với liệu X, Y, A, P, Q q cho ví dụ 3.2 với     4 C= 0 −7 −11  16      ,c =   Vòng lặp thứ 1: Chúng ta bắt đầu thuật toán với x0 = Tập hợp phương án toán Bước cho hệ P y ≤ q hay tương đương với hệ 1 2   −1    2    −1      y1 y2 1    ≤ 2 0 −1 37 ⇒  1  y1 + y2 ≤   2    1 1 y1 − y2 ≤ 2    −y1 ≤ (3.4)   −y ≤    y1 + y2 ≤     y1 − y2 ≤ ⇒ (3.5)   y1 ≥      y2 ≥ ⇒  y1 = (3.6) y2 = Ta xác định hàm cực tiểu hóa hàm Cy + c, y ∈ R2      −7 −11 y −  16        y +   =  4 Cy + c =  0 0  Do ba hàm để cực tiểu hóa theo thứ tự b0 = ( 11 y2 − 16    −11 ; 0; 2)T 16 11 y1 − y2 − ; 0; 2, với 16 Trong bước tiếp theo, cực tiểu hóa |z| tập Az ≤ b0 , z ∈ X tương đương với hệ −11 −1  16     Az ≤ b0 ⇒ −1 z ≤     ⇒   −11   −z ≤   16 ⇒ −z ≤    z ≤ Do cực tiểu hóa |z| tập   11 ≤z≤2 16 (3.7) 11 11 ≤ z ≤ ta nghiệm tối ưu z = 16 16 Như x0 = z , x0 nghiệm tốn quan hệ biến phân 11 Vịng lặp thứ 2: Đặt x1 = z = quay trở lại bước để giải tốn mà có 16 thể thực từ hệ P y ≤ Qx1 + q cho −109 11 Chúng ta nhận b1 = ( ; 0; 2)T Trong bước 3, cực tiểu hóa | −z| 128 16 38 tập Az ≤ b1 , z ∈ X nhận nghiệm tối ưu z = 109 Từ x1 = z , điểm x1 128 nghiệm toán quan hệ biến phân Nếu chọn 109 = 0, dừng xét x2 = nghiệm gần 128 toán quan hệ biến phân |x1 − x2 | < 11 109 88 109 21 − |=| − |= = 0.164 < 0.2 16 128 126 126 128 Nếu không tiếp tục với x2 để bắt đầu lại thuật toán, tạo dãy Thật vậy, |x1 − x2 | = | {xr }∞ r=0 hội tụ tới x = nghiệm toán quan hệ biến phân 3.4 Định lí (Sự tồn nghiệm VRP trường hợp ánh xạ đa trị F ánh xạ co) Giả sử F ánh xạ đa trị X với giá trị khơng gian tập đóng, khác rỗng X Giả sử d(x, F (x)) hàm nửa liên tục X hàm φ, ϕ xác định [0; +∞) thỏa mãn φ(s) < với t ≥ ϕ(s) s→t+ (ii) lim inf ϕ(s) > với x ∈ X có y ∈ X cho: (i) lim sup s→0 d(y, F (y)) ≤ φ(d(x, F (x)))d(x, y) ≤ ϕ(d(x, F (x)))d(x, y) ≤ d(x, F (x)) Khi tốn quan hệ biến phân có nghiệm Chứng minh Ta chứng minh ánh xạ đa trị F (x) = {z ∈ X : Az ≤ g(y), ∀y ∈ T (x)} có điểm bất động Thật vậy, z ∈ F (x) z ≤ gi (y), ∀y ∈ T (x) hay tương đương z ≤ bi (x), i = 1, 2, , k Lúc F (x) tồn nghiệm hệ Az ≤ b(x) Theo kết (1.13) kết (1.14) ta có h(F (x), F (y)) ≤ α b(x) − b(y) , ∀x, y ∈ X ⇒ h(F (x), F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X Đặt ψ(t) = φ(t) với t > Khi theo Hệ 2.2.2 ta có ánh xạ đa trị F có điểm bất động Tức tồn x ∈ X cho x ∈ F (x) Do đó, theo Định lí 3.2.2 tốn quan hệ biến phân có nghiệm 3.5 Định lí (Tồn nghiệm VRP) Giả sử F ánh xạ đa trị X với giá trị không gian tập 39 đóng, khác rỗng X Giả sử d(x, F (x)) hàm nửa liên tục X hàm φ, ϕ xác định [0; +∞) cho φ(s) < lim ϕ(sn ) < với t > tồn a > cho ϕ(s) sn →t+ sn →t+ ∀x ∈ X, x ∈ / F (x), tìm y thỏa mãn (i) lim sup (ii) d(x, y) ≥ d(x, F (x)) ϕ(d(x, y)) ≥ a; (iii) d(y, F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y) ≤ ϕ(d(x, y))d(x, y) ≤ d(x, F (x)) Khi tốn quan hệ biến phân có nghiệm Chứng minh Tương tự chứng minh Định lí 3.2, ta chứng minh ánh xạ đa trị F (x) = {z ∈ X : Az ≤ g(y), ∀y ∈ T (x)}, có điểm bất động Thật vậy, z ∈ F (x) z ≤ gi (y), ∀y ∈ T (x) hay tương đương z ≤ bi (x), i = 1, 2, , k Lúc F (x) tồn nghiệm hệ Az ≤ b(x) Theo kết (1.13) kết (1.14) ta có h(F (x), F (y)) ≤ α b(x) − b(y) , ∀x, y ∈ X ⇒ h(F (x), F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X Đặt ψ : [0; ∞) → [0; 1) xác định  1 φ(t) < ; ψ(t) =  φ(t) φ(t) ≥ (3.8) Từ định nghĩa φ : [0; ∞) → [0; 1) ⇒ φ(t) < Từ điều kiện (A2 ) ta có h(F (x), F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X Thứ nhất, ta có hàm d(x, F (x)) Lipschitz hàm nửa liên tục Bởi |d(x, F (x)) − d(y, F (y))| ≤ d(x, y) + h(F (x), F (y)) ≤ d(x, y) + d(x, y) = 2d(x, y) (3.9) Thứ hai, với s ≥ có φ(s) ≤ max{ , ψ(s) φ(s)} Từ kết (A1 ) điều kiện (i) Định lí 2.2 (B) Thứ ba, theo định nghĩa hàm ψ , chọn a = suy điều kiện (iii) Định lí 2.2 thỏa mãn với x ∈ X, y ∈ Y Cuối cùng, bất đẳng thức d(y, F (y)) ≤ φ(d(x, y))d(x, y) ≤ ϕ(d(x, y))d(x, y) ≤ d(x, F (x)), 40 với y ∈ F (x) điều kiện Lipschitz (A2 ) Với bất đẳng thức thứ hai, đủ để ta chọn y ∈ F (x) cho αd(x, y) ≤ d(x, F (x)), α = max{ ; lim sup φ(s)} < s→d(x,F (x))+ Theo Hệ 2.1.1 ta có ánh xạ đa trị F có điểm bất động Tức tồn x ∈ X cho x ∈ F (x) Do đó, theo Định lí 3.2.2 tốn quan hệ biến phân có nghiệm 41 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Chương luận văn trình bày số kiến thức tơpơ giải tích hàm, không gian metric, không gian tôpô; khái niệm ánh xạ đa trị, phép toán ánh xạ đa trị tính liên tục ánh xạ đa trị; cận sai số hệ tuyến tính - Chương luận văn trình bày định lí điểm bất động ánh xạ co đa trị, định lí điểm bất động ánh xạ không thiết phải ánh xạ co trình bày ví dụ tìm điểm bất động trường hợp ánh xạ đa trị ánh xạ co - Chương luận văn phát biểu toán quan hệ biến phân (VRP), điều kiện tồn nghiệm toán quan hệ biến phân đặc biệt luận văn trình bày thuật tốn tìm nghiệm tốn quan hệ biến phân, áp dụng thuật tốn vào giải số ví dụ Bài tốn quan hệ biến phân cịn nhiều kết phong phú nhiều câu hỏi mở chưa trình bày luận văn Chẳng hạn nghiên cứu tính ổn định tập nghiệm tốn quan hệ biến phân; tính liên tục, liên thơng hay tính đóng tập nghiệm tốn quan hệ biến phân, Vì vậy, theo chúng tơi, tốn quan hệ biến phân đề tài nhiều điều thú vị khai thác, phát triển mở rộng 42 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [B] Tài liệu Tiếng Anh [3] Abdul Latif and Dinh The Luc (2013), Variational Relation Problems: Existence of Solutions and Fixed Points of Contraction Mappings, Fixed Point Theory and Application 2013 315, - 10 [4] Abdul Latif and Dinh The Luc (2014), A General Fixed Points Theorem for Multivalued Mappings That Are Not Necessarily Contractions and Applications, volume 2014, Article ID 104762, pages, Hindawi Publishing Coporation Abstract and Applied Analysis [5] Alan J Hoffman (1952), On Approximate Solution of Systems of Linear Inequalities, Volume 49, No.4, Journal of Research of the National Bureau of Standards [6] Anulekha Dhara and Dinh The Luc (2014), A solution method for linear variational relation problems, Journal of Global Optimization, Volume 59, Issue 4, pp 729–756 [7] Bergthaller, C Singer, I (1992), The Distance to A Polyhedron, Linear Algebra Appl 169, 111 - 129 [8] Dinh The Luc (2008),An abstract problem in variational analysis, Journal of Optimization Theory and Application, 138, 65 – 76 [9] Jack T Markin (1968), A fixed point theorem for set valued mappings, Bull Am Math Soc 74, 475 - 488 43 [10] Noriko Mizoguchi and Wataru Takahashi (1989), Fixed Point Theorems for Multivanlued Mappings on Complete Metric Spaces, 141, 177 - 188 [11] Sam B Nadler, Jr (1969), Multivalued Contraction Mappings, Pacific Journal of Mathematics, 30, 475 - 488 [12] Seeger, A (1999), Eigenvalue Analysis of Equilibrium Processes Defined by Linear Complementarity Conditions, Linear Algebra Application, 292, - 14 [13] N A Assad and W A Kirk (1972), Fixed Point Theorems for Set-Valued Mappings of Contractive Type, Pacific Journal of Mathematics, Volume 43, No 3, 553 - 562 44 ... thức biến phân, nằm mơ hình tốn quan hệ biến phân Luận văn Định lí ánh xạ co đa trị tồn nghiệm quan hệ biến phân có mục đích trình bày mối quan hệ Định lí ánh xạ co đa trị tồn nghiệm quan hệ biến. .. tính; định lí tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân trường hợp ánh xạ đa trị ánh xạ co Luận văn Định lí ánh xạ co đa trị tồn nghiệm quan hệ biến phân trình bày cách có hệ thống (với số chứng minh giải... để định nghĩa ánh xạ co đa trị Chương trình bày định lí điểm bất động ánh xạ co đa trị Nadler [11], định lí điểm bất động ánh xạ co đa trị Mizoguchi Takahashi [10] định lí tổng quát định lí điểm