Luật số lớn đối với martingale trên trường ngẫu nhiên

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC PHAM TH± THU PHƯƠNG LU¾T SO LéN ĐOI VéI MARTINGALE TRÊN TRƯèNG NGAU NHIÊN LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê toán HQC Mã so: 60 46 01 06 Ngưài hưáng dan khoa HQC GS.TSKH Nguyen Duy Tien HÀ N®I - 2015 Mnc lnc Lài cam ơn Ma đau M®t so kí hi¾u Kien thÉc chuan b% 1.1 Kì vQNG có đieu ki¾n 1.1.1 Đ%nh nghĩa 1.1.2 M®t so tính chat ban cna kì vQNG có đieu ki¾n 1.2 Dãy martingale 12 1.2.1 Đ%nh nghĩa 12 1.2.2 Các tính chat 14 Trưàng martingale 24 2.1 Trưòng martingale trnc giao 24 2.1.1 Đ%nh nghĩa ví du .24 2.1.2 Các bat thúc ban .27 2.1.3 σ-trưòng tn nhiên trnc giao 31 2.1.4 Khỏi niắm hđi tu .33 2.2 Trưòng martingale .40 2.2.1 Đ%nh nghĩa 40 2.2.2 M®t so tính chat 41 Lu¾t so lán 46 3.1 Lu¾t yeu so lón 46 3.2 Lu¾t manh so lón .55 Tài li¾u tham khao 64 Lài cam ơn Trưóc trình bày n®i dung cna khóa lu¾n, em xin gui lịi cam ơn sâu sac tói GS.TSKH Nguyen Duy Tien ngưịi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành khóa lu¾n Em xin bày to lòng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin hQc, Đai HQ c Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i day bao em t¾n tình suot q trình HQ c t¾p tai khoa Nhân d%p em xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình HQc t¾p thnc hiắn khúa luắn tot nghiắp H Nđi, Ngy 17 thỏng 12 năm 2015 HQc viên Pham Th% Thu Phương Ma au Xỏc suat l mđt bđ phắn cna toỏn HQ c nghiên cúu hi¾n tưong ngau nhiên Lý thuyet xác suat nham tìm nhung quy lu¾t nhung hiắn tong "tong chựng" nh khụng cú quy luắt Mđt nhung hi¾n tưong ngau nhiên đưoc nghiên cúu ngày tro thành cơng cu tốn HQc quan TRQNG lĩnh vnc cna xác suat giai tích lý thuyet ve martingale Martingale bat đau tù trò chơi e trò chơi đưoc hieu theo nghĩa r®ng: chơi bài, mua ső so, đánh so đe, cő phieu hay bo von đau tư bat chơi đau cu®c chơi,làngưịi chơiván có chơi von 0, thơng tin ban đau màKhi ngưịi biet đưoc F0 Sau thúMnhat, von cna ngưòi chơi se bien ngau nhiên M1, thông tin sau ván chơi thú nhat se tăng lên:F0 ⊂ F1 Tiep tuc chơi ván thú hai, von sau chơi ván hai se bien ngau nhiên M2 thơng tin bây giị se tăng lên:F0 ⊂ F1 ⊂ F2 Bang cách đó, tien von se có sau ván thú n bien ngau nhiên Mn, thông tin sau chơi ván thú n Fn Như v¾y, von cna ngưịi chơi thơng tin thu th¾p đưoc l¾p thành dãy {Mn , Fn } Ve phương di¾n tốn HQc, ta có the xem Fn dãy σ − trưịng khơng giam, dãy Mn bien ngau nhiên phu thu®c vào Fn − đo đưoc -Trò chơi đưoc xem khơng thi¾t hai ho¾c cơng bang: Von ván sau = von ván trưóc E (Mn+1|Fn ) = Mn đưoc gQI martingale -Trị chơi đưoc xem thi¾t hai: Von ván sau ≤ von ván trưóc E (Mn+1 |Fn ) ≤ Mn đưoc gQI martingale -Trò chơi đưoc xem có loi: Von ván sau ≥ von ván trưóc E (Mn+1|Fn ) ≥ Mn đưoc gQI martingale dưói Thịi gian đau tiên ngưịi chơi đat đưoc muc đích đ¾t đưoc thịi điem dùng Lý thuyet martingale m®t mơ hình tốn HQ c quan TRQNG GQI có nhieu úng dung thong kê, phương trình vi phân, tốn kinh te Đ¾c bi¾t, gan có nhieu úng dung thú v% chúng khốn, thu hút nhieu nhà toán HQc quan tâm Ve phương diắn xỏc suat, martingale l sn mo rđng cna tng cỏc bien ngau nhiờn đc lắp kỡ vQNG khụng Cỏc đ%nh lý giói han đóng vai trị quan TRQNG lý thuyet xác suat, chúng đưoc ví nhung viên NGQc cna xác suat, Kolmogorov tùng nói "Giá tr% chap nh¾n đưoc cna lý thuyet xác suat đ%nh lí giói han, ket qua chn yeu nhat quan suat lu¾t so lón" TRQNG nhat cna lý thuyet xác Lu¾n văn trình bày ve lu¾t so lón cho Martingale vói chi so nhieu chieu Lu¾n văn đe c¾p tói khái ni¾m ve trưịng Martingale, trưịng hi¾u Martingale, chúng minh bat thúc Doob cna trưịng hi¾u Mar- tingale, chúng minh đ%nh đ%nh lí ve lu¾t manh so lón lu¾t yeu so lón cho trưịng hi¾u Martingale Bo cnc lu¾n văn bao gom: Chương Kien thÉc chuan b% Gom khái ni¾m ban ve xác suat giói thi¾u khái qt ve kỡ vQNG cú ieu kiắn, martingale mđt chi so vói thịi gian rịi rac gom có bat thúc ban, bat thúc Doob đ%nh lý Doob ve sn h®i tu cna martingale Chương Trưàng martingale Gom phan: Phan 1:Giói thi¾u ve martingale gom: khái ni¾m martingale trnc giao, bat thúc ban, đ%nh lý h®i tu Cairoli ve sn h®i tu cna martingale trnc giao Phan 2: Dna lý thuyet cna martingale m®t chi so martingale trnc giao se đưa khái ni¾m ve trưịng martingale, moi liên h¾ giua martingale trnc giao martingale Qua thùa nh¾n ket qua ve bat thúc tính h®i tu cna martingale xây dnng vói martingale trnc giao, trưịng h¾u martingale Chương Lu¾t so lán Gom phan: Phan 1: Luắt yeu so lún Mđt so %nh lý quan Phan 2: Luắt manh so lún Mđt so %nh lý quan TRQNG Mđt so kớ hiắu (, F, P) : khơng gian xác suat R : trưịng so thnc N : trưòng so tn nhiên I : hàm chi tiêu B : t¾p Borel F : σ − đai so tương thích G : σ − đai so E : kì vQNG L bien khacap tích1 trên(Ω, F, [0, P).1] L12 :: t¾p t¾p tat ca cácngau hàmnhiên kha tích đoan L : t¾p tat ca hàm kha tích cap đoan [0, 1] Kí hi¾u viet tat h.c.c : hau chac chan LMSL : lu¾t manh so lón α = (α1, , αd) = (1, 1, , 1) ∈ Nd n = (n1, , nd) m = (m1, , md) m ≤ n : m1 ≥ n1, m2 ≥ n2, , md ≥ nd m > n : m ≤ n, m ƒ= n d |n| =Y ni i=1 d Yα |n |i=1 = αi i Nd := {n n = (n1, , nd)|ni ∈ N} Zd := {n = (n1, , nd)|ni ∈ Z} Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 1.1.1 Kì vQNG có đieu ki¾n Đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.1.1 Gia su (Ω, F , P) không gian xác suat; X : Ω −→ R, E|X| < ∞ bien ngau nhiên G σ-đai so cua F Khi đó, bien ngau nhiên Y đưac GQI kì VQNG có đieu ki¾n cua X đoi vái σ-đai so G neu: • Y bien ngau nhiên G-đo đưac • Vái mői A ∈ G ta có: ∫ ∫ Y dP = XdP A A Ta kí hi¾u Y = E(X|G) hay Y = EGX 1.1.2 M®t so tính chat ban cua kì vQNG có đieu ki¾n Gia su (Ω, F , P) không gian xác suat, bien ngau nhiên đeu có kì vQNG, G σ-đai so cna F Đ%nh lý 1.1.1 Neu X = c (hang so) thì: E(X, G) = E(c|G) = c (h.c.c.) Chúng ta de dàng chúng minh đưoc (3.21) bang cách su dung cách chúng minh tương tn (3.19) Cho {Xn, Fn; n ∈ Zd} trưịng hi¾u martingale Trong phan này, {an; n ∈ Zd} ln m®t trưịng so thnc kha tőng tuy¾t đoi cho Tk = aiXi+k hđi tu v Sn = T k 1≤k≤n i∈Zd Đ%nh lý 3.2.1 Vái mői trưàng hi¾u martingale {Xn , Fn ; n ∈ Zd }, MQI trưàng so thnc kha tőng tuy¾t đoi {an ; n ∈ Zd } cho Tk = i Σ∈ aiXi+k h®i tn vái ∀n ≤ m Zd < inf b2n+ b2 m 1≤n≤m Σ Neu n∈Z b2 n ≤ sup n≤ − n≤1 P max |S |n| ab n k p k k≤1 Σ (3.22) b2n Σ | ∞ E|Xn p.ϕ(n) < , ϕ(n) = d < ∞ Σ< |> sbn k ∞ (3.23) k≤n Thêm vào đó, lu¾t manh so lán (LMSL) max |S |n| (3.24) →∞ bn 1≤k≤n Chúng minh Chú ý rang Sn = k | −− → Σ 1≤k≤ n Tk = Σ a i Σ Xj i∈Z d i+1≤j≤i+ Do bő đe (3.2.2), thú tn đe chúng minh (i) ⇒ (ii) thay rang Σ P max n n {1≤k≤2 |Sk| > sb2 } < ∞, ∀s > n≤1 Áp dung bat thúc Markov, bat thúc Holder ta có Σ ΣP ≤ Σ max s n≤ p n≤ b 1 1≤k≤2 n | S k| > sb2n Σ Σ  Σ ≤ n≤1 p spb p.n | |i E n i∈ d Z a max 1≤k≤2 i+1≤j≤i+k Xj  ≤ Σ Σ n≤ Σ p Σ  i+1≤j≤i+ n d ≤C | Σp−1  Σ |i spb i∈Z  a E max | ai| Σ 1≤k≤2 i∈Zd Σ |a | Xj  E|X |p  j Σ spb Σ i Σ 12  n≤ =C  i∈Z |a i+1≤j≤i+2 | E|X |p  d i spb2 n≤ i∈Z =CΣ |ai|E| d X Σ j i+1≤j≤i+2 Σ |p i+ k≤1 i∈Zd n:k≤2 Σ bp 2n n k i∈Zd = C Σ E|Xi+k|p | ai| ≤C Σ Σ j∈Zd Σ b k≤1 E|Xj|p i≤j− theo((3.22)) p k |ai| b p j−i E|X|p.ϕ(j) < ∞ =C j∈Zd Ta có (3.23), (3.24) de dàng suy boi (3.23) bő đe (3.2.2) Đ%nh lý tiep theo chỳng minh mđt ieu kiắn ay n khỏc cho (3.23) đe giu đieu ki¾n cna hàm L(x) Rp(x) Đ%nh lý 3.2.2 Cho {Xn , Fn ; n ∈ Zd } trưàng hi¾u martingale lay giá tr% không gian thnc Lay {bn , n ≤ 1} trưàng hang so dương cho bn ≤ bm vái ∀n ≤ m bn → +∞ |n| → +∞ T¾p N (x) = card{n; bn ≤ x} vái MQI x > Neu {Xn; n ∈ Zd} l b% chắn ngau nhiờn bỏi mđt bien ngau nhiên X cho Khi E|X| p Rp(| X|) < ∞, E|X| L(| X|) sb < ∞ (3.25) n≤1 |n| k≤n Thêm vào đó, neu sup b2 +1 < ∞, ta có LMSL b2 n n≤ 1 n max |Sk| → |n| → ∞ bn 1≤k≤n (3.26) Chúng minh Cho ≤ i ≤ n, ta có t¾p ∗ Yni = Xi I{|Xi |>bn } − E(Xi I{|Xi |>bn } |Fi ) ∗ Zni = Xi I{|Xi |≤bn } − E(Xi I{|Xi |≤bn } |Fi ) Rõ ràng: Xn = Yni + Zni vói MQI 1≤i≤n Cho s > tùy ý, su dung bat thúc Chebyshew bő đe 3.2.3 ta đưoc Σ Σ  A=Σ P  max ≥ sbn  n≤1 n| ≤ Σ | 1≤k≤n Zd i∈ Σ |n|bns n≤1 Yni i+1≤j≤i+k |a |E max i 1≤k≤n i∈Zd Σ 1Σ {|X|≥bn} sb ≤ n≤ i∈Z |a |E|X|I d n Σ ∫ Σ X j i+1≤j≤i+k ≤C ∞ Σ P(|X| > s)ds +C n≤1 B =Σ n n≤1 n b P  max P(|X| > bn) < ∞ Σ Σ Zni ≥ sbn  p n≤1 | n| 1≤k≤n i∈Zd i+1≤j≤i+k ≤Σ sp n≤ |n|bnp d Σ ≤C Σ |ai| Σp−1 i∈Z Σ p p n≤ i Σ |ai|E max 1≤k≤ n i∈Z d d ∈Z| ai| Σp−1 n p sp− n≤1 bn Zni i+1≤j≤i+  Σ|a  i| Σ   E|Xn| I{|X |≤b } p i∈Z d |n|bns Σ {|X|≤b } n ≤C E|X|pI n≤ n b p Σ ∫∞ ≤C P(|X| > s)ds < ∞ b Σ i i+1≤j≤i+n n Do đó, P( max |Si | ≥ 2sbn ) ≤  max 1≤k≤n 1≤i≤n + P  Σ i a Σ Σ i a Σ Yni ≥ sbn  i+1≤j≤i+k Zni ≥ sbn  < ∞ max 1≤k≤n i∈Zd i+1≤j≤i+k Đieu phai chúng minh Tóm lai, trưịng hop bn = |nα| thu oc mđt so ieu kiắn múi ay n cho đ%nh lý 3.2.2 Đ%nh lý 3.2.3 Cho Xn, Fn; n ∈ Zd trưàng hi¾u martingale lay giá tr% không gianΣthnc vái p > Lay α1, , αd hang so dương thóa mãn < {α1, , αd} < q, s so nguyên dương cho p αs = {α1, , αd} NeuXn; n ∈ Zd b% ch¾n ngau nhiên bái bien Σ ngau nhiên X cho vái r = r E(|X| logq−1 |X|) < ∞ {α1, , Khi đó, αd} P, max |Sk | > s|nα |, < ∞ |n| 1≤k≤n n≤1 Σ LMSL (3.27) |nα max |Sk| → |n| → ∞ | 1≤k≤n Chúng minh Cho ≤ k ≤ n, t¾p (3.28) ∗ Yni = Xi I{|Xi |>|nα |} − E(Xi I{|Xi |>|nα |} |Fi ), ∗ Zni = Xi I{|Xi |≥|nα |} − E(Xi I{|Xi |≤|nα |} |Fi ) Rõ ràng ta thay Xn = Yni + Zni vói ≤ i ≤ n Chúng ta có Σ Σ  P(max |Si| ≥ 2s|nα|) ≤ P  max Yni ≥ s|nα| i≤n k≤n MQI i∈Zd i+1≤j≤i+k +P max Σ Σ Zni ≥ s|nα| k≤n d i+1≤j≤i+k i∈Z Khi đó, đe chúng minh (3.25) đieu ki¾n đn chúng minh Σ A=Σ P max Σ a ≥ s|nα| < ∞ i n≤1 |n| k≤ n Yni i+1≤j≤i+k i∈Zd B =Σ n≤1 P max Σ a |n| k≤ n Σ i ≥ s|nα| < ∞ Zni i+1≤j≤i+k i∈Zd Cho A B bien giong chúng minh đ%nh lý 3.2.2 bő đe 3.2.1 , ta có A≤ C Σn≤1 P{|X| ≥ | |} + nα C Σ ∫ ∞ P{|X| ≥ t}dt < ∞ α |n n≤1 | α |n | |nα|p nα B ΣC | ≤ n≤1 | ∫ p P{|X|p ≤ t}dt < ∞ Đ%nh lý đưoc chúng minh tr% không gian thnc vái p > Lay α1, ,d αd hang so dương Đ%nh lý 3.2.4 Cho {Xn, Fn; n ∈ Z } trưàng hi¾u martingale lay giá thóa mãn {α1, , αd} = lay q, s so nguyên cho αs = = {α1, , αd} Neu Xn; n ∈ qZ b% ch¾n ngau nhiên bái bien ngau nhiên X cho E(|X| log |X|) < ∞ Khi đó, (3.27) (3.28) LMSL dΣ Chúng minh Chúng minh tương tn đ%nh lý 3.2.3 su dung (i) (iii) cna bő đe 3.2.1 Tài li¾u tham khao [1] Davar Khoshinevisan, Multiparameter Resources: An Introduction to Random Fields, Springer, 2002 [2] Oleg Klesov, Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables, Springer, 2010 [3] Ta Cong Son, Dang Hung Thang, Phan Viet Thu, Weak Laws of Large Numbers for Fields of Random Variables in Banach Spaces, Journal of Probability and Statistical Science , Aug-2015 [4] Ta Cong Son, Dang Hung Thang, Le Van Dung, Rate of complete convergence for maximums of moving average sums of martingale difference fields in Banach spaces, Statistics and Probability Letters, 2012 [5] Nguyen Duy Tien, Các mơ hình xác suat úng dnng, Phan III Giai tích ngau nhiên, NXB ĐHQGHN, in lan thú II, 2005 [6] Đ¾ng Hùng Thang, Xác suat nâng cao, NXB ĐHQGHN, 10-2012 [7] Nguyen Duy Tien, Vũ Viet Yên Lý thuyet xác suat, NXB Giáo duc Vi¾t Nam, tái ban lan thú 6, 5-2013 ... Cho M A martingale (ho¾c martingale dưói-ho¾c martingale trên) , đ%nh nghĩa: Tong martingale A là: An = Nd Tích martingale M là: Σ d MnAA , n ∈ A=1 Mn = Yd A= M An , n ∈ N0d A Ta thay A M martingale. .. thuyet cna martingale m®t chi so martingale trnc giao se đưa khái ni¾m ve trưịng martingale, moi liên h¾ giua martingale trnc giao martingale Qua thùa nh¾n ket qua ve bat thúc tính h®i tu cna martingale. .. Σ Σ h.c.c.) • Martingale trEc giao trên, neu: Vái mői ≤ i ≤ d, ∀(nj : ≤ j ≤ i, j ƒ= i), nj ›→ Mn martingale đoi vái σ-đai so tương thích F i ã Martingale trEc giao, neu: M l mđt martingale trnc