Các định lý giới hạn cho martingale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Tạ Công Sơn LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, GS TSKH Đặng Hùng Thắng định hướng gợi mở vấn đề Thầy nghiên cứu, nghiêm khắc Thầy học tập bao dung Thầy sống dành cho tác giả Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô Bộ môn Xác suất thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, nơi tác giả công tác giảng dạy, giúp đỡ tác giả nhiều q trình học tập hồn thành luận án Trong q trình học tập hồn thành luận án, tác giả vô biết ơn nhận quan tâm giúp đỡ góp ý GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, GS.TS Nguyễn Văn Hữu, GS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Phan Viết Thư, PGS.TS Trần Hùng Thao, PGS.TS Hồ Đăng Phúc, TS Trần Mạnh Cường, TS Nguyễn Thịnh, TS Lê Văn Dũng, TS Lê Văn Thành, TS Nguyễn Văn Huấn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới anh, TS Lê Văn Dũng nhiều giúp đỡ, đóng góp quý báu Tác giả xin gửi lời cám ơn tới tất thầy cơ, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tác giả trình học tập hồn thành luận án Luận án q quý giá tác giả dành tặng cha mẹ, hai em gái, em rể người vợ cưới người bên cạnh động viên tác giả lúc khó khăn Tạ Cơng Sơn MỤC LỤC Những kí hiệu dùng luận án Mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị khái niệm 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số dạng hội tụ trường biến ngẫu nhiên 1.3 Trường hiệu martingale 1.4 Toán tử ngẫu nhiên 10 10 13 19 22 Chương Luật số lớn cho trường hiệu martingale 26 2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp α-hiệu martingale 26 2.2 Luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov 39 2.3 Luật yếu số lớn cho trường α-tương thích mạnh 50 Chương Hội tụ hoàn toàn tốc độ hội hiệu Martingale 3.1 Hội tụ hoàn toàn 3.2 Hội tụ hoàn toàn trung bình 3.3 Tốc độ hội tụ chuỗi ngẫu nhiên tụ trường 57 57 66 76 Chương Sự hội tụ dãy martingale toán tử 88 4.1 Hội tụ dãy martingale toán tử 88 4.2 Sự hội tụ tích tốn tử khơng bị chặn độc lập 97 Kết luận kiến nghị 111 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 112 Tài liệu tham khảo 113 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN Z N N0 R E · B(E) (Ω, F, P ) Card(A) IA n n+m [m, n) n m n≺m n m n 2nα |n| n |nα | 1/α log(x) log+ (x) [x] Tập hợp số nguyên Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số nguyên không âm Tập hợp số thực Không gian Banach thực khả ly Chuẩn không gian Banach E σ -đại số Borel tập E Không gian xác suất đầy đủ Số phần tử tập hợp A Hàm tiêu tập hợp A Phần tử (1, 1, , 1) ∈ Nd Phần tử (n1 , n2 , , nd ) ∈ Zd Phần tử (n1 + m1 , n2 + m2 , , nd + md ) ∈ Zd d i=1 [mi , ni ) n1 ≤ m1 , n2 ≤ m2 , , nd ≤ md n m n = m ∨di=1 (ni ≤ mi ) ( tồn ≤ i ≤ d cho ni ≤ mi ) Phần tử (2n1 , 2n2 , , 2nd ) Phần tử (2n1 α1 , 2n2 α2 , , 2nd αd ) với α = (α1 , , αd ) ∈ Rd Giá trị |n| = n1 n2 nd Giá trị n = min{n1 , n2 , , nd } Giá trị |nα | = nα1 nα2 nαd d với α = (α1 , , αd ) ∈ Rd Phần tử (1/α1 , , 1/αd ) logarit số e x max{log(x), 0} Số nguyên lớn không vượt x MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Lý thuyết martingale nghiên cứu vấn đề liên quan đến lý thuyết trò chơi sau phát triển thành lĩnh vực toán học chặt chẽ, trở thành mơ hình tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng thống kê, phương trình vi phân, toán kinh tế Đặc biệt, gần có nhiều ứng dụng thú vị chứng khốn, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm Về phương diện xác suất, martingale mở rộng tổng biến ngẫu nhiên độc lập kì vọng khơng 1.2 Các định lý giới hạn đóng vai trị quan trọng lý thuyết xác suất, chúng ví viên ngọc xác suất, Kolmogorov nói "Giá trị chấp nhận lý thuyết xác suất định lí giới hạn, kết chủ yếu quan trọng lý thuyết xác suất luật số lớn" Ngày nay, định lý giới hạn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất 1.3.Từ năm 1950 trở lại đây, định lý giới hạn nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Tuy nhiên trường hợp trường hiệu martingale với dãy martingale toán tử chưa nghiên cứu nhiều Với lí chúng tơi định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Các định lý giới hạn cho martingale Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu hội tụ tốc độ hội tụ của trường hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach, luật mạnh số lớn Kolmogorov, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov, luật yếu số lớn, hội tụ hoàn toàn hội tụ hoàn toàn trung bình trường hiệu martingale Luận án nghiên cứu hội tụ dãy toán tử ngẫu nhiên, dãy martingale tốn tử ngẫu nhiên tích tốn tử ngẫu nhiên độc lập khơng gian Banach Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach dãy tốn tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Bannach Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu định lý giới hạn luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn, định lý hội tụ hoàn tồn, hội tụ hồn tồn trung bình, tốc độ hội tụ tổng trường hiệu martingale, định lý hội tụ cho dãy martingale toán tử ngẫu nhiên tích vơ hạn dãy tốn tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng kĩ thuật xác suất, giải tích, giải tích ngẫu nhiên, công cụ martingale để chứng minh định lí hội tụ Một số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bất đẳng thức Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob, Bổ đề Toeplitz, lý thuyết toán tử tất định, tính chất thác triển tốn tử, nguyên lý đồ thị đóng sử dụng để chứng minh kết Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết hội tụ chuỗi ngẫu nhiên, luật mạnh số lớn trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, kết toán tử ngẫu nhiên Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết định lí giới hạn trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach lý thuyết xác suất Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Các định lí giới hạn xác suất đóng vai trị quan trọng phát triển lý thuyết, thực hành xác suất thống kê Chính mà định lý giới hạn thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cứu mở rộng Đầu tiên phải kể đến luật số lớn: Luật số lớn Bernoulli công bố năm 1713 Về sau, kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn Borel phát Kết Borel Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926, ta thường gọi luật số lớn dạng Kolmogorov Đồng thời Kolmogorov trường hợp dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân bố điều kiện cần đủ luật mạnh số lớn biến ngẫu nhiên có moment tuyệt đối cấp hữu hạn Kết Marcinkiewicz Zygmund mở rộng (gọi luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund) Brunk (1948) Prokhorov (1950) khái quát điều kiện đủ dạng Kolmogorov với moment bậc cao thu luật mạnh số lớn dạng Brunk-Prokhorov Luật số lớn tiếp tục mở rộng nhiều tác Tien, Quang, Hung, Thanh, Huan, Dung, Stadtmulle, Rosalsky, Volodin (xem [47],[48],[49],[16],[14],[67],[50],[30]) cách làm nhẹ điều kiện độc lập dãy biến ngẫu nhiên (như nghiên cứu trường hợp dãy hiệu martingale, cho hộp độc lập, hộp martingale), nghiên cứu cho trường hợp số nhiều chiều, xem xét không gian khác Trong luận án tiếp tục nghiên cứu định lý luật số lớn cho trường hiệu martingale, trường hộp α-hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn, trường biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh nhận giá trị khơng gian Bannach p-khả trơn Định lý giới hạn nghiên cứu dạng chuỗi ngẫu nhiên, biết đến với định lý hai chuỗi, ba chuỗi sau nghiên cứu tốc độ hội tụ chuỗi độc lập, chuỗi hiệu martingale, (xem [51],[52],[64]) Các khái niệm khác hội tụ hoàn toàn, hội tụ hồn tồn trung bình nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu (như [31], [34], [7],[53],[10]) Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu hội tụ hồn tồn, hội tụ hồn tồn trung bình, đánh giá tốc độ hội tụ chuỗi trường hiệu martingale nhận giá trị không gian p-khả trơn Khái niệm toán tử ngẫu nhiên mở rộng ma trận ngẫu nhiên giới thiệu cơng trình Skorokhod [56] nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Thắng, Thịnh, [73], [69], [74] Trong luận văn tiếp tục nghiên cứu hội tụ dãy toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Các kết luận án báo cáo Seminar môn hội nghị: Hội nghị khoa học chúc mừng sinh nhật G.S Nguyễn Duy Tiến (Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Hà Nội, 2012), hội nghị toán học toàn quốc lần thứ 10 (Nha trang, 2013), đại hội toán học giới (ICM) Seoul, Hàn Quốc (2014), hội nghị tốn ứng dụng cơng nhiệp (Math-for-industry) Kyushu University, Nhật Bản (2014), đăng nhận đăng tạp chí: Statistics and Probability Letters, Applications of Mathematics, Journal of Inequalities and Applications, Journal of the Korean Mathematical Society, Journal of Probability and Statistical Science, gửi đăng tạp chí: An International Journal of Probability and Stochastic Processes, Journal of bulletin of the Korean Mathematical Society 7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục báo nghiên cứu sinh liên quan đến luận án tài liệu tham khảo, luận án trình bày bốn chương Chương trình bày khái niệm kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, khái niệm trường hiệu martingale, toán tử ngẫu nhiên, dãy toán tử ngẫu nhiên độc lập, dãy martingale toán tử ngẫu nhiên, số dạng hội tụ trường biến ngẫu nhiên dãy toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chương gồm ba mục, mục 2.1 đưa khái niệm trường hộp α-hiệu martingale trường hộp M-hiệu martingale; thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov Marcinkiewicz - Zygmund cho trường hộp α-hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach Mục 2.2 thiết lập Chứng minh Áp dụng Bổ đề 4.2.5, Bổ đề 4.2.9 theo quy nạp ta chứng minh x ∈ E, n ≥ 1, E Un x < ∞, E Vn x < ∞ Tiếp theo, Un+1 x = (I + An+1 )(Un x) = Un x + An+1 (Un x), nên ta có E(Un+1 x|Fn ) = Un x + E (An+1 (Un x)|Fn ) Đặt Un x = u, u Fn -đo được, Fn độc lập với F(An+1 ) E(An+1 x) = Theo Bổ đề 4.2.7, ta có E (An+1 (Un x)|Fn ) = E (An+1 u|Fn ) = Suy E(Un+1 x|Fn ) = Un x {Un x, Fn , n ≥ 1} martingale Tiếp theo, Vn+1 x = Vn (I + An+1 )x = Vn x + Vn (An+1 x), nên ta có E(Vn+1 x|Fn ) = Vn x + E (Vn (An+1 x)|Fn ) Đặt An+1 x = u Thì Eu = 0, Vn x Fn -đo F(u) độc lập với Fn Theo Bổ đề 4.2.8, ta có E (Vn (An+1 x)|Fn ) = E (Vn u|Fn ) = Vậy E(Vn+1 x|Fn ) = Vn x tức {Vn x, Fn , n ≥ 1} martingale Bây ta quay lại chứng minh định lý Trước hết, ta sup E Un x < ∞, n≥1 sup E Vn x < ∞ n≥1 Thật vậy, ta có E Un+1 E Un x + E An+1 (Un x) 106 Đặt ak = Ak , theo Bổ đề 4.2.5 E An+1 (Un x) an+1 E Un x Ta suy E Un+1 x) (1 + an+1 )E Un x Bằng phương pháp quy nạp, ta thu n E Un x x (1 + ak ) k=1 Theo Bổ đề 4.2.9, sup E Un x < ∞ n≥1 Tiếp theo, ta có E Vn+1 E Vn x + E (Vn (An+1 x) Ta E Vn x cn x , (4.6) n với cn = (1 + ak ) k=1 Thật vậy, với n = ta có E V1 x = E x+A1 x Giả sử khẳng định với n Theo Bổ đề 4.2.5, E (Vn (An+1 x) cn E An+1 x x (1+a1 ) = c1 x cn an+1 x Vậy E Vn+1 cn x + cn an+1 x = x cn (1 + an+1 ) = cn+1 Theo nguyên lý quy nạp, (4.6) Áp dụng Bổ đề 4.2.9, ta sup E Vn x < ∞ n≥1 theo Bổ đề 4.2.10, với giả thiết E có tính chất R-N áp dụng Định lý 1.1.7 ta thu lim Un x lim Vn x tồn h.c.c Vậy định lý chứng minh 107 Ví dụ 4.2.11 Cho (An ) dãy toán tử ngẫu nhiên độc lập, phân bố, cho EAk = 0, α > Thì tích (I + k=∞ Ak kα ) ∞ tích (I + k=1 Ak kα ) hội tụ h.c.c Chứng minh Giả sử a = An , E An x An x nα E nữa, b x Vì mà a x nα ∞ ∞ n=1 a = a < ∞ α nα n n=1 Vậy khẳng định suy từ Định lý 4.2.6 Định lý cung cấp điều kiện cho tích hội tụ Lp (p ≥ 1) Định lý 4.2.12 Giả sử E có tính chất R-N Ak x ∈ LEp (Ω), (p ≥ 1) cho E(Ak x) = với k ≥ x ∈ E Nếu ∞ Ak p Với x ∈ E, ta có (E Un+1 x p )1/p ≤ (E Un x p )1/p + (E An+1 (Un x) p )1/p ≤ (E Un x p )1/p + An+1 p (E Un x p )1/p (theo Bổ đề 4.2.5) = (1 + An+1 p )(E Un x p )1/p Sử dụng phương pháp quy nạp ta thu n p 1/p (E Un x ) ≤ x (1 + Ak p ), k=1 108 p 1/p nên sup(E Un x ) ∞ ≤ x n≥1 (1 + Ak p ) < ∞, k=1 p sup E Un x < ∞ n≥1 Hơn nữa, từ chứng minh Định lý 4.2.6, ta có {Un x, Fn , n ≥ 1} martingale, với giả thiết E có tính chất R-N áp dụng Định lý 1.1.7 ta Un x → U x Lp Tiếp theo, với trường hợp p = 1, đặt Ak = ak với k ≥ ∞ Theo Định lý 4.2.6, ta có U x = (I + Ak )x hội tụ h.c.c., nên U x = k=1 n ∞ (Un+1 − Un )x h.c.c Un x = (Uk+1 − Uk )x (với U0 x = 0), n=0 k=0 ∞ Un x − U x = (Uk+1 − Uk )x k=n ∞ ≤ (Uk+1 − Uk )x k=n ∞ = Ak+1 Uk x k=n Theo Bổ đề 4.2.5, ∞ E Un x − U x ≤ E( Ak+1 Uk x ) k=n ∞ = E Ak+1 Uk x k=n ∞ ≤ ak+1 E Uk x k=n ∞ ≤ ak+1 k=n ∞ ≤ k (1 + ) x i=1 ∞ (1 + ak ) k=1 ak k=n+1 109 x ∞ ∞ an < ∞ Áp dụng Bổ đề 4.2.9, k=1 ∞ (1 + ak ) < ∞ k=1 an → k=n+1 n → ∞, nên E Un x − U x → n → ∞ Vậy Un x → U x Lp (I + Ak ) hội tụ Lp tương tự Chứng minh k=∞ Kết luận chương Trong Chương 4, luận án giải vấn đề sau: - Thiết lập điều kiện để toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên mở rộng martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn hội tụ - Đưa định nghĩa tích tốn tử khơng bị chặn độc lập phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên sử dụng kĩ thuật hội tụ martingale thiết lập điều kiện để tích vơ hạn tốn tử ngẫu nhiên độc lập không bị chăn hội tụ 110 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận Luận án nghiên cứu hội tụ trường hiệu maritngale nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn nghiên cứu hội tụ dãy toán tử ngẫu nhiên Kết luận án là: Thiết lập luật số lớn dạng Kolmogorov Marcinkiewiz-Zygmund cho trường hộp α-hiệu martingale, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường hiệu Martingale nhận giá trị không gian Banach pkhả trơn, mở rộng luật yếu số lớn cho trường biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh Thiết lập kết hội tụ hoàn toàn, hội tụ hồn tồn trung bình, từ đánh giá tốc độ hội tụ luật số lớn Hơn nữa, đạt kết tốc độ hội tụ chuỗi ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn Thiết lập điều kiện để toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên mở rộng martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn hội tụ Đồng thời đưa định nghĩa tích tốn tử ngẫu nhiên không bị chặn độc lập, thiết lập điều kiện để tích vơ hạn tốn tử ngẫu nhiên không bị chặn độc lập hội tụ II Kiến nghị Trong thời gian tới mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu định lí giới hạn trung tâm dãy trường biến ngẫu nhiên E-giá trị Nghiên cứu định lý giới hạn áp dụng định lý giới hạn lý thuyết toán tử ngẫu nhiên 111 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Son T.C., Thang D.H (2013), "The Brunk-Prokhorov strong law of large numbers for fields of martingale differences taking values in a Banach space" Stat Probab lett., 83, pp.1901–1910 Son T.C., Thang D.H (2014) "On the convergence of series of martingale differences with multidimensional indices", J Korean Math Soc., Accepted Son T.C., Thang D.H., Dung L.V (2012), "Rate of complete convergence for maximums of moving average sums of martingale difference fields in Banach spaces", Stat Probab lett 82(4), pp.1978-1985 Son T.C., Thang D.H., Dung L.V (2014), "Complete convergence in mean for double arrays of random variables with values in Banach spaces", Appl of Math 59(2), pp.177-190 Son T.C., Thang D.H., Thu P.V (2013), "Weak laws of large numbers for fields of random variables in Banach spaces", J Probab Stat Sci., Accepted Son T.C., Thang D.H., Tien N.D (2014), "On the strong law of large numbers for block-wise(α, β)-martingale difference arrays in p-uniformly smooth Banach spaces", submitted to J Bull Korean Math Soc Thang D.H., Son T.C (2013) "On the convergence of the product of independent random operators", submitted to An Inter J Probab Stoch Process Thang D.H., Son T.C (2013) "Convergence for martingale sequences of random bounded operators" Preprint Thang D.H., Son T.C., Cuong T.M (2014), "Inequalities for sums of adapted random fields in Banach spaces and applications for strong law of large numbers" J Inequal Appl doi:10.1186/1029-242X-2014-446, pp.1-14 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adler A., Rosalsky A (1987), "On general strong laws for weighted sums of stochastically dominated random variables", Stoch Anal Appl , pp.1-16 [2] Assouad P (1975), Espaces p-lisses et q-convexes, Inégalités de Burkholder, Séminaire Maruey-Schwartz, Exp ZV [3] Borovskykh Y.V., Korolyuk V.S (1997), Martingale Approximation, VSP [4] Brunk H.D (1948), "The strong law of large numbers", Duke Math J 15, pp.181-195 [5] Cabrera M.O (1994), "Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights", Collectanea Mathematica 45(2), pp.121-132 [6] Chattecji S.D (1986), "Martingale convergence and the RadonNikodym theorem in Banach spaces", Math Scand 22, pp.21-41 [7] Chen P., Hu T.C., Volodin V (2006), "A note on the rate of complete convergence for maximus of partial sums for moving average processes in rademacher type Banach spaces", Lobachevskii J Math 21, pp.4555 [8] Christofidesm T.C., Serfling R.J (1990)," Maximal inequalities for multidimensionally indexed submartingale arrays" Ann.Probab 45(3), pp.436-641 113 [9] Choi B.D., Sung S.H (1985), "On convergence of (Sn −ESn )/n1/r , < r < for pairwise independent random variables", Bull Korean Math Soc 22(2), pp.79-82 [10] Chow Y.S (1988), "On the rate of moment convergence of sample sums and extremes" Bull Inst Math.Acad.Sin (N.S.) 16, pp.177201 [11] Chow Y S., Teicher H (1997), Probability Theory Independence, Interchangeability, Martingale, Springer, New York [12] Czerebak-Mrozowicz E.B., Klesov O.I., Rychlik Z (2002), "Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise independent random fields", Probab Math Statist 22(1), pp.127139 [13] Day M.M (1944), "Uniform convexity in factor and conjugate spaces", Ann.of Math 45, pp.375 -385 [14] Dung L.V (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces" Acta Math Vietnamica 35, pp.387-398 [15] Dung L.V., Son T.C., Tien N.D (2014), "L1 bounds for some martingale central limit theorems" Lithuanian Math J 54(1), pp.46-60 [16] Dung L.V., Tien N.D (2010), "Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces" Stat Probab lett 80 (9-10), pp.756-763 [17] Edgar G.A., Louis S (1992), Stopping times and directed processes, 47, Cambridge University, England [18] Fazekas I.; Klesov O (2000), "A general approach to the strong law of large numbers" Theory Probab Appl 45(3), 436-449 [19] Fazekas I., Tómács T (1998), "Strong laws of large numbers for pairwise independent random variables with multidimensional indices", Publ Math Debrecen 53(1-2), pp.149-161 114 [20] Feller W (1971), An introduction to probability theory and its applications, 2, 2nd ed Wiley, New York [21] Gaposhkin V.F (1995), "On the strong law of large numbers for blockwise independent and block-wise orthogonal random variables", Theory Probab Appl 39, pp.667 - 684 [22] Gut A (2001), "Convergence rates in the central limit theorem for multidimensionally indexed random variables", Studia Sci Math Hungar 37, pp.401-418 [23] Gut A., Stadtmă uller U (2009), "An asymmetric MarcinkiewiczZygmund LLN for random fields", Stat Probab Lett 79, pp.10161020 [24] Hoffmann-Jørgensen J., Pisier G (1976), "The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces", Ann.Probability 4(4), pp.587-599 [25] Hong J.I., Tsay J (2010), "A strong law of large numbers for random elements in Banach spaces", Southest Asian Bulletin of Mathematics 34, pp.257-264 [26] Hong D.H., Volodin A.I (1999), "Marcinkewicz-type law of large numbers for double arrays", J.Korean Math.Soc 36(6), pp.1133 - 1143 [27] Hu S., Chen G., Wang X (2008), "On extending the Brunk-Prokhorov strong law of large numbers for martingale differences", Statist Probab Lett 78, pp.3187-3194 [28] Huan N.V and Quang N.V (2012) "The Doob inequality and strong law of large numbers of multidimensional arrays in general Banach spaces" Kybernetika 48, pp.254-267 [29] Huan N.V., Quang N.V., Volodin A.(2010), "Strong laws for blockwise Martingale difference arrays in Banach spaces" Lobachevskii Journal of Math 31(4), pp.326 - 335 115 [30] Hung N.V., Tien N.D (1992), "On the almost sure convergence of two-parameter martingales and the strong law of large numbers in Banach spaces" Acta Math Vietnam 17(1), pp.127-143 [31] Hsu P.L., Robbins.H (1947), "Complete convergence and the law of large numbers" Proc.Nat Acad Sci U.S.A 33, pp.25-31 [32] Kwapie´ n S., Woyczy´ nski W.A (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkhăauser, Boston [33] Lagodowski Z.A (2009), "Strong laws of large numbers for B-Valued Random Fields", Discrete Dynamics in Nature and Society, Article ID 485412, 12 p doi:10.1155/2009/485412 [34] Li D., Rao M.B., Wang X., (1992), "Complete convergence of moving average processes" Stat Probab Lett 14, pp.111-114 [35] Lindenstrauss J (1963), "On the modulus of smoothness and divergent series in Banach spaces", Michigan Math J 10, pp.241-252 [36] Loève M (1977), Probability Theory, I, 4th Edition Springer, New York [37] Móricz F (1987), "Strong limit theorems for block-wise m-dependent and block-wise quasiorthogonal sequences of random variables" Proc Amer Math Soc 101, pp.709 - 715 [38] Múricz F., Stadtmă uller U., Thalmaier M (2008), "Strong laws for block-wise M-dependent random fields", J Theoret Probab 21 , pp.660 - 671 [39] Noszaly C., Tomacs T (2000), "A general approach to strong laws of large numbers for fields of random variables", Annales Univ Sci Budapest 43, pp.61-78 [40] Pisier G (1975), "Martingales with values in uniformly convex spaces", Israel J Math 20 (3-4), pp.326-350 116 [41] Pisier G (1986) "Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces, in: Probability and Analysis (Varenna, 1985)", Lecture Notes in Math Springer, Berlin 1206, pp.167-241 [42] Prokhorov Y.V (1950) "On the strong law of large numbers", Izv AN SSSR Ser Matem 14, pp.523-536 [43] Quang N.V., Huan N.V (2008), "On the weak laws of large numbers for double arrays of Banach spaces valued Random elements" J Probab Sta Sci 6, pp.125-134 [44] Quang N.V., Huan N.V (2009), "On the strong laws of large numbers and Lp -convergence for double arrays of random elements in puniformly smooth Banach spaces" Stat Probab Lett., 79, pp.18911899 [45] Quang N.V., Huan N.V (2010), A Characterization of p-uniformly Smooth Banach Spaces and Weak Laws of Large Numbers for ddimensional Adapted Arrays, Sankhya: The Indian J 72(A), 344358 [46] Quang N.V., Son L.H (2006), "On the weak law of large numbers for sequences of Banach space valued random elements", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.551-558 [47] Quang N.V., Thanh L.V (2005), "On the strong laws of large numbers for two-dimensional arrays of block-wise independent and block-wise orthogonal random variables", Probab Math Statist 25, pp.385 - 391 [48] Quang N.V., Thanh L.V (2006), "Marcinkiewicz-Zigmund law of large numbers for blockwise adapted sequence", Bull Korean Math Soc 43 (1), pp.213-223 [49] Quang N.V., Thanh L.V., Tien N.D (2011), "Almost sure convergence for double arrays of block-wise M -dependent random elements in Banach spaces", Georgian Mathematical Journal 18, pp.777-800 117 [50] Rosalsky A., Thanh L.V (2007), "On the strong law of large numbers for sequences of blockwise independent and blockwise p-orthogonal random elements in Rademacher type p Banach spaces", Probab Math Statist 27, pp.205 - 222 [51] Rosalsky A., Rosenblatt J (1997), "On convergence of series of Banach space valued random elements", Nonlinear Anal., 30, pp.4237-4248 [52] Rosalsky A., Rosenblatt J (1998), "On convergence of series of random variables with applications to martingale convergence and to convergence of series with orthogonal summands"Stoch Anal Appl 16, pp.553-566 [53] Rosalsky A., Thanh L.V., Volodin A (2006),"On convergence in Mean of normed sums of independent random elements in Banach spaces" Stoch Anal Appl 24, pp.23-35 [54] Scalora F.S (1961), "Abstract martingale convergence theorems", Pacific J Math 11, pp.347-374 [55] Shixin G (2010), "On almost sure convergence of weighted sums of random element sequences",Acta Mathematica Scientia 30 (4), pp.1021-1028 [56] Skorokhod A.V (1984), Random Linear Operators, (Reidel Publishing Company, Dordrecht.) [57] Son T.C (2014), "On the rate of convergence of series of Banach space valued martingale differences" Proceedings of international congress of mathematicians (ICM) Seoul 2014, pp.438–439 [58] Son T.C., Thang D.H (2013), "The Brunk-Prokhorov strong law of large numbers for fields of martingale differences taking values in a Banach space" Stat Probab Lett 83, pp.1901–1910 [59] Son T.C., Thang D.H (2014), "On the convergence of series of martingale differences with multidimensional indices", J Korean Math Soc., Accepted 118 [60] Son T.C., Thang D.H., Dung L.V (2012), "Rate of complete convergence for maximums of moving average sums of martingale difference fields in Banach spaces", Stat Probab lett 82(4), pp.1978-1985 [61] Son T.C., Thang D.H., Dung L.V (2014), "Complete convergence in mean for double arrays of random variables with values in Banach spaces", Appl of Math., 59(2), pp.177-190 [62] Son T.C., Thang D.H., Thu P.V (2013), "Weak laws of large numbers for fields of random variables in banach spaces", J Probab Stat Sci., Accepted [63] Son T.C., Thang D.H., Tien N.D (2014), "On the strong law of large numbers for block-wise(α, β)-martingale difference arrays in puniformly smooth Banach spaces", submitted to J Bull Korean Math Soc [64] Sung S.H., Volodin I (2001) "On convergence of series of independent random variables", Bull Korean Math Soc 38, pp.763-772 [65] Su C., Tong T.J (2004), "Almost Sure Convergence of the General Jamison Weighted Sum of B -Valued Random Variables", Acta Math Sinica English Series 20(1), pp.181-192 [66] Sung S.H., Hu T.C., Volodin A.I (2006), "On the weak laws with random indices for partial sums for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Bull.Korean.Soc 43(3), pp.543-549 [67] Stadtmulle U., Thanh L.V (2011), "On the limit theorems for double arrays of blockwise M-dependent random variables", Acta Math Sinica (English Series) 27, pp.1923-1934 [68] Stadtmă uller U., Thalmaier M (2009), "Strong laws for delayed sums of random fields", Acta Sci Math (Szeged) 75(3-4), pp.723-737 [69] Thang D.H (1987), "Random Operators in Banach space",Probab Math Statist 8, pp.155-157 119 [70] Thang D.H., Son T.C (2013), "On the convergence of the product of independent random operators", submitted to An Inter J of Prob Stoch Process [71] Thang D.H., Son T.C (2013), "Convergence for martingale sequences of random bounded operators" Preprint [72] Thang D.H., Son T.C., Cuong T.M (2014), "Inequalities for sums of adapted random fields in Banach spaces and applications for strong law of large numbers" J Inequal Appl doi:10.1186/1029-242X-2014446, pp.1-14 [73] Thang D.H and Thinh N (2004), "Random bounded operators and their extension", Kyushu J.Math 58, pp.257-276 [74] Thang D.H., Thinh N., Quy T.X (2012), "Generalized random spectral measures".J.Theor.Probab Doi:10.1007/s10959-012-0461-0 [75] Tien N.D., Dung L.V (2012), "Convergence of double random series of random elements in Banach spaces", J Korean Math Soc 49, pp.1053-1064 [76] Wei D., Taylor R.L (1978), "Convergence of weighted sums of tight random elements", Journal of Multivariate Analysis 8(2), pp.282-294 [77] Woyczy´ nski W.A (1978), Geometry and martingales in Banach spaces II Independent increments, Probability on Banach spaces, Adv Probab Related Topics, 4, pp.267-517 [78] Woyczy´ nski W.A (1981), "Asymptotic behavior of martingales in Banach spaces II", Martingale theory in harmonic analysis and Banach spaces, Lecture Notes in Mathematics, 939, pp.216-225 120 ... nhận lý thuyết xác suất định lí giới hạn, kết chủ yếu quan trọng lý thuyết xác suất luật số lớn" Ngày nay, định lý giới hạn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất 1.3.Từ năm 1950 trở lại đây, định. .. nghiên cứu định lý giới hạn luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn, định lý hội tụ hồn tồn, hội tụ hồn tồn trung bình, tốc độ hội tụ tổng trường hiệu martingale, định lý hội tụ cho dãy martingale. .. Với lí chúng tơi định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Các định lý giới hạn cho martingale Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu hội tụ tốc độ hội tụ của trường hiệu martingale nhận giá