Luận văn thạc sĩ về phổ của toán tử tuyến tính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ VĂN HƯNG VE PHO CUA TOÁN TU TUYEN TÍNH LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ VĂN HƯNG VE PHO CUA TỐN TU TUYEN TÍNH Chun ngành: Lý thuyet xác suat thong kê toán HQC Mã so: 60.46.15 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS TS Phan Viet Thư Mnc lnc Lài cam ơn Lài nói đau Chương Các khái ni¼m sa cua giai tích hàm 1.1 Các không gian vectơ HQ tôpô 1.1.1 Các đ%nh nghĩa ban 1.1.2 Các không gian không gian thương 12 1.1.3 Các tính chat ban cna khơng gian Hillbert 14 1.2 Tốn tu tuyen tính phiem hàm 20 1.2.1 Đ%nh lý Hahn - Banach 21 1.2.2 Tính đoi ngau 22 1.3 Các đ%nh lý ban 27 1.3.1 Đ%nh lý ánh xa mo .27 1.3.2 Nguyên lý b% ch¾n đeu 29 1.3.3 Đ%nh lý mien giá tr% đóng 31 1.4 Tôpô yeu tôpô yeu∗ 32 1.4.1 Tôpô yeu 32 ∗ 1.4.2 Tôpô yeu 35 Chương M®t so dang đ%nh lý cho m®t so láp toán tE quan TRQNG .39 2.1 Toán tu Hilbert - Schmidt 39 2.2 Toán tu compact 41 2.3 Đ%nh lý phő cna toán tu compact tn liên hop 44 2.4 Phő cna m®t tốn tu compact tőng qt 48 2.5 Giói thi¾u ve đ%nh lý phő tőng quát .52 2.5.1 Phő giai thúc m®t đai so Banach 52 2.5.2 Đ%nh lý ve phő cna toán tu tn liên hop b% chắn khụng gian Hilbert 56 Chng đ o ngau nhiên tong quát .60 3.1 Giói thi¾u 60 3.2 Đ® đo phő ngau nhiên 61 3.3 Toán tu chieu ngau nhiên 65 3.4 Đ® đo phő ngau nhiên tőng quát 70 Chương Khái ni¼m vet cua tốn tE khơng gian Lp cho láp tốn tE compact 75 4.1 Đ%nh nghĩa vet .76 4.2 Lóp tốn tu vet lóp tốn tu Hilbert-Schmidt 77 4.3 M®t dang cu the cna lóp tốn tu Hilbert - Schmidt 82 4.4 Khơng gian Lp cna lóp tốn tu compact .86 Ket lu¼n 87 Tài li¼u tham khao 88 LèI CAM ƠN Đe hoàn thành lu¾n văn này, tác gia to lịng biet ơn chân thành sâu sac cna tói Thay: PGS.TS Phan Viet Thư, ngưịi t¾n tình hưóng dan đóng góp nhieu ý kien quý báu Tác gia xin chân thành cam ơn t¾p the Thay giáo, nhà khoa HQc cna trưòng Đai HQ c Khoa HQ c Tn Nhiên – ĐHQG Hà N®i giúp đõ tao đieu ki¾n cho tác gia hồn thành cuon lu¾n văn Trong q trình viet lu¾n văn, m¾c dù dưói sn chi đao ân can chu đáo cna Thay cô giáo ban thân het súc co gang, song ban lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che thieu sót Vì v¾y, tác gia rat mong đưoc sn góp ý, giúp đõ cna Thay cơ, ban đe ban lu¾n văn đưoc hoàn chinh Tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 19 tháng 08 năm 2014 HQ c viên Đő Văn Hưng LèI NĨI ĐAU Muc đích cna lý thuyet phő phân lóp tốn tu tuyen tính giua khơng gian Banach mà ta han che xét khơng gian Hilbert chúng m®t đai di¾n đ¾c bi¾t cna khơng gian Banach Chúng có liên h¾ gan gũi vói hình HQc Euclide Ta có the nghĩ đen nhieu cách khác đe phân loai tốn tu tuyen tính Đai so tuyen tính (huu han chieu) goi ý rang hai tốn tu tuyen tính T1, T2 : H1 → H2 liên h¾ boi cơng thúc T ◦ U1 = U2 ◦ T , (1) vói tốn Ui : Hi m®t → Hilóp Trong T1, T2trưịng có chung nhieuhan tính chat Tatucókha thengh%ch coi chúng hop huu chieu, Ui tương úng vói đői so Hi, chúng không làm thay đői ban chat bên cna tốn tu Cách giai thích nói chung khơng cịn trưịng hop vơ han chieu boi o khơng có khái ni¾m tot ve so, cách đ %nh nghĩa van có ý nghĩa đáng quan tâm ta có the thu mơ ta tat ca toán tu tù H1 vào H2 boi quan h¾ Đe làm đơn gian ý tưong, ta cHQN = H2 = H coi hai toán tu T1 , T2 : H → H o m®t lóp neuseton tai H m®t tốn tu kha ngh%ch U : H → H cho T2 ◦ U = U ◦ T1 túc T2 = UT U −1 (2) Trong đai so tuyen tính, tốn phân lóp đưoc giai thành cơng boi lý thuyet đen “dang tac”.gian Choriêng, tốn tu tuyen Cntoi → thieu Cn vói n ≥ Khi giá tr% riêng, khơng đa thúc đ¾c tính trưngtùvà (minimal) dan H có so chieu vơ han, ta khơng có m®t đ%nh lý tőng quát Nhưng xuat hi¾n kha nhieu tốn tu rat quan TRQNG mà ta su dung có tính chat mà trưịng hop so chieu huu han có sn mơ ta th¾m chí đơn gian Chúng thuđc mđt cỏc lúp ắc biắt cỏc toỏn tu khơng gian Hilbert như: tốn tu lay Unita Đoi ∗ lóp này, neu dim H = n ln có m®t so trnc chuan liên hop T vói → T , tốn tu chuan, tốn tu tn liên hop, toán tu dương, toán tu (e1, , en) cna vectơ riêng cna T vói giá tr% riêng λ1, , λn so ta có the viet T( Σ i Σ αi ei ) = i αi λi ei (3) (Tương úng vói bieu dien ma tr¾n đưịng chéo) Trong trưịng hop vơ han chieu, nói chung ta khơng the viet the m®t cách rõ ràng Tuy nhiên có m®t cách giai thích cna bieu dien cho tuân theo sn tőng quát Xét ánh xa tuyen tính U : H → Cn ei −→ (0, , 0, 1, 0, , 0) vói o v% trí thú i Ánh xa m®t song ánh cn, đ%nh nghĩa cna m®t so trnc chuan, neu Cn m®t tích tiêu chuan ta đ%nh nghĩa T1 : Cn → Cn αi −→ (αiλi) Thì (3) tro thành T1 ◦ U = U ◦ T (4) Rõ ràng ta giai nghĩa đieu theo cách (nó cho ta m®t cách nhìn khác tốn phân lóp): Vói MQI khơng gian Hilbert huu han chieu H tốn tu chuan T ta nh¾n đưoc khơng gian toán tu “mau” (C , T1) cho (H, T ) n tương đương vói (C , T 1) (Thnc unitary tương đương U cn) Đ%nh lý phő mà chúng tơi trình bày lu¾n văn sn tőng qt hóa cna n tu “dang “mau” hồn tac” tồn đơn Đieu gian: chúng loai cơng L (X,µ) khơng gian loai tốn đưa ve rat thành cácvói khụng gian v n cú đ o (X,à) no ú (Trưịng hop C tương úng vói X = {1, 2, , n} vói đ® đo đem) Và tốn tu “mau” toán tu nhân (phép nhân): Tg : f −→ gf vói m®t hàm g : X → C thích hop Tốn tu nhân cho ta m®t “mau” cho MQI toỏn tu (chuan) khụng Hilbert su L(X,à) gianchắn cú đthỡ đotahuu ∞ han (túctrên µ(X) = g(x)f1 (x)f2 (x)dµ(x) X =< f1 , Mg (f2 ) > vói MQI f1 , f2 ∈ L2 (X, µ) Do tốn tu liên hop cna Mg đưoc cho boi Mg = Mg , dan đen Mg tn liên hop chi g tn liên hop (hau khap nơi) Vói g1, g2 ∈ L∞(X,µ), ta có Mg1 (Mg2 (f )) = g1 (g2 (f )) = g2 (g1 (f )) = Mg2 (Mg1 (f )) ∞ MQI g vói g ∈ L (X, µ) giao hoán Suy chúng đeuDo hop g(x)toán = xtulà M đ¾c bi¾t quan TRQNG Bő đe sau cho biet ta không the xây dnng chuan tac Neu X C l mđt o oc oi vúi đ đo Lebesgue µ trưịng nhieu tốn tu nhân b% ch¾n so vói su dung hàm b% ch¾n đe.đoGia su X (X,à) mđt khụng gian cúxađ huu vo han Lvà gia su g m®tBo hàm đưac → C.làNeu −→ gϕ ánh L 2đo (X,µ) (X,µ) khơng ∞ nhat thiet liên tnc, g ∈ L (X,µ) Tro lai câu hoi đ®ng thúc đay đen đ%nh lý phő, tai ta muon phân lóp tốn tu khơng gian Hilbert ? Đ®ng ban đen tù nguon chung giong cna giai tích hàm: Trong úng dung ta thưịng can (ho¾c muon) giai phương trình tuyen tính T (v) = w giua khơng gian Banach, đ¾c bi¾t khơng gian Hilbert Vì muc đích có m®t sn phân lóp cu the (dang ta có Tvói (v) = w ⇔ T (v1) = w1 vói v1 = U1(v), w1 = U2 (w) Như v¾y neu ta hi¾n) mơ hình mau đơn gian se rat có ích Neu ta có quan h¾ (1) hieu tốn tu “mau” T2 ánh xa kha ngh%ch U1, U2, ta có the chuyen lịi giai cna phương trình tuyen tính liên quan đen T1 thành lòi giai tương úng liên quan tói T2 Tương tn đoi vói (2) hay (4) ta nh¾n nhântrnc T2 tiep = M giaiBây cna giị phương trìnhthay M (flà) vói = hmau thoatốn mãntuđưoc (ítg trờn nhat Ll (X,à), ve mắtlũi g hỡnh thỳc) l f = g Đieu tương úng m®t cách trnc giác đen chéo hóa h¾ h hàm g có the nghi¾m và ty tat so h/g thehoikhơng L2 (X, à) cỏc phng trỡnhcú tuyen tớnh, nhiờncúũi nhieuthuđc sn th¾n TRQNG Trưịng hop đ¾c bi¾t, cịn hình thúc, ý rang làm the bien đői quan đenFourier toán tucùng Laplace g bang sang cna Fourier” vói (6)∆f goi=ý manh me cách chúng“chuyen ta thu giaithe cácgiói phương trình liên Thnc te ý tưong rat hi¾u qua, tat nhiên địi hoi nhieu sn th¾n TRQNG tốn tu liên quan không liên tuc Hieu đưoc ý nghĩa kha úng dung to lón cna lý thuyet phő tốn tu, tác gia cHQN đe tài lu¾n văn cna “ Ve phő cna tốn tu tuyen tính” Đe tiep tuc tìm hieu sâu ve van đe này: Lu¾n văn đưoc chia làm bon chương: Chương Các khái ni¼m sa cua giai tích hàm tốn tE tuyen tính Chương giói thi¾u khái ni¾m ban ve không gian Banach, không gian Hilbert ve khái ni¾m tốn tu tuyen tính khơng gian tính chat ban nhat cna chúng Chương M®t so dang đ%nh lý cho m®t so láp tốn tE quan TRQNG Chương giói thi¾u đ%nh lý ve phő cho tốn tu tn liên hop, cho toán tu compact tőng quát, đ%nh lý phő tőng quát, phő giai thúc m®t đai so Banach cuoi đ%nh lý phő cna tốn tu tn liên hop b% ch¾n khơng gian Hilbert Chương Đ® đo ngau nhiên tong quát Chng ny giúi thiắu ve đ o ph ngau nhiờn, đ® đo phő ngau nhiên tőng quát; Đ%nh lý h®i tu b% chắn cho đ o ph ngau nhiờn v đ® đo phő ngau nhiên tőng quát; Đ%nh lý ve bő sung cna m®t đ® đo phő ngau nhiên tőng qt Chương Khái ni¼m vet cua tốn tE khơng gian Lp cho láp tốn tE compact Chương giói thi¾u khái ni¾m vet cna tốn tu cách su dung chúng vói vai trị tích phân cna hàm tốn tu đe xây dnng khơng gian Lp cho đai f so B hangian B1 (H) chuan tr (H) = lóptốn tốntu, tu ký vethi¾u có vai trị(H), chang khơng cácvói hàm kha ǁT tích.ǁB (H) lóp tốn tu Hilbert-Schmidt có dang L2 m®t khơng gian Hilbert Hà N®i, ngày 19 tháng 08 năm 2014 HQ c viên Đő Văn Hưng (S + T )∗ (S + T ) ≤ 2(S ∗ S + T ∗ S) (**) Bang tính tốn đơn gian, ta có thúc phân cnc cho tốn tu khơng gian Hilbert phúc Σ 4T S = ik(S + ikT )∗(S + ikT ) ∗ k=0 (***) M¼nh đe 4.6 Các láp B1(H) B2(H) ideal tn liên hap B(H) Bf (H) ⊂ B (H) ⊂ B (H) ⊂ B0(H) Chúng minh Ta chúng minh B (H) ideal tn liên hop Neu T ≥ vói tr(T ) < ∞ S ∈ B(H), ta có Σ 1/2 1/2 4T S = 4T T S = ik (S + ik I)∗ T (S + ik I) k=0 Vói V = S + ikI, ta có tr(V ∗ T V ) = tr(V ∗ T 1/2 T 1/2 V ) = tr(T 1/2 V V ∗ T 1/2 ) ≤ ||V V ∗ || · tr(T ) 1 DoBđó TS ∈ B (H) Do v¾y B (H) ideal phai tn liên hop Tương tn ta se có (H) ideal hai phía Vói B1(H) = span {T ∈ B0(H)|T ≥ 0, tr(T ) < ∞} Ta se chi rang B (H) = {T ∈ B(H)|tr(|T |) < ∞} Thnc v¾y, |T T| ∈ ∈ BB1(H) (H),Ngưoc tù sn lai phân cnc T =|TU|T| thì∗Ttheo chúng minh trênneu ta có neutích T∈ B(H), |=U |T | ∈ B (H) Ta chúng minh B (H) ideal tn liên hop Ta có B (H) khơng gian tuyen tính cna B0(H) Tù nh¾n xét 4.2, ta có B (H) tn liên hop Do B (H) ideal B(H), theo đ%nh nghĩa cna B2(H) ta có B2(H) ideal Ta can chúng minh Bf (H) ⊂ B (H) ⊂ B (H) ⊂ B0(H) Neu T ∈ Bf (H) |T | tốn tu chéo hóa đưoc có hang huu han Do T ∈ B (H) |T | ∈ B1(H) V¾y Bf (H) ⊂ B1(H) Neu T ∈ B (H) T ∗ T = |T |2 = T 1/2 |T ||T |1/2 ≤ ||T |||T | Suy tr(T ∗T ) < ∞ hay T ∈ B2(H) V¾y B1(H) ⊂ B2(H) Đ%nh lý 4.7 (H) toán tu Hilbert - Schmidt có dang m®t khơng gian Hilbert váiIdeal tích Btrong < S, T >tr = tr(T ∗ S), S, T ∈ B (H) Chúng minh Vói MQI S, T ∈ B (H) T ∗ S ∈ B (H) hay < S, T >tr < ∞ Do dang nua song tuyen tính tr m®t đ%nh nghĩa đúng, tn liên hop dương liên ket Hơn thoa nua, mãntr đưa m®t tích B (H) boi chuan - ||T ||2 =2 tr(T ∗T ) ≥ ||T ∗T || = ||T ||2 Kéochuan theo MQI dãy tốn Cauchy {T n } thu®c B (H) vói chuan || · ||2 se h®i tu theo tói m®t tu T ∈ B0 (H) Ta can chúng minh Tn → T theo chuan - Vói moi phép chieu P lên m®t khơng gian huu han chieu cna H, ta có ||P (T − Tn2)||2 = tr((T − Tn )∗ P (T − Tn )) = tr(P (T − Tn )(T − T n )∗ P ) ∗ = lim m tr(P (Tm − Tn )(Tm − Tn ) P ) ∗ = lim m tr((Tm − Tn ) P (Tm − Tn )) ≤ lim sup tr((Tm − Tn )∗ (Tm − Tn )) = lim sup ||Tm2− Tn ||2 m m Suy ||P (T − Tn)||2 ≤m lim sup ||Tm − Tn||2 Do P phép chieu tùy ý nên ||T − Tn||2 ≤ limmsup ||Tm − Tn||2 Do v¾y T ∈ B2(H) Tn → T theo chuan - Bo đe 4.8 Neu T ∈ B (H) S ∈ B(H) |tr(ST )| ≤ ||S||tr(|T |) Chúng minh Đ¾t T = U |T | phân tích cnc cna T Vì |T |1/2 ∈ B (H) nên (SU |T |1/2 )∗ ∈ B (H) Theo bat thúc Cauchy - Schwarzt đoi vói vet tr ta có |tr(ST )|2 = |tr(SU |T |1/2 |T |1/2 )|2 = |((|T |1/2 )|(SU |T |1/2 )∗ )tr | ≤ |||T |1/2 ||22 · ||(SU |T |1/2 )2∗ ||2 = tr(|T |) · tr(|T |1/2 U ∗ S ∗ SU |T | 1/2 ) ≤ tr(|T |) · tr(||U ∗ S ∗ SU |||T |) ≤ ||S||2 · (tr(|T |))2 Bo đe 4.9 Neu S T thu®c B2(H) tr(ST ) = tr(TS) Cơng vanNeu SB ∈2(H) B(H) Chúngthúc minh S, T∈ thìvà taTcó∈ B (H) Σ ∗ 4tr(T S) = iktr((S + ikT )∗(S + ikT )) Σ = ik tr((S ∗ + i−k T ∗ )∗ (S ∗ + i−k T ∗ )) Σ = ik tr((T ∗ + ik S ∗ )∗ (T ∗ + ik S ∗ )) = 4tr(ST ∗ ) Do tr(ST ) = tr(T S) Gia su Sta∈cóB(H) T∈ B1(H) và1/2 chúng minh 1/2 Tù tr(STvà) = tr((ST )T 1/2T) ≥ = tr(T (ST 1/2 )) = tr((T 1/2 S)T 1/2 ) = tr(T 1/2 (T 1/2 S)) = tr(T S) Đ%nh chuan lý 4.10 Ideal B (H) cua láp toán tu vet m®t đai so Banach vái ||T ||1 = tr(|T |), T ∈ B1(H) Chúng || · Đe ||1 chúng hàmminh thuantính nhat B (H) cna đ%nh nghĩa (vìminh ||·|| 1Rõ≥ràng ||·||) nua c®ng tính dưói B (H) ta lay∗ S T thu®c B (H) vói phân tích cnc S+T = W|S+T| |S+T| = W (S+T ) Theo bő đe 4.8 ta có ||S + T ||1 = tr(|S + T |) = tr(W ∗ (S + T )) ≤ |tr(W ∗ S)| + |tr(W ∗ T )| ≤ ||W ∗ ||(tr(|S|) + tr(|T |)) ≤ ||S||1 + ||T ||1 Tương úng bat thúc vói phép phân tích cnc ST = V |ST|, ta có ||ST ||1 = tr(V ∗ ST ) ≤ ||V ∗ S||tr(|T |) ≤ |||S|||tr(|T |) ≤ tr(|S|)tr(|T |) = ||S||1||T ||1 ta can chúng B1-(H) ràng không gian Cho {T n} dãyCuoi Cauchy B1(H) vóiminh chuan Rõ dãy nàyBanach h®i tu theo chuan tói phan tu T ∈ B0(H) Vói phân tích cnc T − Tn = U|T − Tn| moi phép chieu P huu han chieu lên H ta có : tr(P |T − Tn |) = tr|P U ∗ (T − Tn )| =mlim tr(P U ∗ (Tm − Tn )) ≤ lim m sup ||Tm − T n|| Do P bat kỳ nên vói p = ta có ||T − Tn||1 ≤ limmsup ||Tm − Tn||1 → Rõ ràng T ∈ B1(H) Tn → T theo chuan - V¾y B1(H) khơng gian Banach Đ%nh lý 4.11 Dang song tuyen tính < S, T >= tr(ST ) the đu gian tính đoi ngauvàgiua c¾pTúc khơng giuahi¾n c¾p đay khơng B1(H) B(H) gian Banach B0(H) B (H), (B0(H))∗ = B (H) (B1(H))∗ = B(H) Chúng (i) Trưóc het,Bta(H) chúng khơng (H) B (H) đoi ngau.minh Vói moi T thu®c xétminh phiem hàm gian tuyenBtính b% ch¾n B0(H) ϕT =< ·, T > Theo bő ∗đe 4.9 ta có ||T (H)) ||1 hay ∗ ϕT ∈ (B (H)) Ngưoc lai||ϕ neuT || ϕ≤ ∈ (B , S ∈ B (H) 0 |ϕ(S)| ≤ ||ϕ||||S|| ≤ ||ϕ||||S||2 Do B (H) m®t khơng gian Hilbert nên có m®t phan tu nhat T ∈ B2(H) thoa mãn ϕ(S) = tr(T S) = tr(ST ) vói MQI S ∈ B (H) Hơn nua vói moi phép chieu P H có hang huu han vói phép phân cnc T = U |T |, ta có |tr(P |T |)| = |tr(P U ∗ T )| = |ϕ(P U ∗ )| ≤ ||ϕ|| Do P bat kỳ nên T ∈ B (H) vói ||T ||1 ≤ ||ϕ|| Rõ ràng tương úng ϕ ↔ T m®t song ánh cn Tù (B0(H))∗ = B1(H) (ii) Bây giò ta chúng minh (B1(H))∗ = B(H) Vói moi S ∈ B(H), xác đ%nh m®t phiem hàm tuyen tính b% ch¾n ψS =< S, · > ∗ B (H) Theo bő (B đe 14.9 ta∗có S|| ≤ ||S|| hay ψS ∈ (B (H)) Ngưoc lai, neu ψ∈ (H)) , ta||ψ đ%nh nghĩa dang nua song tuyen tính U H boi U (x, y) = ψ(x Ⓢ y),x, y ∈ H, x Ⓢ y tốn tu hang m®t Ta có |x Ⓢ y| = ((x Ⓢ y)∗ (x Ⓢ y))1/2 = ((y Ⓢ x)(x Ⓢ y))1/2 = (||x||2 y Ⓢ y)1/2 = ||x||||y||(||y||−1 y Ⓢ ||y||−1 y) U b% ch¾n boi |U (x, y)| ≤ ||ψ||||x Ⓢ y||1 = ||ψ|||tr(|x Ⓢ y|)| = ||ψ|||| x||||y|| Do có nhat tốn tu S thu®c B(H) thoa mãn ||S|| ≤ ||ψ|| ψ(xⓈ y) = U (x, y) =< Sx, y > Vói MQI tốn tu tn liên hop T thu®c B (H), có m®t dang chéo hóa đưoc T = λj ej ej ej j J m®t so trnc chuan đó, λj làΣgiá tr% riêng thnc úng vói vectơ riêng ej |λj | = ||T ||1 Do v¾y Ⓢ {| ∈ ψ(T ) = λj(ej Ⓢ e j) = λj(Sej ⓈΣe j) = < STe j , ej >= tr(ST ) } Tù B (H) công thúc ψT =Σ tr(ST ) vói MQI T Σlà tn liên hop, thuđc B1(H) Vắy ta lai cú mđt song ỏnh cn ψ ↔ S Do v¾y (B1(H))∗ = B(H) 4.3 M®t dang cn the cua láp tốn tE Hilbert Schmidt Nh¼n xét 4.12 Vói moi so trnc chuan {ej|j ∈ J} cna H {ei Ⓢ ej |(i, j) ∈ J } t¾p minh tốn m®t tao thành m®t so trnc chuan cna B2(H) ∗ Chúng Tùtu(ehang i Ⓢ ej ) = (ej Ⓢ ei ) (ei Ⓢ ej )(ek Ⓢ el ) = δjk (ei Ⓢ el2), rõ ràng toán tu {ei e } cú dang mđt trnc giao B (H) Hơn nua neu T ∈ B (H)j < T, ei Ⓢ ej >tr = tr((ej Ⓢ ei )T ) = tr(ej Ⓢ T ∗ ei ) Σ = < el , T ∗ ei >< ej , el >=< T ej , ei > l Tù phan tu trnc giao vói bao tuyen tính cna ei Ⓢ ej {0} hay {ei Ⓢ ej} m®t so trnc chuan cna B2(H) Sau õy chỳng tụi giúi thiắu mđt trũng hop đ¾c bi¾t cna lóp tốn tu Hilbert -L2Schmidt X khơng gian B2(Lgian (X)), vói khơng gian đ%a Hilbert tương (X) e m®t khơng Hausdorff compact phương L2úng (X) khơng gian hàm kha tích cap vói tích phân Radon X Ta biet m®t tích phân Radon m®t phiem hàm tuyen tính ∫ ∫ ∫ : Cc(X) → R ∫ Neut úclàlàm®t tích0phân Radonftrên dương, f ≥ kéo theo ≥X, 0.thì có m®t tích phân ∫x Radon X2 thoa mãn : ∫x ⊗ ∫y f Σ ∫ f ⊗ g =x gΣ , ∫x ⊗ ∫y f ∈ Cc(X), g ∈ Cc(X), ∫ f ⊗ = f(x) gian g(y) tenxơ g.XTa xét không 2 gian Hilbert Lg(x, (X ) y) khơng cáctích hàm kha cna tíchhàm cap f2 G QI {ej | j ∈ J} m®t so trnc chuan cna L (X) t¾p hàm e ⊗ e (x, y) i j = ei (x) · ej (y) X m®t so2 trnc chuan cna L2 (X ) Do ton tai 2 m®t phép cn U tù L (X ) lên B (L (X)) đưoc xác đ%nh boi U (ei ⊗ ej ) = ei Ⓢ ej Đe nghiên cúu đ%nh lý sau, chúng tơi giói thi¾u đ%nh lý Fubini thoahàm mãn:Borel {f f>trên t}khơng t¾p Borel vói hm moinhắn t giỏ R (hayf f: X lRMđt gian tơpơtrong X làXm®t tr% thnc hàm liên tuc) Đ%nh lý 4.13 (Đ%nh lý Fubini) ∫ Cho x y tích phân Radon khơng gian Hausdorff compact∫đ%a phương X Y Neu h mđt hm Borel trờn X ì Y v h l ∫ ∫ kha tích vái tích phân x ⊗ y, hàm Borel y −→ f (x, y) thu®c L (Y ) vái hau het x ∈ X ∫ Trên hau het x ∈ X, hàm x −→ y h(x, ·) ∈ L (X) vái ∫ ∫ h = ∫ ⊗ ∫ h x y y x Do neu h ∈ L1(X × Y ), tích phân dưái đeu ton tai bang ∫ ∫ ∫ nhau: ∫x ∫y x y h = ⊗ ∫ h= h y x Đ%nh lý 4.14 Vái mői k ∈ L2(X2), tốn tu tích phân Tk đưac xác đ%nh bái ∫ Tkf (x) = y k(x, y)f (y), f ∈ L (X) là2 m®t tốn tu2 Hilbert - Schmidt L2(X) Ánh xa k → Tk m®t cau tù 2 ∗ L (X ) lên B (L (X )) vái chuan Vái k (x, x), ta có Tk∗hap = ∗ Tk Do v¾y Tk tn liên hap chs ker Tk y) (túc=k)k(y, đoi xúng liên đưoc GQI đoi xúng liên hop (conjugate - symmetric) neu b(y, x) = b(x, y) vói e ta hieu m®t dang nua song tuyen tính b khơng gian Hilbert H MQI x y thu®c H Chúng minh Neu k ∈ L2(X2), ta chúng minh Tk toán tu Hilbert - Schmidt Vói moi c¾p f, g ∈ L2(X) ta có ∫x ∫y |k(x, y)f (y)g(x)|x = y∫ |k||f ⊗ g| < ∞ ⊗ ∫ Tù đ%nh lý Fubini, tốn tu Tk gia thiet thu®c B(L2(X)) vói ||Tk|| ≤ ||k||2 2 xa m®t k →cơTk so phép cncna tù L lên{e B2(LⓈ (x)) Vìj) neu j|j ∈ Ánh J} trnc chuan L2 (X (X)) ej |(i, ∈2{e J 2} i 2 m®t so trnc chuan cna B (L (X)) {e ⊗ e |(i, j) ∈ J } i j m®t so trnc chuan cna L (X2) Do k ∈ L2(X ) nên k = cijei ⊗ ej , cij ∈ C, m®t tőng huu han Do Tk f = Σ Σ Σ cij < f, ej > ei = ( cij ei Ⓢ ej )f = (U (k))f vói U (ei ⊗ e j) = ei Ⓢ ej Do tính liên tuc ta có Tk = U (k) vói moi k ∈ L2(X2) Tù ánh xa U : k → Tk m®t phép cn Đang thúc Tk∗ = Tk∗ de dàng chúng minh đưoc tù k = Σ αij ei ⊗ ej Nh¼n xét 4.15 Cho phương trình tích phân Fredholm: y y)f (y) − λf (x) = g(y), ∫ k(x, o g ∈ L2(X), k m®t hàm đoi xúng liên hop L2(X2) so λ cho trưóc Theo đ%nh lý ??, tìm đưoc m®t so trnc chuan {ej|j ∈ J} cna Σ L2(X) cho Tk = λjej Ⓢ ej vói λj ∈ R Σ 2 |λj|2 = ||k|| (Đang thúc Paseval) Neu λ ƒ= λ vói MQI j, nghi¾m phương trình tích phân nhat đưoc choj boi f = (λj − λ)−1 < g, ej > ej Σ cna lóp tốn tu Hilbert - Schmidt tốn Nhẳn xột 4.16 Mđt ỳng dung Sturm - Liouville Sau chúng tơi đe c¾p (khơng chúng minh) nhung ket qua cna tốn Trên đoan V = [a, b], p, q, h hàm giá tr% thnc liên tuc, p > λ ∈ R, ta có phương trình (pf J )J + qf = (4.1) (qf J )J + qf = λf (4.2) (qf J )J + qf = λf + h (4.3) Phương trình thuan nhat (4.1) có khơng gian nghi¾m hai chieu đưoc tő hop tuyen tính boi, chang han u v vói u v thoa mãn đieu ki¾n biên αu(a) + βp(a)uJ (a) = γv(b) + δp(b)v J (b) = vói so α, β, γ, δ cho trưóc Hơn nua p(uv J − uJ v) = c vói c co đ %nh khác Ta đ%nh nghĩa hàm Green boi c−1 u(x)v(y)vói a ≤ x ≤ y g(x, y) =  −1 c u(y)v(x)vói a ≤ y ≤ x ≤ b, vói Tgmoi toán - Schmidt L2(V ) đưoc xác đ%nh đ%nh lý 4.14 Vói h ∈tuLHilbert (V ), hàm f = Ttrên gh nghi¾m nhat cna (4.3) Khi λ = 0, hàm f = Tgh thoa mãn đieu ki¾n biên (E): αf (a) + βp(a)f J (a) = γf (b) + δp(b)f J (b) = Theo đ%nh lý 4.14 vói g ∗ (x, y) = g(y, x) ta có Tg∗ = T ∗ Lai k đoi xúng2 liên hop nên∗ g(y, x) = g(x, y) vói MQI x, y ∈ Vg V¾y g ∗ = g V hay Tg = Tg Theo đ%nh lý ??, có m®t so trnc chuan {en |n ∈ N} cna L2 (V ) cho : Σ Tg = λ n e n Ⓢ en Σ {λn} ⊂ R − {0}, |λn|2 = ||g||2 Do v¾y nghi¾m cna (4.2) thoa mãn đieu ki¾n biên (E) ton tai chi λ = λ−n vói n Khi nghi¾m cna (4.2) en Vói λ = (n đó), nghi¾m cna (4.3) thoa mãn (E) chi dương neu λ−n h ⊥ en Cịn vói λ ƒ= λn vói MQI n, nghi¾m cna (4.3) thoa mãn đieu ki¾n (E) ln ln dương Trong ca hai trưịng hop trên, nghi¾m cna (4.3) f = 4.4 Σ λn(1 − λλn)−1 < h, en > en Khơng gian Lp cua láp tốn tE compact Vói moi p thoa mãn ≤ p < ∞, ta đ¾t B p (H) = {T ∈ B0(H)|tr(|T |p) < ∞} Bp(H) khơng gian Banach vói p - chuan ||T ||p = (tr(|T |p))1/p, T ∈ Bp(H) không gian tn Hilbert H: cna B0(H) tương vói hàm tri¾t Do có sn tương giua lýphúc thuyet hàm vàúng lý thuyet cna cácliên tốntuc tu tiêu tai vơ cùng, vet B0(H) tương úng vói m®t phiem hàm tuyen tính p gian B (H),khơng ≤ pgian < ∞, hi¾n tn hàm tích dương cácthe hàm liêntương tuc tri¾t tiêukhơng tai vơgian cùng; nên cáckha khơng cap p, vói vet cna m®t tốn tu compact l mđt tớch phõn KET LUắN Trong luắn trình bày ve phő cna tốn tu tuyen tính không gian Hilbert không gian vectơ tôpô Dna so cna giai tích hàm, lý thuyet đ® đo không gian tôpô compact Trong đ%nh lý ve phő đưoc trình bày dưói dang tốn tu khơng gian Hilbert dưói dang đai so Banach Tiep theo chúng tụi giúi thiắu mđt vi ỳng dung cỏc %nh lý ve Phő cho toán tu chuan, tn liên hop , Đ%nh lý ve phő cna toán tu ngau nhiên không gian Hilbert H Xây dnng không gian Lp cho lóp tốn tu compact khơng gian Hilbert M¾c dù v¾y, kha thịi gian cịn han che nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung sai sót, tác gia mong nh¾n đưoc sn hưóng dan, chi bao t¾n tình cna Thay cơ, sn hop tác cna ban đe ban lu¾n văn hồn thiắn hn TI LIfiU THAM KHAO Ti liẳu tham khao Tieng Viẳt [1] Nguyen Vn Khuờ, Lờ Mắu Hai (2001), Cơ sá lý thuyet hàm giai tích hàm, T¾p II, NXB Giáo Duc [2] Tr%nh Minh Nam (2007), Tốn tu đo đưac, Lu¾n văn thac sy khoa HQc – ĐH KHTN [3] Nguyen Duy Tien, Nguyen Viet Phú ( 2006), Cơ sá lý thuyet xác suat, NXB ĐHQG HN [4] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giai tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [5] Đ¾ng Hùng Thang (2007), Q trình ngau nhiên tính tốn ngau nhiên, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [6] Pham Th% Phương Thúy (2007), Phiem hm tuyen tớnh v đ o, Luắn thac sy khoa HQc – ĐH KHTN Tài li¼u tham khao Tieng Anh [7] Edward Nelson (1974), Notes on Non – commutative integration, Journal of functional anylysic [8] Dang Hung Thang, Nguyen Thinh and Tran Xuan Quy (2014), Generalized Random Spectral Measures, Journal of Theoretical Probability, Volum 27, Number 2, Springer – Verlag New York Inc [9] R.V.Kadison, J.R.Ringrose ( 1986), Fundamentals of the theory of operator algebras, Volum I, II [10] Pederson (1989), Anlysis now, Springer – Verlag New York Inc ... TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ VĂN HƯNG VE PHO CUA TOÁN TU TUYEN TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê tốn HQC Mã so: 60.46.15 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC:... Euclide Ta có the nghĩ đen nhieu cách khác đe phân loai toán tu tuyen tính Đai so tuyen tính (huu han chieu) goi ý rang hai tốn tu tuyen tính T1, T2 : H1 → H2 liên h¾ boi cơng thúc T ◦ U1 = U2... ∗ lóp này, neu dim H = n ln có m®t so trnc chuan liên hop T vói → T , toán tu chuan, toán tu tn liên hop, toán tu dương, toán tu (e1, , en) cna vectơ riêng cna T vói giá tr% riêng λ1, , λn so