Đa tạp tâm của hệ tam phân mũ không đều

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TỐN CƠ TIN TƠ TH± THU HIEN ĐA TAP TÂM CUA Hfi TAM PHÂN MŨ KHÔNG ĐEU LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC T.S LÊ HUY TIEN Hà N®i - Năm 2012 Mnc lnc Lài cam ơn ii Lài nói đau iii Kien thÉc chuan b% 1.1 H¾ tam phân mũ khơng đeu 1.2 Các không gian tâm, őn đ%nh không őn đ%nh 1.3 Nguyên lý điem bat đ®ng 1.4 Công thúc Faà di Bruno cho đao hàm cna hàm hop 1.5 Bő đe Gronwall Đa tap tâm cua h¾ tam phân mũ khơng đeu 12 2.1 M®t vài gia thiet ban đau 12 2.2 Sn ton tai cna đa tap tâm 14 2.3 Chúng minh sn ton tai cna đa tap tâm 18 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 Ket lu¾n Các khơng gian hàm Các tính chat Lipschitz cna đao hàm Nghi¾m đa tap tâm Qui ve toán tương đương Xây dnng đa tap tâm Tài li¾u tham khao 18 21 26 30 36 43 44 i Lài cam ơn Đe hồn thành đưoc chương trình đào tao hồn thi¾n lu¾n văn này, thịi gian vùa qua tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ q báu cna gia đình, thay ban bè Vì v¾y, nhân d%p này, tơi muon đưoc gui lịi cam ơn tói MQI ngưịi Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS Lê Huy Tien, thay rat nhi¾t tình hưóng dan chi bao tơi q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói tat ca thay khoa, nhung ngưịi trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day q trình HQc cao HQc Tơi xin cam ơn Ban chn nhi¾m khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, phịng Sau Đai HQc trưòng Đai HQc Khoa hQc Tn nhiên tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thi¾n thn tuc bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin cam ơn cha me tơi, nhung ngưịi ln u thương nng hđ tụi vụ ieu kiắn Li núi au Xột h¾ phương trình vi phân thưịng khơng gian Rd (d ≥ 1): x˙(t) = Ax(t), R, (1) t∈ ú A l mđt ma trắn thnc cừ d ì d Các giá tr% riêng cna ma tr¾n A có the đưoc chia thành ba loai: có phan thnc âm, phan thnc dương phan thnc bang GQI E s , E u , E c không gian sinh boi véc tơ riêng suy r®ng úng vói giá tr% riêng có phan thnc âm, phan thnc dương phan thnc bang Đây t¾p bat bien đoi vói nghi¾m cna phương trình (1) Hơn nua, bat kì nghi¾m cna phương trình (1) xuat phát tù E s (ho¾c tù E u ) se őn đ%nh (ho¾c khơng őn đ%nh) Vì v¾y, t¾p đưoc GQI tương úng khơng gian őn đ%nh không őn đ%nh Tuy nhiên, khơng the nói trưóc đưoc đieu ve dáng đi¾u ti¾m c¾n cna nghi¾m xuat phát tù E c Ngưịi ta GQI E c khơng gian tâm Đoi vói h¾ tuyen tính (1) khái ni¾m không gian őn đ%nh, không őn đ%nh, không gian tâm trùng vói khái ni¾m đa tap őn đ%nh, khơng őn đ%nh, đa tap tâm, the ta có the GQI E c đa tap tâm cna h¾ Nói chung, MQI nghi¾m có dáng đi¾u phúc tap nhat thưòng nam đa tap tâm Neu E u = ∅, MQI quy đao cna nghi¾m đeu tien rat nhanh tói đa tap tâm E c Do đó, tính őn đ%nh cna h¾ hồn tồn đưoc xác đ%nh boi dáng đi¾u cna nghi¾m đa tap tâm Vì v¾y, đe biet ve tính őn đ%nh cna h¾, chi can han che nghiên cúu h¾ E c Ý tưong trnc quan đ®ng lnc cna lý thuyet đa tap tâm Đe de hình dung, minh HQA n®i dung cna lý thuyet ny qua mđt hắ phng trỡnh vi phõn khơng gian huu han chieu sau Xét h¾ phương trình vi phân Rd: x˙ = f (t, x), d R, x ∈ R , (2) t∈ o x0 điem cân bang khơng hyperbolic cna h¾ (2) (đieu có nghĩa ma tr¾n tuyen tính hóa Dx f (t, x0 ) có giá tr% riêng vói phan thnc bang 0) Gia su ton tai m®t đa tap tâm cna (2) tiep xúc vói khơng gian tâm E c cna h¾ tuyen tính xJ = A(t)x vói A(t) = Dx f (t, x0 ) Khi đe nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna nghi¾m xuat phát tù mđt lõn cắn (n nho) cna x0 , chỳng ta chi can han che nghiên cúu h¾ (2) đa tap tõm ny Nđi dung chớnh cna luắn chúng minh sn ton tai cna đa tap tâm đoi vói phương trình vi phân khơng ơtơnơm khơng gian Banach vơ han chieu Chìa khóa đe giai quyet van đe khái ni¾m tam phân mũ đeu, tam phân mũ khơng đeu đieu ki¾n ve tính hyperbolic riêng khơng đeu cna nghi¾m Lu¾n văn đưoc chia thành hai chương Chương 1: trình bày khái ni¾m tam phân mũ đeu, khơng đeu cna h¾ phương trình vi phân, m®t so ket qua ban ve bat thúc Faà di Bruno bő đe Gronwall Chương 2: chúng minh sn ton tai đa tap tâm cna h¾ phương trình vi phân có tam phân mũ không đeu không gian Banach vô han chieu Đây muc đích cna lu¾n văn Do thịi gian lnc có han, có the lu¾n văn cịn nhung sai sót Tác gia mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cna thay, v cỏc ban ong nghiắp H nđi, thỏng 12 nm 2012 Tô Th% Thu Hien Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 H¾ tam phân mũ khơng đeu Cho X khơng gian Banach, B(X) t¾p hop tốn tu b% ch¾n X Gia su A : R → B(X) m®t hàm liên tuc Xét tốn giá tr% ban đau v J = A(t)v, v (s) = vs , (1.1) vói s ∈ R vs ∈ X Chú ý rang neu phương trình có nghi¾m nghi¾m nhat Gia su rang tat ca nghi¾m cna (1.1) tồn cuc Nghi¾m nhat cna h¾ đưoc viet dưói dang v(t) = T (t, s)v(s), vói T (t, s) tốn tu tien hóa liên ket, túc T (t, s)T (s, r) = T (t, r) T (t, t) = Id vói MQI t, s, r ∈ R Nói riêng, T (t, s) kha ngh%ch T (t, s)−1 = T (s, t) vói MQI t, s ∈ R Đ%nh nghĩa 1.1 Phương trình tuyen tính v J = A(t)v đưac GQI có tam phân mũ khơng đeu neu ton tai phép chieu P, Q1 , Q2 : R → B (X ) thóa mãn P (t) + Q1(t) + Q2(t) = Id, P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s), Qi(t)T (t, s) = T (t, s)Qi(s), i = 1, vái MQI t, s ∈ R hang so b > a ≥ 0, d > c ≥ 0, aJ , bJ , cJ , dJ ≥ 0, Di ≥ 1, ≤ i ≤ cho 1.vái MQI t, s ∈ R, t ≥ s, ǁT (t, s)P (s)ǁ ≤ D1 ea(t−s)+aj|s| , ǁT (t, s)−1 Q2 (t)ǁ ≤ D3 e−b(t−s)+bj|t| ; (1.2) 2.vái MQI t, s ∈ R, t ≤ s, ǁT (t, s)P (s)ǁ ≤ D2 ec(s−t)+cj|s| , ǁT (t, s)−1 Q1 (t)ǁ ≤ D4 e−d(s−t)+dj|t| (1.3) Các hang so a, b, c, d đưoc coi so mũ Lyapunov, tính khơng đeu cna dáng đi¾u mũ đưoc quyet đ%nh boi hang so aJ , bJ , cJ , dJ Sn ton tai cna tam phân mũ không đeu gia thiet yeu nhat đe thiet l¾p sn ton tai cna đa tap tâm Nh¾n xét 1.1 Chú ý rang aJ = bJ = cJ = dJ = 0, h¾ phương trình vi phân thóa mãn đieu ki¾n đưac GQI có tam phân mũ đeu Sau ta se đưa ví du ve h¾ tam phân mũ khơng đeu đe làm rõ đ%nh nghĩa Ví dn 1.1 Cho ω > r > nhung h¾ so cho trưác xét h¾ phương trình R3 sau uJ = 0, = (−ω − rt sin t)v1 , = (ω + rt sin t)v2 v1J v2J Khi h¾ phương trình vi phân (1.4) có tam phân mũ khơng đeu Chúng minh Nghi¾m cna h¾ (1.4) đưoc viet dưói dang u(t) = U (t, s)u(s), v1(t) = V1(t, s)v1(s), v2(t) = V2(t, s)v2(s) vói U (t, s) = 1, V1(t, s) = e−ωt+ωs+rt cos t−rs cos s−r sin t+r sin s , V2(t, s) = eωt−ωs−rt cos t+rs cos s+r sin t−r sin s Toán tu tien hóa T (t, s) cna h¾ (1.4) đưoc cho boi T (t, s)(u, v1, v2) = (U (t, s)u, V1(t, s)v1, V2(t, s)v2) Xét ánh xa P (t), Q1(t), Q2(t) : R3 → R3 đưoc xác đ%nh boi P (t)(u, v1, v2) = u, Q1(t)(u, v1, v2) = v1, Q2(t)(u, v1, v2) = v2 Rõ ràng ánh xa phép chieu (1.4) Tiep theo, đe chúng minh bat thúc (1.2), (1.3), ta lay b = d = ω − r, bJ = dJ = 2r cHQN hang so a, aJ , c, cJ > 0, a < ω − r, c < ω − r, D1 = D2 = D3 = D4 = D > cho ǁU (t, s)ǁ ≤ Dea(t−s)+a |s| , ǁV2 (t, s)−1 ǁ ≤ De−(ω−r)(t−s)+2r|t| vói t ≥ s; J ǁU (t, s)ǁ ≤ Dec(s−t)+c |s| , ǁV1 (t, s)−1 ǁ ≤ De−(ω−r)(s−t)+2r|t| vói t ≤ s J Vì ǁU (t, s)ǁ = nên hien nhiên ǁU (t, s)ǁ ≤ Dea(t−s)+aj|s| vói t ≥ s; ǁU (t, s)ǁ ≤ Dec(s−t)+cj|s| vói t ≤ s vói MQI a, aJ , c, cJ > 0, a < ω − r, c < ω − r; D > Bây giò ta chi can chúng minh ǁV2(t, s)−1ǁ ≤ De−(ω−r)(t−s)+2r|t| ≥s (1.5) vói t ǁV1(t, s)−1ǁ ≤ De−(ω−r)(s−t)+2r|t| ≤ s (1.6) vói t Trưóc tiên ta viet lai V1(t, s)−1 sau V1(s, t) = e(−ω+r)(s−t)−rt(cos t−1)+rs(cos s−1)+r(sin t−sin s) (1.7) Vói t, s ≥ tù (1.7) suy V1(s, t) ≤ e2re(−ω+r) (s−t)+2rt Vói s ≥ 0, t ≤ tù (1.7) suy V1(s, t) ≤ 2r (−ω+r)(s−t) e e Cuoi cùng, vói t ≤ s ≤ 0, tù (1.7) ta đưoc V1(s, t) ≤ e2re(−ω+r)(s−t)+2r|t| Qua ba trưòng hop ta thay ton tai < D < e2r đe (1.5) đưoc thoa mãn Trưòng hop V2(t, s) (1.6) đưoc chúng minh hoàn toàn tương tn Tù (1.6) (1.5) ta suy h¾ phương trình tuyen tính (1.4) có tam phân mũ khơng đeu 1.2 Các không gian tâm, on đ%nh không on đ%nh Gia su phương trình tuyen tính v J = A(t)v có tam phân mũ khơng đeu Vói kí hi¾u trên, xét khơng gian tuyen tính s J a(t−τ )+a |τ |−β|τ | D 2ρ1 e ¯(τ ) dτa(t−s) ∫ t ≤ 2c1 δD2 ǁξǁ ǁϕ − ψǁe +a j|s| α 1∫ t s eα1(τ−s) dτ s ea(t−τ ) ρ¯(τ ) dτ vói MQI τ ≥ s β ≥ aJ Vì + v¾y, j e ρ¯(t) ≤2c1 δD ǁξǁ ǁϕ − ψǁe a(s−t)a |s| ∫ t 1∫ + α2 t esa(s−τ ) ρ¯(τ ) dτ eα1(τ−s) dτ s Áp dung Bő đe Gronwall (Bő đe 1.2) cho hàm u(t) = ea(s−t) ρ¯(t) vói p = s, ta đưoc ∫ ρ¯(t) ≤ J s(t−s)+a |s| 2c1 δD e (a+α1 )(t−s)+aJ |s| t eα1(τ−s)+2 α1 (t−τ ) dτ ǁξǁ ǁϕ − ψǁ s ≤ D1 e ǁξǁ ǁϕ − ψǁ ρ(t) = D1e ǁξǁ ǁϕ − ψǁ vói MQI t ≥ s V¾y đ%nh lý đưoc chúng minh trưịng hop t ≥ s Trưòng hop t ≤ s chúng minh hồn tồn tương tn Nh¾n xét 2.3 Theo bő đe Chú ý 2.2 ta thay nghi¾m cua bi toỏn phn thuđc Lipschitz vo ieu kiắn ban au ξ cách CHQN hàm ϕ 2.3.5 Xây dEng đa tap tâm Vói ket qua bő tro trên, bő đe sau se bưóc cuoi đe chúng minh sn ton tai đa tap tâm Như biet Bő đe 2.6, vói moi hàm ϕ ∈ X , ton tai m®t hàm xϕ thoa mãn phương trình đau tiên (2.22) Muc tiêu tiep theo ta se chúng minh ton tai nhat m®t hàm ϕ ∈ X thoa mãn phương trình thú hai (2.22) x = xϕ thơng qua tính tương đương Bő đe 2.7 Bo đe 2.9 Vái δ đu nhó, ton tai nhat hàm ϕ ∈ X cho (2.49) vái MQI (s, ξ ) ∈ R × E (s) Chúng minh Vói ϕ ∈ X cho trưóc, xét hàm ∫ (Φϕ)(s, ξ) s V1 (τ, s)−1 f (τ, xϕ (τ, ξ ), ϕ(τ, xϕ (τ, ξ ))) dτ − = ∫ +∞ ∞ V −1 − (τ, s) f (τ, xϕ (τ, ξ ), ϕ(τ, xϕ (τ, ξ ))) dτ (2.62) Σ s vói (s, ξ) ∈ R × E(s), xϕ hàm nhat đưoc cho boi Bő đe 2.6 cho xϕ(s, ξ) = ξ Bây giị ta se chúng minh hàm Φϕ thu®c lóp C k theo bien ξ vói moi ϕ ∈ X Tù bat thúc (1.2)-(1.3), Bő đe 2.2 vói j = 1, , k, hàm f ∗ (t, ξ ) đưoc xác đ%nh (2.34) ta có ∫ s ǁV1 (τ, s)−1 ǁ ǁ∂ j f ∗ (τ, ξ )ǁ dτ −∞ +∞ ∫ + ǁV2 (τ, s)−1 ǁ ǁ∂ j f ∗ (τ, ξ )ǁ dτ ∫ ss j ¯ ≤ − ∞ −d(s−τ )+d |τ | D4ejσ(τ δe−β|τ| ) Bje dτ ∫ +∞ + s = )D3e ∫ ¯ D4δBj ¯ D3δAj ∫ ≤ δB ¯ jD4 dτ s −d(s−τ )−(β−d )|τ |+j[(c+α2)(s−τ )+c | e s|] dτ J J − ∞∫ +∞ + + ¯ δA ¯jjD ≤ δB D34 ∫ ¯ Ajejρ(τ δe−β|τ| J −b(τ−s)+b |τ | s s J J J (j(c+α2)−d)(s−τ )−(β−d )|τ |+jc | e s| dτ − ∞∫ +∞ ∫ J J e(j(a+α1)−b)(τ−s)−(β−b )|τ |+ja |s| dτ s s −∞ + δA¯j D3 J e−b(τ−s)−(β−b )|τ |+j[(a+α1)(τ−s)+a |s|] dτ e(T2+jα2)(s−τ ) dτ +∞ e(T1+jα1)(τ−s) dτ s (2.63) vói T1 , T2 đưoc xác đ%nh (2.14) CHQN δ đn nho đe α1 α2 đn nho cho T1 + kα1 < T2 + kα2 < Do đó, tích phân ∫s ∫ +∞ −1 j ∗ V1 (τ, s) ∂ f (τ, ξ ) V2 (τ, s)−1 ∂ j f ∗ (τ, ξ ) dτ s dτ − −∞ đưoc xác đ%nh tot vói j = 1, , k Theo đ%nh lý giá tr% trung bình theo Bő đe 2.2 vói j = 1, , k, (s, ξ), (s, ξ¯) ∈ R × E(s), ta có ǁ∂ j f ∗ (t, ξ ) − ∂ j f ∗ (t, ξ¯)ǁ ≤ sup ǁ∂ j+1 f ∗ (t, ξ + r(ξ¯ − ξ ))ǁ.ǁξ − ξ¯ǁ r∈[0,1] ≤ δe −β|t| Đ¾t jρ(t) ¯ , t ≥ s, x ∈ B+ ¯ A j+1 e ǁξ − B¯j ejσ(t), t ≤ s, x ∈ ξǁ +1 B− (2.64) j ∗ ) ∂ j f ∗ (τ, ξ ) Oj(τ, r) = ∂ f (τ, ξ + rv− , r áp dung (2.64) vói j = 0, , k − 1, (s, ξ), (s, ξ + rv) ∈ R × E(s), r > ta có ∫ s ǁV1(τ, s)−1Oj(τ, r)ǁ dτ −∞ ∫ + ∫ ss ≤ − ∞ +∞ ǁV2(τ, s)−1Oj(τ, r)ǁ dτ j )D4e dτ −d(s−τ )+d |τ | ¯ δe−β|τ|ǁvǁBj+1e(j+1)σ(τ ∫ +∞ + )D3e dτ s J −b(τ−s)+b |τ | ∫ ≤ D4B¯j+1δǁvǁ −(β−d )|τ |+[(j+1)(c+α2)−d](s−τ )+(j+1)c | e s| dτ J − ∞∫ +∞ ¯ + s ≤ D3Aj+1δǁvǁ ∫ D4 B¯j+1 δǁvǁ ∫ D3 A¯j+1 δǁv ǁ s J J J e−(β−b )|τ |+[(j+1)(a+α1)−b](τ−s)+(j+1)a |s| dτ s s −∞ + ¯ j+1e(j+1)ρ(τ δe−β|τ|ǁvǁA e(T2+(j+1)α2)(s−τ ) dτ +∞ e(T1+(j+1)α1)(τ−s) dτ (2.65) vói T1 , T2 đưoc xác đ%nh (2.14) ChQN δ đn nho đe α1 α2 đn nho cho T1 + kα1 < T2 + kα2 < Tù (2.65) (2.63), cho trưóc ρ > 0, vói (s, ξ ), (s, ξ + rv ) trên, ta có ∫s ∫ +∞ −1 ǁV1(τ, s) Oj(τ, r)ǁ ǁV2(τ, s)−1Oj(τ, r)ǁ dτ < ρǁvǁ, dτ + s −∞ ∫ ∫ s +∞ ǁV1 (τ, s) ∂ f (τ, ξ )ǁ dτ −1 j+1 + V¾ y s −∞ ∫ ǁV2 (τ, s)−1 ∂ j+1 f ∗ (τ, ξ )ǁ dτ < ρ ∗ s ǁV1 (τ, s)−1 [Oj (τ, r) − ∂ j+1 f ∗ (τ, ξ )v ]ǁ dτ −∞ ∫ +∞ + ǁV2 (τ, s)−1 [Oj (τ, r) − ∂ j+1 f ∗ (τ, ξ )v ]ǁ dτ ≤ ρǁvǁ Do ton tai giói shan ∫ s ∫ +∞ −1 s V2(τ, s)−1Oj(τ, r) V1(τ, s) Oj(τ, r) li − m dτ dτ ∞− ∫ +∞ r→ s V2 (τ, s)−1 ∂ j+1 f ∗ (τ, ξ ) dτ = V1 (τ, s)−1 ∂ j+1 f ∗ (τ, ξ ) dτ ∫ s − −∞ Đieu có nghĩa Φϕ hàm thu®c lóp Ck Vì xϕ (t, 0) = vói ϕ ∈ X , t ∈ R (xem (2.44)), nên tù (2.62) suy (Φϕ) (s, 0) = vói MQI s ∈ R Hơn nua, theo (2.62), ∫ ∂(Φϕ)(s, 0) s V1 (τ, s)−1 ∂f (τ, 0)∂aϕ (τ, 0) dτ − = ∫ +∞ ∞ Σ s − V (τ, s)−1 ∂f (τ, 0) 0) dτ , aϕ(τ, ξ) = (xϕ(τ, ξ), ϕ(τ, xϕ(τ, ξ))) Vì ∂f (τ, 0) = nên ∂ (Φϕ)(s, 0) = vói MQI s ∈ R Su dung bat thúc thú hai (1.3), (1.2), Bő đe 2.2 đ%nh nghĩa β (2.3), ta có ǁ∂ (Φϕ)(s, ξ)ǁ ∫ ≤j s ǁV1 (τ, s)−1 ǁ ǁ∂ j f ∗ (τ, ξ )ǁ dτ −∞ ∫ +∞ + ǁV2(τ, s)−1ǁ ǁ∂ j f (τ, ξ)ǁ dτ s ∫ ≤ δB ¯ jD4 + ¯ s (j(c+α2)−d)(s−τ )−(β−d )|τ |+jc | e s| dτ J J − ∞∫ +∞ J J (j(a+α1)−b)(τ−s)−(β−b )|τ |+ja | e s| dτ s δAjD3 Vì cJ |s| ≤ cJ (s − τ ) + cJ |τ | vói τ ≤ s, aJ |s| ≤ aJ (τ − s) + aJ |τ | vói τ ≥ s, a ≥ c ≥ 0, nên ǁ∂ j (Φϕ)(s, ξ )ǁ ≤δB¯j D4 ∫ s −∞ + δA¯j D3 e(T2+jα2)(s−τ ) dτ ∫ +∞ s e(T1+jα1)(τ−s) dτ (2.66) vói T1 , T2 đưoc xác đ%nh (2.14) CHQN δ đn nho đe α1 α2 thoa mãn T1 + kα1 < 0, T2 + kα2 < |T1 + jα1 | B¯ D A¯j D3 j δ Σ < 1, + |T2 + j = 1, , k (2.67) jα2 | Vói sn lna chQN v¾y, ta có ǁ∂ j (Φϕ)(s, ξ )ǁ ≤ vói s ∈ R ξ ∈ E (s) Đ¾t k ∗ k ∗ ¯ bk (τ m ) := ǁ∂ f (τ, ξ ) − ∂ f (τ, ξ )ǁ Su dung bat thúc thú hai (1.3), (1.2), Bő đe 2.5 đ%nh nghĩa β, ta có ǁ∂ (Φϕ)(s, ξ) − ∂ (Φϕ)(s, ξ¯)ǁ k ≤ k ∫ s ǁV1(τ, s)−1ǁ bk(τ ) dτ + − ∞ ∫ +∞ s ∫ s D4−d(s−τ )+d |τ | −e δ ≤ ∫ J ∞ +∞ −β| τ| −b(τ −s)+bJ | τ| ǁV2(τ, s)−1ǁ bk(τ ) dτ ) ǁξ − ¯ ^ (k+1)σ(τ d τ ξǁBke −β| τ| ¯ ^ (k+1)ρ(τ ) s + D3e ≤ δB^k D4 ǁξ − ξ¯ǁ ^ ∫ ǁξ − ξǁAke dτ δ ((k+1)(c+α 2)−d)(s−τ )−(β−d )|τ |+(k+1)c | e e s| s J J dτ − ∫ +∞ ∞ s J + δAkD3ǁξ − ξ¯ǁ J ^ kD4ǁξ − ¯ξǁ∫ ≤ δB s e((k+1)(a+α1)−b)(τ−s)−(β−b )|τ |+(k+1)a |s| dτ e(T2+(k+1)α2)(s−τ ) dτ −∞ ∞ ^ kD3ǁξ −¯ξǁ ∫+ + δA e(T1+(k+1)α1)(τ−s) dτ (2.68) s CHQN δ đn nho đe α1 , α2 thoa mãn T1 + (k + 1)α1 < 0, T2 + (k + 1)α2 < ^ (2.69) |T1 + (k + 1)α1| B ^kD4 δ |T2 + (k + 1)α2| Ak D + Σ < (2.70) Vói cách cHQN v¾y, vói moi s ∈ R ξ ∈ E (s) ta có ǁ∂k(Φϕ)(s, ξ) − ∂k(Φϕ)(s, ξ¯)ǁ ≤ ǁξ − ξ¯ǁ Đieu cho thay Φ(X ) ⊂ X Do Φ : X → X đưoc đ%nh nghĩa tot Bây giò ta chi rang Φ : X → X m®t ánh xa co vói chuan (2.23) Cho trưóc ϕ, ψ ∈ X ; (s, ξ) ∈ E(s), gia su xϕ xψ hàm liên tuc cho trưóc Bő đe 2.6 cho xϕ(s, ξ) = xψ(s, ξ) = ξ Áp dung (2.6), Bő đe 2.6 Bő đe 2.8 ta có bj(τ ) :=ǁf (τ, xϕ(τ, ξ), ϕ(τ, xϕ(τ, ξ))) − f (τ, xψ(τ, ξ), ψ(τ, xψ(τ, ξ)))ǁ ≤ c1δe−β|τ|ǁ(xϕ(τ, ξ) − xψ(τ, ξ), ϕ(τ, xϕ(τ, ξ)) − ψ(τ, xψ(τ, ξ)))ǁ ≤ c1δe−β|τ|(ǁxϕ(τ, ξ)ǁ ǁϕ − ψǁ + 2ǁxϕ(τ, ξ) − xψ(τ, ξ)ǁ) ≤ 4c1δe −β|τ| ǁξǁ ǁϕ − ψǁ D1 eρ(τ ) , τ ≥s De2σ(τ ), s τ≤ vói j = 1, Su dung bat thúc thú hai (1.3), (1.2) đ%nh nghĩa β (2.3), ta có ǁ(Φϕ)(s, ξ) − (Φψ)(s, ξ)ǁ ∫ s ≤ ǁV1(τ, s) ǁ b1(τ ) dτ + −∞ −1 ∫ +∞ ǁV2(τ, s)−1ǁ b2(τ ) dτ s ∫ s J J e(c+α2−d)(s−τ )−(β−d )|τ |+c |s| dτ ≤ 4c1δǁξǁ ǁϕ − ψǁD4D2 − ∞∫ +∞ D3D1 J J e(a+α1−b)(τ−s)−(β−b )|τ |+a |s| dτ + 4c1δǁξǁ ǁϕ − ψǁ s Vì cJ |s| ≤ cJ (s − τ ) + cJ |τ | vói τ ≤ s, aJ |s| ≤ aJ (τ − s) + aJ |τ | vói τ ≥ s, nên ǁ(Φϕ)(s, ξ) − (Φψ)(s, ξ)ǁ ∫ ≤ 4c1δǁξǁ ǁϕ − ψǁD4D2 −∞ ∫ + 4c1δǁξǁ ǁϕ − ψǁD3D1 ≤ c 1δ CHQN δ > đn nho cho s +∞ s D2D4 + |T2 + α 2| θ = c1 δ D2D4 e(T2+α2)(s−τ ) dτ e(T1+α1)(τ−s) dτ Σ ǁξǁ ǁϕ − ψǁ D1 D3 |T1 + α1| + |T2 + α2| D1D3 Σ < (2.71) |T1 + α1| Vì v¾y ǁΦϕ − Φψǁ ≤ θǁϕ − ψǁ Do Φ : X → X ánh xa co không gian metric đay đn X V¾y ton tai nhat hàm ϕ ∈ X thoa mãn Φϕ = ϕ Bő đe hồn tồn đưoc chúng minh Sau tat ca bưóc chuan b%, đen ta có the chúng minh Đ%nh lý 2.1 ChÚng minh Đ%nh lý 2.1 Tính bat bien cna đa tap V đưoc xét o đau muc 2.3.1 Bây giò đe chúng minh sn ton tai cna đa tap tâm V ta phai chi sn ton tai cna m®t hàm ϕ ∈ X thoa mãn (2.22) Bő đe 2.6 chi rang vói moi hàm ϕ ∈ X cho trưóc ln ton tai nhat m®t hàm liên tuc x = xϕ thoa mãn phương trình đau tiên (2.22) Hơn nua, hàm thu®c lóp C k Vi¾c giai phương trình thú hai (2.22) vói x = xϕ tương đương vói vi¾c giai (2.47)-(2.48) Bő đe 2.7 Bő đe 2.7 lai cho ta thay rang phương trình (2.47)-(2.48) tương đương vói phương trình (2.49) V¾y, ta can tìm m®t hàm ϕ ∈ X cho (2.49) vói MQI (s, ξ ) ∈ R × E (s) Theo Bő đe 2.9 ton tai nhat hàm ϕ ∈ X cho (2.49) vói MQI (s, ξ ) ∈ R × E (s) Bây giị ta đ%nh nghĩa ánh xa K : R × E(s) → R × X sau K(t, ξ) = Ψt(0, ξ, ϕ(0, ξ)) (2.72) Vì ϕ ∈ X , ánh xa ξ → ϕ(0, ξ) thu®c lóp Ck Hơn nua, theo gia thiet G1-G2 ánh xa (t, s, ξ, η) → Ψt(s, ξ, η) thu®c lóp C k Vì the K thu®c lóp C k Thêm vào đó, ánh xa K đơn ánh: neu K (t, ξ ) = K (tJ , ξ J ) thành phan đau tiên cna K cho ta t = tJ , tác đ®ng Ψ−t vào hai ve cna thúc K (t, ξ ) = K (t, ξ J ) ta đưoc ξ = ξ J Đieu chi rang K tham so hóa thu®c lóp C k trờn R ì E (s) cna V Vỡ vắy, V l a tap trn thuđc lúp C k Bây giị ta se chúng minh tính chat có Đ%nh lý 2.1 Hai tính chat đau tiên đưoc suy trnc tiep tù lý lu¾n Bő đe 2.7 Đe chúng minh tính chat thú 3, kí hi¾u xϕ hàm nhat đưoc cho boi Bő đe 2.6 cho xϕ (s, ξ ) = ξ Vói cách ký hi¾u hàm ϕ∗ (2.33) ta có ǁ∂j(Ψτ (s, ξ, ϕ(s, ξ))) − ∂j(Ψ τ (s, ξ¯, ϕ(s, ξ¯)))ǁ ξ ξ = ǁ∂ξ(t, x(t, ξ ), ϕ∗ (t, ξ ))ξ − ∂ j (t, x(t, ξ¯), ϕ∗ (t, ξ¯))ǁ (2.73) ≤ ǁ∂ j x(t, ξ ) − ∂ j x(t, ξ¯)ǁ + ǁ∂ j ϕ∗ (t, ξ ) − ∂ j ϕ∗ (t, ξ¯)ǁ j vói MQI τ ∈ R t = s + τ Theo Bő đe 2.4 ta có A˜j e(j+1)ρ(t) , t ≥ s, x ∈ B+ j ∗ j ∗ ¯ ¯ ǁ∂ (t, ξ) ϕ (t, ξ)ǁ ≤ ǁξ (j+1)σ(t , t ≤ s, x ∈ B˜ ) ϕ −∂ − ξǁ B− je (2.74) vói j = 0, , k Theo Bő đe 2.3 j j e(j+1)ρ(t) , t ≥ s, x ∈ B+ ¯ ¯ ǁ∂ x(t, ξ) x(t, ξ)ǁ ≤ Cj+1ǁξ − e(j+1)σ(t), t ≤ s, x ∈ B− −∂ ξǁ vói j = 0, , k, τ ∈ R t = s + τ Khi ǁ∂j(Ψτ (s, ξ, ϕ(s, ξ))) − ∂j(Ψτ (s, ξ¯, ϕ(s, ξ¯)))ǁ ξ ≤ ξ ˜j + Cj+1 ) ǁξ − ξ¯ǁe(j+1)[(a+α )τ +a |s|] (A neu (j+1)[(c+α )|τ |+c |s|] neu ˜ ¯ (B j + Cj+1 ) ǁξ − ξ ǁe J J τ ≥s τ ≤ s V¾y tính chat (2.16)-(2.17) Đ%nh lý hồn tồn đưoc chúng minh Ket lu¾n Trong lu¾n văn này, chúng tơi su dung khái ni¾m h¾ phương trình vi phân có tam phân mũ khơng đeu đe chúng minh sn ton tai đa tap tâm cna h¾ phương trình vi phân v J = A(t)v + f (t, v ), v (s) = vs Các gia thiet quan TRQNG đưoc su dung h¾ tuyen tính tương úng v J = A(t)v có tam phân mũ khơng đeu, phan nhieu phi tuyen f (t, v ) nho đieu ki¾n lo hőng phő đưoc thoa mãn Phương pháp chúng minh cő đien, dna theo cơng thúc bien thiên hang so Lagrange Tuy nhiên, tính khơng đeu cna phan tuyen tính mà tính tốn tro nên phúc tap nhieu so vói trưịng hop h¾ ơtơnơm Ngồi ra, điem mói chúng minh ưóc lưong đao hàm cap cao đưoc dna theo cơng thúc Fầ di Bruno Tài li¾u tham khao [1]Luis Barreira, Claudia Valls, Stability of nonautonomous differential equations, Springer Press, 2006 [2]L Barreira, C Valls, Center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic trajectories, Springer Press, 2006 [3]L Barreira, C Valls, Smooth center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic trajectories, Springer Press, 2007 [4] Jack Carr, Applications of centre manifold theory, Sringer-Verlag, New York, 1980 [5]Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed point theory, Springer Press, 2003 [6] Lawrence Perko, Differential equation and dynamical systems, Springer Press, 1991 [7] Warren P.Johnson, "The curious history of Faà di Bruno’s formula", Amer- ican Mathematical Monthly (2002), 217-234 [8] Yu.A.Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer-Verlag, New York, 2004 [9] George Osipenko, "Center manifolds", Discret Cotin Dyn Syst (1997), 4861 [10] Steven Roman, "The formula of Faà di Bruno", American Mathematical Monthly (1980), 805-809 ... [a, b] Chương Đa tap tâm cua h¾ tam phân mũ khơng đeu Trong chương này, dna vào gia thiet h¾ phương trình vi phân có tam phân mũ khơng đeu, ta se vào chúng minh sn ton tai đa tap tâm cho h¾ Trưóc... h¾ phương trình tuyen tính (1.4) có tam phân mũ không đeu 1.2 Các không gian tâm, on đ%nh khơng on đ%nh Gia su phương trình tuyen tính v J = A(t)v có tam phân mũ khơng đeu Vói kí hi¾u trên, xét... khái ni¾m tam phân mũ đeu, tam phân mũ khơng đeu đieu ki¾n ve tính hyperbolic riêng khơng đeu cna nghi¾m Lu¾n văn đưoc chia thành hai chương Chương 1: trình bày khái ni¾m tam phân mũ eu, khụng