Luận văn thạc sĩ tính vững của các hệ vi phân tuyến tính nhị phân mũ không đều

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Bùi Th% Vân TÍNH VUNG CUA CÁC Hfi VI PHÂN TUYEN TÍNH NH± PHÂN MŨ KHƠNG ĐEU LUẳN VN THAC S KHOA HOC H Nđi 2012 AI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Bùi Th% Vân TÍNH VUNG CUA CÁC Hfi VI PHÂN TUYEN TÍNH NH± PHÂN MŨ KHƠNG ĐEU Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60 46 01 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Lê Huy Tien Mnc lnc Lài cam ơn Lài ma đau 1Nh% phân mũ đeu nh% phân mũ không đeu 1.1Khái ni¾m nh% phân mũ đeu 1.2Khái ni¾m nh% phân mũ khơng đeu 1.3Quan h¾ giua nh% phân mũ đeu nh% phân mũ 1.4Tính vung cna nh% phân mũ không đeu Tính vEng cua nh% phân mũ đeu 2.1 Mđt so b e ky thuắt 2.2 Tính vung cna nh% phân mũ đeu nua truc dương 11 2.3 Tính vung cna nh% phân mũ đeu toàn truc 16 3Tính vEng cua nh% phân mũ khơng đeu 3.1Tính vung cna nh% phân mũ không đeu nua truc dương 3.1.1Các đ%nh lý 3.1.2Cau trúc cna nghi¾m b% ch¾n 3.1.3Phép chieu tính bat bien cna tốn tu tien hóa 3.1.4Đ¾c trưng cna nghi¾m b% ch¾n 3.1.5Các ưóc lưong bő sung 3.1.6Ưóc lưong chuan cho tốn tu tien hóa 3.1.7Chúng minh đ%nh lý 3.2Tính vung cna nh% phân mũ khơng đeu tồn truc 17 17 17 19 22 23 25 27 29 32 32 đeu nua truc âm 3.2.1Tính vung cna nh% phân mũ khơng 35 đeu tồn truc 3.2.2Tính vung cna nh% phân mũ khơng Ket lu¼n 42 Tài li¼u tham khao 43 LèI Me ĐAU M®t nhung tính chat quan TRQNG cna nh% phân mũ tính vung Tính vung nghĩa khơng b% thay đői boi nhieu cna ma trắn hắ so Nđi dung chớnh cna luắn văn nghiên cúu ve tính vung cna nh% phân mũ khơng đeu Nh% phân mũ khơng đeu trưịng hop suy r®ng rat manh cna nh% phân mũ đeu Gan đây, tù năm 2005 Luis Barreira Claudia Valls nghiờn cỳu mđt cỏch hắ thong khỏi niắm nh% phõn mũ khơng đeu (xem [5] [10]) Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương Nh% phân mũ đeu nh% phân mũ không đeu Chương se nêu đ%nh nghĩa cna nh% phân mũ đeu, nh% phân mũ khơng đeu, moi quan h¾ giua chúng đ%nh nghĩa ve tính vung cna nh% phân mũ đeu nh% phân mũ khơng đeu Chương Tính vEng cua nh% phân mũ đeu Chương trình bày tính vung cna nh% phân mũ đeu nua truc dương tính vung cna nh% phân mũ đeu tồn truc so R Chương Tính vEng cua nh% phân mũ khụng eu õy l nđi dung chớnh cna luắn Trong chương trình bày tính vung cna nh% phân mũ không đeu tùng nua khoang vô han tính vung tồn truc so R thơng qua vi¾c chúng minh chi tiet đ%nh lý ve tính vung cna nh% phân mũ khơng đeu Hà N®i, ngày 30 tháng 04 năm 2012 Chương Nh% phân mũ đeu nh% phân mũ khơng đeu 1.1 Khái ni¾m nh% phân mũ đeu Trong khơng gian Rn, xét m®t ánh xa liên tuc t → A(t) cho A(t) tốn tu tuyen tính b% ch¾n Rn vói moi t ≥ phương trình xJ = A(t)x (1.1) GQI X(t) ma tr¾n ban cna (1.1), túc nghi¾m cna (1.1) thoa mãn x(t) = X(t)x(0) GQI X(t, s) = X(t)X −1 (s) ma tr¾n tien hóa cna (1.1) Khi đó: Đ%nh nghĩa 1.1 Phương trình (1.1) đưoc GQI có nh% phân mũ đeu neu ton tai phép chieu P hang so K, α ≥ cho: i) ||X(t, s)P (s)|| ≤ Ke−α(t−s) vói t ≥ s, ii) ||X(s, t)Q(t)|| ≤ Ke−α(t−s) vói s ≥ t Trong đó, Q = Id − P phép chieu bù cna phép chieu P Đ%nh nghĩa tương đương vói M¾nh đe sau M¼nh đe 1.2 Phương trình (1.1) có nh% phân mũ đeu chs Rn = S⊕U ton tai K, α > cho: i) ||X(t)X −1 (s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| vái t ≥ s, x ∈ S, ii) ||X(t)X −1 (s)y|| ≤ Ke−α(s−t) ||y|| vái s ≥ t, y ∈ U M¼nh đe 1.3 Phương trình (1.1) có nh% phân mũ đeu chs ton tai HQ phép chieu P (t) thóa mãn sup ||P (t)|| < ∞ vái P (t)X(t, s) = t∈ X(t, s)P (s) R ∀t ≥ s ton tai h¾ so K, α > cho i) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| vái t ≥ s, x ∈ Im P (s), ii) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| vái s ≥ t, x ∈ Im Q(s), Q(t) = Id − P(t) 1.2 Khái ni¾m nh% phân mũ khơng đeu Cho X khơng gian Banach, hàm tốn tu A : J → B(X) m®t hàm liên tuc khoang mo J ⊂ R, B(X) t¾p tốn tu tuyen tính b% ch¾n X Ta xét tốn giá tr% ban đau: vJ = (1.2) A(t)v s ∈ J vs ∈ X v(s) = vs Chúng ta viet nghi¾m nhat cna phương trình (1.2) dưói dang v(t) = T (t, s)v(s) T (t, s) tốn tu tien hóa ket hop, rõ ràng có T (t, t) = Id T (t, s) = T (t, r)T (r, s) (1.3) Trong trưịng hop T (t, s) kha ngh%ch T−1(t, s) = T (s, t) Đ%nh nghĩa 1.4 Chúng ta nói phương trình (1.2) có nh% phân mũ khơng đeu J neu ton tai phép chieu P : J → B(X) vói: P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s) (1.4) ∀t > s, ton tai h¾ so: cho a < ≤ b, a, b ≥ 0, D1, D2 ≥ (1.5) ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s| ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b|t| (1.6) Q(t) = Id − P (t) 1.3 Quan h¾ giEa nh% phân mũ đeu nh% phân mũ khơng đeu Nh¼n xét 1.5 So sánh hai đ%nh nghĩa ve nh% phân mũ đeu nh% phân mũ khơng đeu ta thay h¾ nh% phân m khụng eu cú thờm mđt long m a|s| hoắc b|t| MQI h¾ nh% phân mũ đeu đeu h¾ nh% phân mũ không đeu Đieu ngưoc lai không Đe minh HQA cho đieu này, ta xét ví du sau Ví dn 1.6 Cho w > a > nhung h¾ so thnc h¾ phương trình R2 uJ = (−w − at sin t)u, vJ = (w + at sin t)v (1.7) M¼nh đe 1.7 Hắ (1.7) l mđt nh% phõn m khụng eu R không nh% phân mũ đeu Chúng minh Có the de dàng kiem tra rang u(t) = U (t, s)u(s) v(t) = V (t, s)v(s) U (t, s) = e−wt+ws+at cos t − a s c o s s − a s i n t + a s i n s , V ( t , s ) = e w t − w s − a t c Tốn tu ket hop cna h¾ (1.7) T (t, s)(u, v) = (U (t, s)u, V (t, s)v) Gia su P (t) phép chieu P (t)(u, v) = u, rõ ràng P thoa mãn đieu ki¾n (1.4) Ta se chi rang ton tai D cho U (t, s) ≤ De(−w+a)(t−s)+2a|s| vói t ≥ s, (1.8) s ... 1Nh% phân mũ đeu nh% phân mũ không đeu 1.1Khái ni¾m nh% phân mũ đeu 1.2Khái ni¾m nh% phân mũ khơng đeu 1.3Quan h¾ giua nh% phân mũ đeu nh% phân mũ 1. 4Tính vung cna nh% phân mũ. .. nghĩa ve tính vung cna nh% phân mũ đeu nh% phân mũ khơng đeu Chương Tính vEng cua nh% phân mũ đeu Chương trình bày tính vung cna nh% phân mũ đeu nua truc dương tính vung cna nh% phân mũ đeu tồn... khỏi niắm nh% phân mũ khơng đeu (xem [5] [10]) Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương Nh% phân mũ đeu nh% phân mũ không đeu Chương se nêu đ%nh nghĩa cna nh% phân mũ đeu, nh% phân mũ khơng đeu,