THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Tr%nh Th% Minh Hang ÚNG DUNG PHƯƠNG PHÁP BIEN PHÂN ĐE NGHIÊN CÚU TON TAI NGHI›M CUA CÁC BÀI TỐN BIÊN ĐOI VéI TRÌNH VÀ H› PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYEN TÍNH LU¾N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC Hà N®i- 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Tr%nh Th% Minh Hang ÚNG DUNG PHƯƠNG PHÁP BIEN PHÂN ĐE NGHIÊN CÚU TON TAI NGHI›M CUA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐOI VéI TRÌNH VÀ H› PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYEN TÍNH Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã so : 62460103 LU¾N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS HOÀNG QUOC TOÀN LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nhung ket qua đưec trình bày lu¾n án méi Các ket qua nêu lu¾n án trung thuc chưa tùng đưec cơng bo bat kỳ cơng trình khác Nghiên cúu sinh Tr%nh Th% Minh Hang i LèI CÃM ƠN Luắn ỏn ec hon thnh dội su đng viờn, khớch l¾ hưéng dan t¾n tình cua PGS.TS Hồng Quoc Toàn Nhân d%p này, nghiên cúu sinh xin đưec gui téi Thay lèi cam ơn chân thành sâu sac nhat Nghiên cúu sinh xin đưec bày to lòng biet ơn đen Thay phan bi¾n: GS.TSKH Đinh Nho Hào, PGS.TS Cung The Anh, PGS.TS Nguyen Thi¾u Huy Thay Hđi ong cham luắn ỏn tien s cap ĐHQG bo công súc đoc ban thao cho nghiên cúu sinh nhieu ý kien chinh sua quý báu đe có the hồn thành tot ban lu¾n án Nghiên cúu sinh xin đưec bày to lòng cam ơn đen Ban chu nhi¾m Khoa Tốn -Cơ -Tin hoc, Phịng Sau đai hoc Ban Giám hi¾u Trưèng Đai hoc Khoa hoc Tu nhiên tao moi đieu ki¾n thu¾n lei đe nghiên cúu sinh có the hồn thành lu¾n án cua Nghiên cúu sinh xin đưec bày to lịng biet ơn đen thay Khoa Tốn-Cơ-Tin hoc, thành viên cua Seminar B® mơn Giai tích Khoa Tốn- Cơ Tin hoc ban ong nghiắp tai bđ mụn Toỏn hoc trống hoc Xõy dung H nđi ve su đng viờn khớch lắ nhung trao đői huu ích suot trình hoc t¾p cơng tác Cuoi cùng, tơi xin chia se niem vui véi ban bè, ngưèi thân gia đình tơi, nhung ngưèi ln sát cánh đng viờn giỳp e tụi hon thnh luắn ỏn ny Nghiên cúu sinh Tr%nh Th% Minh Hang Muc luc Lèi cam đoan .i Lèi cam ơn ii Danh muc kí hi¾u, đ%nh nghĩa đ%nh lí se Me đau BÀI TỐN NEUMANN CHO LéP PHƯƠNG TRÌNH VÀ Hfi PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYEN TÍNH 17 1.1 Bài tốn Neumann cho phương trình elliptic tua tuyen tính véi tốn tu p-laplacian mien khơng b% ch¾n 18 1.2 Bài tốn Neumann cho h¾ phương trình elliptic nua tuyen tính mien khơng b% ch¾n 33 1.3 Su không ton tai ton tai đa nghi¾m dương cua h¾ (p, q)Laplacian vội ieu kiắn biờn khụng tuyen tớnh phn thuđc tham so 43 BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYEN TÍNH KHƠNG ĐEU, KHƠNG THỖ MÃN ĐIEU KIfiN AMBROSSETTIRABINOWITZ 53 2.1 Giéi thi¾u tốn 53 2.2 Su ton tai nghi¾m yeu khơng âm cua tốn Dirichlet cho phương trình elliptic nua tuyen tính khơng đeu 55 2.3 Su ton tai nghi¾m yeu cua tốn biên Dirichlet đoi véi phương trình elliptic nua tuyen tính khơng đeu có tham so 68 Ket lu¾n 81 Danh muc cơng trình khoa HQC cna tác gia liên quan đen lu¾n án 82 Tài li¾u tham khao 83 DANH MUC KÍ HIfiU, бNH NGHĨA VÀ бNH LÍ Ce Se Các kí hi¾u Ω ⊂ RN l mđt o ec RN , l mđt compact chỳa v u : Ω −→ R m®t hàm đo đưec Lebesgue ∫ Lp(Ω) = {u : Ω −→ R : |u|pdx < +∞}, ≤ p < +∞ véi chuan Ω p p Ω |u| dx L∞(Ω) = {u : Ω −→ R b% ch¾n Ω} véi chuan ||u||Lp = ∫ ||u||L∞ = ess sup |u(x)| p Lloc (Ω) x∈ Ω = {u : Ω −→ R cho ∀Ω’ ⊂⊂ Ω, ta có u ∈ Lp (Ω’ )} C0∞ (Ω) không gian hàm kha vi vơ han có giá compact Ω Hm,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω) : Dαu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ m} véi chuan ||u||Hm,p = Σ ||Dα u||Lp |α|≤m H (Ω) bao đóng cua khơng gian C (Ω) Hm,p(Ω) Neu Ω m®t mien m,p ∞ 0 b% ch¾n có the trang b% m®t chuan tương đương Σ ||u||Hm,p = ||Dαu||Lp |α|=m Hm,q(Ω) không gian đoi ngau cua Hm,p(Ω) véi + p p = q = 2, ta có the viet ngan gon Hm(Ω) = Trong trống hep q Bat ang thc Hoă lder 1 Véi moi u ∈ Lp(Ω) v ∈ Lq(Ω) véi + = 1, ta có p q ≤ ||u||Lp ||v||Lq u(x)v(x)dx ∫Ω Bat thÚc n®i suy Gia su Ω m®t mien b% ch¾n RN , < p ≤ q ≤ r, = δ + 1−δ ,δ∈ [0, 1] u ∈ Lr(Ω) Khi đó, ||u||Lq ≤ ||u||δ p ||v|| 1− δ L L r q p r Hàm Carathéodory Ta nói f : Ω × RN −→ R m®t hàm Carathéodory neu véi mői x ∈ Ω co đ %nh, hàm u ›→ f (x, u) liên tnc RN véi mői u ∈ RN co đ%nh, hàm x ›→ f (x, u) đo đưec Ω Đao hàm Fréchet đao hàm Gâteax Gia su X, Y không gian Banach, U l mđt me X, x U , f : U −→ Y m®t hàm xác đ%nh U Ta nói f kha vi Fréchet tai điem x neu ton tai ánh xa tuyen tính liên tnc DF f (x) ∈ L(X, Y ) cho ||f (x + h) − f (x) − DF f (x)h||Y = o(||h||X ), ∀h ∈ X x + h ∈ U Neu f kha vi Fréchet tai moi x ∈ U ta nói f kha vi Fréchet t¾p U Neu f kha vi Fréchet tai x ∈ U ánh xa x ›→ DF f (x) tù U vào L(X, Y ) liên tnc tai x ta nói f kha vi Fréchet liên tnc tai x Neu f kha vi Fréchet liên tnc tai moi x ∈ U , ta nói f kha vi Fréchet liên tnc U kí hi¾u f ∈ C1(X, Y ) Ta nói f kha vi Gâteaux tai điem x theo hưéng h neu ton tai ánh xa tuyen tính liên tnc DGf (x) ∈ L(X, Y ) cho f (x + th) − f (x) lim =D f (x)h, h ∈ X G t→0 t Neu f kha vi Gâteaux tai moi điem x ∈ U ta nói f kha vi Gâteaux t¾p U Neu f : U −→ Y kha vi Fréchet tai x f kha vi Gâteaux tai x Neu f : U −→ R có đao hàm Gâteaux DGf liên tnc U f kha vi Fréchet f ∈ C1(U, R) Đ%nh lí 0.0.1 (Đ%nh lí C1 [30])) Gia su F = F (x, u, p) : Ω × Rn+1 → R đo đưoc vói x ∈ Ω, kha vi liên tnc vói u ∈ R p ∈ Rn đieu ki¾n sau thoa mãn: 1) |F (x, u, p)| ≤ C(1 + |u|s1 + |p|2), 2n vói s1 n ≥ 3; ≤ n− s2 t2 2) |Fu(x, u, p)| ≤ C(1 + |u| + |p| ), vói t2 ≤ n ≤ tương úng vói n+2 n+2 s2 ≤ , t2 ≤ n ≥ ó F ∂F ; ∂u n−2 n= 3) |Fp(x, u, p)| ≤ C(1 + |u|s3 + |p|) vói s3 ≤ n n−2 ∂F n ≥ 3, Fp = ∂p Khi phiem hàm E(u) = ∫ F (x, u(x), ∇u(x))dx Ω xác đ%nh m®t phiem hàm C1 H1,2(Ω) Hơn nua, DE(u) đưoc cho bói: ∫ (v, DE(u)) = (Fu(x, u, ∇u)v + Fp(x, u, ∇u)∇v)dx, Ω vói DE(u) đao hàm Fréchet cua E(u) tai u Đ%nh lí 0.0.2 (Đ%nh lí C2 [30]) Gia su g : ì Rm R l mđt hm Carathéodory thoa mãn đieu ki¾n 1) |g(x, u)| ≤ C(|1 + |u|s|) vói s ≥ Khi tốn tu u ›→ (g(., u(.))) liên tnc tù Lsp(Ω) vào Lp(Ω) vói moi p ∈ [1, +∞] Tính nUa liên tuc dưéi tính nUa liên tuc dưéi yeu Gia su X m®t khơng gian Banach, f : X → R m®t phiem hàm xác đ%nh X Phiem hàm f đưec goi nua liên tnc dưéi X neu véi moi dãy {um} h®i tn manh đen u X, ta đeu có f (u) ≤lim inf f (um) m→∞ Phiem hàm f goi nua liên tnc dưéi yeu X neu véi moi dãy {um} h®i tn yeu đen u X, ta đeu có f (u) ≤lim inf f (um) m→∞ Như vắy, mđt phiem hm nua liờn tnc dội thỡ se nua liên tnc dưéi yeu đieu ngưec lai không Đ%nh lí 0.0.3 (Đ%nh lí 1.6 tr.9 [30]) Cho Ω m®t mien Rn gia su rang F : Ω × Rn × Rn → R mđt hm Caratheodory thúa ieu kiắn sau: 1) F (x, u, p) ≥ ϕ(x) vói h.k x, u, p, vói ϕ ∈ L1(Ω) 2) F (x, u, ) loi đoi vói p vói h.k x, u 1,1 Khi đó, neu um , u ∈ H (Ω) um → u L1 (Ω’ ), ∇um h®i tn yeu đen ∇u lo c L1(Ω’) vói moi t¾p b% ch¾n Ω’ ⊂⊂ Ω, ta có E(u) ≤lim inf E(um), m→∞ vói E(u) = ∫ Ω F (x, u, ∇u)dx KET LU¾N Các ket qua cua lu¾n án: Su dnng phương pháp bien phân đ%nh lí qua núi, lu¾n án chúng minh đưec: 1) Bài tốn Neumann cho phương trình elliptic tua tuyen tính véi tốn tu pLaplacian mien khơng b% ch¾n có nhat mđt nghiắm yeu khụng tam thống khụng gian H đưec xây dung thích hep cua khơng gian W 1,p(Ω), su dnng phương pháp bien phân đ%nh lí qua núi [16] 2) Su ton tai nhat mđt nghiắm yeu khụng tam thống cua bi toỏn Neumann cho h¾ phương trình elliptic nua tuyen tính mien khơng b% ch¾n véi cách xây dung khơng gian nghi¾m G khơng gian cua khơng gian H1(Ω) × H1(Ω), me r®ng cua ket qua 3) Bài tốn biên đoi véi h¾ phương trình tua tuyen tính cua tốn tu p-Laplacian véi đieu ki¾n biên khơng tuyen tính, mà có the xem m®t cách suy rđng cua ieu kiắn biờn Neumann cú bđi nghiắm dng ho¾c khơng có nghi¾m dương đieu ki¾n thích hep cua tham so λ 4) Su ton tai nhat mđt nghiắm yeu cua bi toỏn Dirichlet oi vội lộp phương trình elliptic khơng đeu mien b% ch¾n mà khơng thoa mãn đieu ki¾n (A-R) Các ket qua phương pháp nghiên cúu lu¾n án có the me r®ng cho lép phương trình có so mũ bien thiên loai p(x)− Laplacian, phương trình có h¾ so kì d% mien b% ch¾n ho¾c khơng b% ch¾n Đó hưéng nghiên cúu tiep theo sau lu¾n án DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIà LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN [1 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2009), " Non-existence and multiplicity of positive solution for quasilinear elliptic problems in bounded domain", Acta Mathematica Vietnamica, 34(2), pp 173-182 [2 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2011), " On existence of weak solutions of Neumann problem for quasilinear elliptic equations involving p-Laplacian in an unbounded domain", Bull Korean Math Soc , 48(6), pp.1169-1182 (Tap chí ISI) [3 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2012), " On existence of weak solution of Neumann problem for a system of semilinear elliptic equations in an unbounded domain",Acta Mathematica Vietnamica, 37(1), pp 137147 [4 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2012), ” Existence of weak nonnegative solutions for a class of nonuniformly boundary value problem”, Bull Korean Math Soc., 49 (4), pp 737-748 (Tap chí ISI) [5 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2014), ” On some semilinear nonuniformly elliptic problems with subcritical nonlinearity without the Ambrosetti and Rabinowitz condition”, Vietnam Journal of Mathematics, 42(1), pp 1-15 Tài li¾u tham khao [1]Adams R.A.(1975), Sobolev Spaces, Academic Press London [2]Alif M., Omari P.(2002), ”On a p-Laplace Neumann problem with asymptotically asymetric perturbations ”, Nonlinear Analysis, 51, pp 369-389 [3]Anello G.(2004), ”Existence of infinitely many weak solutions for a Neumann problem,” Nonlinear Analysis, 57, pp 199-209 [4]Ambrosetti A., P.H.Rabinowitz(1973), ”Dual variational methods in critical point theory and application ,” J.Functional Analysis, 14(4,) pp 349381 [5] (1991), Egenvalue Problems, Anal., Vol.N North-Holland Babuska I., Osborn J Handbook of Numer [6]Binding P.A , Drábek P , Huang Y.X.(2000), ”Existence of multiple solutions of critical quasilinear elliptic Neumann problems,” Nonlinear Anal., 42, pp 613-629 [7]Bonanno G., Candito P.(2003), ”Three solutions to a Neumann problem for the elliptic equations involving the p-Laplacian,” Arch.Math., 80, pp 424-429 [8]Brezis H.(1992), Analyse fonctionelle: théorie et applicaions, Massion, Paris [9]Costa D.G., Magalhães C.A.(2004), ”Variational elliptic problems which are nonquadratic at infinity,” Nonlinear Anal., 23, pp 1401-1412 [10] Chung N.T., Toan H.Q.(2009), ”Existence result for nonuniformly degener- ate semilinear elliptic systems in RN ”, Glassgow.Math.J., 51, pp 561-570 [11] Chung N.T., Toan H.Q.(2009), ”On a class of degenerate and singular elliptic systems in bounded domains”, J.Math.Anal.Appl.,360, pp.422431 [12] Chung N.T.(2008), ”Existence of weak solutions for a nonuniformly elliptic nonlinear systems in RN ”, Electron.J.Diff.Equ.,2008(119), pp 110 [13] Chung N.T.(2010),’ ’On the existence of weak solutions for a degenerate and singular elliptic systems in RN , ” Acta Appl.Math.,110(1,) pp 4756 [14] Dautray R., Lions J.L.(1985), Mathematical analysis and numerical methods for science and technology I: Physical origins and classical methods, Springer- Verlag, Berlin [15] De Nápoli P.,Mariani M.C.(2003), ”Mountain pass solutions to equations of p-Laplacian type," Nonlinear Analysis,54, pp 1205-1219 [16]Duc D.M (1989), ”Nonlinear singular elliptic equations, ” Math.Soc., 40(2,) pp 420-440 J Lond [17] Duc D.M., Vu N.T.(2005), ”Nonuniformly elliptic equations of p-Laplacian type ”, Nonlinear Analysis, 61, pp 1483-1495 [18] Di Benedetto E.(1983), ” C1+α local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations,” Nonlinear Analysis, T.M.A., (8), pp 827- 850 [19] Fernandez B.J.(2004), ”Multiple positive solutions for quasilinear elliptic problems with Sign-Changing nonlinearities”, Asbtract and Applied Anal- ysis, 2004(2), pp.1047-1056 [20] Giusti E.(2003), ”Direct methods in the Calculus of variation World scientific,” New Jersey [21] Gilbarg D., Trudinger N.(1998), ” Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ” Springer Verlag, Berlin [22] Jean J.L.(1999), ”On the existence of bounded Palais-Smale sequence and application to a Landesman-lezer type problem set on RN , ” Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A., 129 pp 787-809 [23] Mihăilescu M (2006), ”Existence and multiplicity of weak solution for a class of degenerate nonlinear elliptic equations,”Boundary Value Problems Article ID 41295, pp 1-17 [24] Miyagaki O.H., Souto M.A.S (2008), ”Superlinear problems without Ambrosetti and Rabinowitz growth condition, ” J Differential Equations 245, pp 3628-3638 [25] Perera K.(2003), ”Multiple positive solutions for a class of quasilinear ellip- tic boundary value problems”, Electron J Differential Equation, 2003(7), pp 1-5 [26] Rabinowitz P.H.(1986), ”Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations”, CBMS Reg.Conf.Series Math., 65 Amer Math.Soc Provindence [27] Rădulescu(Dinu) T.L.(2005), ”Subcritical perturbations of resonant linear problem with sign-changing potential”, Electronic Journal of Differential Equations,2005(117), pp.1-15 [28] Ricceri B (2001), ”Infinitely many solutions of the Neumann problem for elliptic equations involving the p-Laplacian ,” Bull.London Math Soc., 33, pp 331-340 [29] Schechter M., Zou W.(2004), ”Superlinear problems, ” Pacific J.Math 214, pp.145-160 [30] Struwe M.(2000), Variational Methods, Second Edition, Springer- Verlag [31] Szulkin A., Zou W (2001), ”Homoclinic orbits for asymptotically linear Hamintonian systems ”, J.Func.Anal., 187, pp.25-41 [32] Tang C.L.(2001), ”Solvability of Neumann problem for elliptic equations at resonnance ”, Nonlinear Analysis., 44, pp 325-335 [33] Tang C.L.(2002), ”Some existence theorems for the sublinear Neumann boundary value problem”, Nonlinear Analysis 48, pp.1003-1011 [34] Toan H.Q., Anh N.Q.(2009), ”Multiplicity of weak solutions for a class of nonuniformly nonlinear elliptic equation of p-Laplacian type,”Nonlinear Analysis 70, pp.1536-1546 [35] Toan H.Q., Chung N.T (2009), ”Existence of weak solutions for a class of nonuniformly nonlinear elliptic equations in unbounded domains, ” Nonlinear Analysis, 70, pp.3987-3996 [36] Trudinger N.(1967), ”On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations”, Comm Pure Appl Math., 20, pp.721747 [37] Wu X ,Tan K.K.(2006), ”On existence and multiplicity of solutions of Neumann boundary value problems for quasi-linear elliptic equations,” Nonlinear Analysis, 65, pp.1334-1347 [38] Zhou H.S.(1998), ”Positive solutions for a semilinear elliptic equation which is almost linear at infinity,” Z.Angew.Math.Phys 49, pp.896-906 Ω ... Hang ÚNG DUNG PHƯƠNG PHÁP BIEN PHÂN ĐE NGHIÊN CÚU TON TAI NGHI›M CUA CÁC BÀI TỐN BIÊN ĐOI VéI TRÌNH VÀ H› PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYEN TÍNH Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã so... véi nhieu phương pháp cua giai tích phi tuyen áp dnng vào phương trình đao hàm riêng phương pháp bien phân to rat có hi¾u qua Ý tưeng cua phương pháp bien phân áp dnng vào phương trình đao hàm riêng... đ%nh lí se Me đau BÀI TOÁN NEUMANN CHO LéP PHƯƠNG TRÌNH VÀ Hfi PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYEN TÍNH 17 1.1 Bài tốn Neumann cho phương trình elliptic tua tuyen tính véi tốn tu
Ngày đăng: 23/12/2021, 18:39
Xem thêm:
