Các định lý giới hạn cho martingale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Các ket qua nêu lu¾n án trung thnc chưa tùng đưoc công bo bat kì cơng trình khác Tác gia Ta Cơng Sơn LèI CAM ƠN Tác gia xin bày to lòng biet ơn sâu sac nhat tói Thay, GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang sn đ%nh hưóng sn goi mo van đe cna Thay nghiên cúu, sn nghiêm khac cna Thay HQc t¾p sn bao dung cna Thay cu®c song dành cho tác gia Tác gia xin gui lịi cam ơn tói Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Phòng Sau đai HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, nơi tác gia HQc t¾p nghiên cúu Tác gia xin gui lịi cam ơn tói Thay, Cơ o B® mơn Xác suat thong kê, Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưòng đai hQc Khoa HQc Tn nhiên, nơi tác gia công tác giang day, giúp đõ tác gia rat nhieu trình HQc t¾p hồn thành lu¾n án Trong q trình HQc t¾p hồn thành lu¾n án, tác gia vơ biet ơn nh¾n đưoc sn quan tâm giúp đõ góp ý cna GS.TSKH Nguyen Duy Tien, GS.TS Nguyen Huu Dư, GS.TS Nguyen Văn Huu, GS.TS Nguyen Văn Quang, PGS.TS Phan Viet Thư, PGS.TS Tran Hùng Thao, PGS.TS Ho Đăng Phúc, TS Tran Manh Cưòng, TS Nguyen Th%nh, TS Lê Văn Dũng, TS Lê Văn Thành, TS Nguyen Văn Huan Tác gia xin chân thành cam ơn tói anh, TS Lê Văn Dũng ve nhieu sn giúp đõ, đóng góp quý báu Tác gia xin đưoc gui lịi cám ơn tói tat ca thay cơ, ban bè góp ý, nng h® đ®ng viên tác gia q trình HQc t¾p hồn thành lu¾n án Lu¾n án q q giá cna tác gia dành t¾ng cha me, hai em gái, em re ngưịi vo sap cưói nhung ngưịi ln o bên canh đ®ng viên tác gia nhung lúc khó khăn Ta Cơng Sơn MUC LUC NhEng kí hi¾u dùng lu¾n án Ma đau Chương Các kien thÉc chuan b% khái ni¾m ban 10 1.1 Kien thúc chuan b% 10 1.2 M®t so dang h®i tu cna trưịng bien ngau nhiên 13 1.3 Trưịng hi¾u martingale 19 1.4 Toán tu ngau nhiên 22 Chương Lu¾t so lán cho trưàng hi¾u martingale 26 2.1 Luắt manh so lún cho trũng hđp cỏc -hiắu martingale 26 2.2 Lu¾t so lón dang Brunk-Prokhorov 39 2.3 Lu¾t yeu so lón cho trưịng α-tương thích manh .50 Chương H®i tn hồn tồn toc đ® h®i tn cua trưàng cỏc hiắu Martingale 57 3.1 Hđi tu hon ton .57 3.2 H®i tu hồn tồn trung bình 66 3.3 Toc đ® h®i tu cna chuoi ngau nhiên 76 Chương SE h®i tn cua dãy martingale tốn tE 88 4.1 H®i tu cna dãy martingale tốn tu 88 4.2 Sn h®i tu cna tích toỏn tu khụng b% chắn đc lắp 97 Ket lu¾n kien ngh% Danh mnc cơng trình khoa hQC lu¾n án Tài li¾u tham khao 111 CUA tác gia liên quan đen 112 113 NHUNG KÍ HIfiU DÙNG TRONG LU¾N ÁN Z N T¾p nguyên dương T¾p hop hop các so so nguyên N0 T¾p hop so ngun khơng âm R T¾p hop so thnc E Không gian Banach thnc kha ly Chuan không gian Banach E ǁ· B σ-đai so Borel t¾p cna E ǁ (E) (Ω,F , P ) Không gian xác suat đay đn Card(A) So phan tu cna t¾p hop A IA Hàm chi tiêu cna t¾p hop A Phan tu (1, 1, , 1) ∈ Nd n n+m [m, n) Phan tu (n1, n2, , nd) ∈ Zd Phan tu (n1 + m1, n2 + m2, , nd + md) ∈ Zd Qd [mi, ni) i= n≤m n≺m n 2n m n1 ≤ m1, n2 ≤ m2, , nd ≤ md n ≤ m n ƒ= m d ∨ tai ít2nnhat i) ( nton d i= (n Phan tui ≤ (2nm , 2 , , ) m®t ≤ i ≤ d cho ni ≤ mi) 1 |n| ǁnǁ |nα| Phan tu (2n1α1 , 2n2α2 , , 2ndαd ) vói α = (α1, , αd) ∈ Rd Giá tr% |n| = n1n2 nd Giá tr% ǁnǁ = min{n1, n2, , nd} αd Giá tr% |nα| = 1nα12nα2 n vói α = (α1, , αd) ∈ Rd d 1/α log(x) Phan ,x 1/αd) logarittucơ(1/α so e1,cna max{log(x), } So ngun lón nhat khơng vưot q x nα log+(x) [x] Me ĐAU Lí cHQN đe tài 1.1 Lý thuyet martingale nghiên cúu nhung van đe liên quan đen lý thuyet trò chơi ve sau đưoc phát trien thnh mđt lnh vnc toỏn HQc chắt che, tro thành m®t mơ hình tốn HQc quan TRQNG có nhieu úng dung thong kê, phương trình vi phân, tốn kinh te Đ¾c bi¾t, gan có nhieu úng dung thú v% chúng khoán, thu hút nhieu nhà tốn HQc quan tâm Ve phương di¾n xác suat, martingale sn mo r®ng cna tőng bien ngau nhiờn đc lắp kỡ vQNG khụng 1.2 Cỏc %nh lý giói han đóng vai trị quan TRQNG lý thuyet xác suat, chúng đưoc ví nhung viên NGQc cna xác suat, Kolmogorov tùng nói "Giá tr% chap nh¾n đưoc cna lý thuyet xác suat đ%nh lí giói han, ket qua chn yeu nhat quan TRQNG nhat cna lý thuyet xác suat lu¾t so lón" Ngày nay, đ%nh lý giói han van van đe có tính thịi sn cna lý thuyet xác suat 1.3 Tù nhung năm 1950 tro lai đây, đ%nh lý giói han đưoc nghiên cúu mo rđng cho dóy bien ngau nhiờn nhắn giỏ tr% khơng gian Banach Tuy nhiên đoi vói trưịng hop trưịng hi¾u martingale vói dãy martingale tốn tu van chưa đưoc nghiên cúu nhieu Vói lí chúng tơi quyet đ%nh cHQN đe tài nghiên cúu cho lu¾n án cna là: Các đ%nh lý giái han cho martingale Mnc đích nghiên cÉu Luắn ỏn nghiờn cỳu sn hđi tu cng nh toc đ hđi tu cna cna trũng cỏc hiắu martingale nhắn giá tr% khơng gian Banach, lu¾t manh so lón Kolmogorov, lu¾t manh so lón Marcinkiewicz - Zygmund, lu¾t so lún dang Brunk-Prokhorov, luắt yeu so lún, hđi tu hon tồn h®i tu hồn tồn trung bình cna trưịng cỏc hiắu martingale Luắn ỏn nghiờn cỳu ve sn hđi tu cna dãy toán tu ngau nhiên, dãy martingale tốn tu ngau nhiên tích tốn tu ngau nhiờn đc lắp khụng gian Banach oi tưang nghiên cÉu Đoi tưong nghiên cúu cna lu¾n án trưịng bien ngau nhiên nh¾n giá tr% khơng gian Banach dãy tốn tu ngau nhiên nh¾n giá tr % khơng gian Bannach Pham vi nghiên cÉu Lu¾n án nghiên cúu đ%nh lý giói han lu¾t manh so lón, lu¾t yeu so lón, đ%nh lý ve h®i tu hồn tồn, h®i tu hồn tồn trung bình, toc đ® h®i tu cna tng cỏc trũng hiắu martingale, cỏc %nh lý ve hđi tu cho dãy martingale toán tu ngau nhiên tích vơ han cna dãy tốn tu ngau nhiên đc lắp nhắn giỏ tr% khụng gian Banach Phương pháp nghiên cÉu Lu¾n án su dung kĩ thu¾t cna xác suat, giai tích, giai tích ngau nhiên, công cu cna martingale đe chúng minh đ%nh lí h®i tu M®t so bő đe quan TRQNG như: Bő đe Borel-Cantelli, Bat thúc Kolmogorov, Bat thúc Doob, Bő đe Toeplitz, lý thuyet toán tu tat đ%nh, tính chat ve thác trien tốn tu, ngun lý đo th% đóng đưoc su dung đe chúng minh ket qua Ý nghĩa khoa HQC thEc tien Ý nghĩa khoa HQc: góp phan làm phong phú thêm ket qua sn hieu biet ve hđi tu cna chuoi ngau nhiờn, luắt manh so lún cna trưịng bien ngau nhiên nh¾n giá tr% khơng gian Banach, ket qua cna tốn tu ngau nhiên Ý nghĩa thnc tien: lu¾n án góp phan phát trien lý thuyet ve đ%nh lí giói han cna trưịng bien ngau nhiên nh¾n giá tr% không gian Banach lý thuyet xác suat Tong quan cau trúc lu¾n án 7.1 Tong quan lu¾n án Các đ%nh lí giói han xác suat đóng vai trò quan TRQNG phát trien lý thuyet, thnc hành xác suat thong kê Chính v¾y mà đ%nh lý ve giói han thu hút nhieu nhà khoa HQc nghiên cúu mo r®ng Đau tiên phai ke đen lu¾t so lón: Lu¾t so lón đau tiên cna Bernoulli đưoc công bo năm 1713 Ve sau, ket qua đưoc Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mo r®ng Tuy nhiên, phai đen năm 1909 lu¾t manh so lón mói đưoc Borel phát hi¾n Ket qua cna Borel đưoc Kolmogorov hồn thi¾n vào năm 1926, ta thưịng GQI lu¾t so lón dang Kolmogorov Đong thịi Kolmogorov chi rang trưòng hop dãy đai lưong ngau nhiờn đc lắp cựng phõn bo thỡ ieu kiắn can đn cna lu¾t manh so lón bien ngau nhiờn ú cú moment tuyắt oi cap mđt huu han Ket qua đưoc Marcinkiewicz Zygmund mo rđng (GQI l luắt so lún dang Marcinkiewicz-Zygmund) Brunk (1948) Prokhorov (1950) khái quát đieu ki¾n đn dang Kol- mogorov vói moment b¾c cao thu đưoc lu¾t manh so lón dang BrunkProkhorov Lu¾t so lón tiep tuc đưoc mo r®ng boi nhieu tác gia Tien, Quang, Hung, Thanh, Huan, Dung, Stadtmulle, Rosalsky, Volodin (xem [47],[48],[49],[16],[14],[67],[50],[30]) bang cỏch lm nhe ieu kiắn đc lắp cna dãy bien ngau nhiên (như nghiên cúu trưòng hop dóy cỏc hiắu martingale, cho cỏc hđp đc lắp, v h®p martingale), nghiên cúu cho trưịng hop chi so nhieu chieu, ho¾c xem xét khơng gian khác Trong lu¾n án chúng tơi tiep tuc nghiên cúu đ%nh lý lu¾t so lón cho trưịng hi¾u martingale, trũng hđp cỏc -hiắu martingale nhắn giỏ tr% khơng gian Banach p-kha trơn, trưịng bien ngau nhiên α-tương thích manh nh¾n giá tr% khơng gian Bannach p-kha trơn Đ%nh lý giói han cịn đưoc nghiên cúu dưói dang chuoi ngau nhiên, đau tiên đưoc biet đen vói đ%nh lý hai chuoi, ba chuoi sau nghiên cúu ve toc đ® h®i tu cna chuoi đc lắp, chuoi hiắu martingale, (xem [51],[52],[64]) Cỏc khỏi niắm khỏc nh hđi tu hon ton, hđi tu hồn tồn trung bình đưoc nhieu tác gia quan tâm, nghiên cúu (như [31], [34], [7],[53],[10]) Trong lu¾n văn chúng tơi nghiên cúu ve h®i tu hồn tồn, h®i tu hồn tồn trung bình, đánh giá toc đ® h®i tu cna chuoi trưịng ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN... SO LéN CHO TRƯèNG CÁC HIfiU MARTINGALE Trong chương chúng tơi trình bày ket qua ve lu¾t manh so lón cho trũng hđp cỏc -hiắu martingale, luắt so lún dang BrunkProkhorov cho trưịng hi¾u martingale. .. cúu đ%nh lý giói han lu¾t manh so lón, lu¾t yeu so lón, đ%nh lý ve h®i tu hồn tồn, h®i tu hồn tồn trung bình, toc đ® h®i tu cna tőng trưịng hiắu martingale, cỏc %nh lý ve hđi tu cho dóy martingale