Nghiệm của một lớp các phương trình tích phân trong miền bị chặn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH THỊ THÚY NGÂN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG MIỀN BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2018 ĐINH THỊ THÚY NGÂN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG MIỀN BỊ CHẶN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGÔ QUỐC ANH Hà Nội – 2018 Mnc lnc Lài cam ơn Ma đau Giái thi¾u van đe 0.1 Bài toán Fosdick–Serrin lý cHQN đe tài 0.2 Mđt so kớ hiắu quy ưóc hay dùng 0.3 Đieu ki¾n can ve tính quy cna nghi¾m 0.4 Ket qua 11 M®t so ket qua chuan b% 12 1.1 M®t so ưóc lưong ban 12 1.2 M®t so không gian hàm ban Đ%nh lý nhúng Sobolev 16 1.3 M®t so bat thúc ban 18 Nghiắm cua mđt lỏp phng trỡnh tớch phõn mien b% chắn 2.1 Mđt so ket qua ve tớnh quy 22 2.2 Phương pháp di chuyen m¾t phang tù phai sang trái 30 2.3 Phương pháp di chuyen m¾t phang tù trái sang phai 44 2.4 Chúng minh Đ%nh lý 49 22 LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan chi bao nhi¾t tình cna TS Ngơ Quoc Anh Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna suot q trình làm lu¾n văn Q trình làm vi¾c trao đői vói thay tơi HQ c TRQNG hoi đưoc rat nhieu đieu trưong thành Vì v¾y, tơi muon bày to sn kính lịng biet ơn sâu sac đen thay Qua đây, tơi xin gui lịi cam ơn sâu sac tói q thay Khoa Tốn - Cơ -Tin Trưòng Đai hQc Khoa HQ c Tn nhiờn, HQ c HQc, Quoc gia H Nđi, ắc bi¾t thay trnc tiep giang day suot q trình tơi HQc t¾p tai Nhà trưịng Tơi xin gui lịi cam ơn đen Ban Giám Hi¾u, Phịng Sau Đai HQc tao đieu ki¾n cho tơi HQc t¾p bao v¾ khóa lu¾n Tơi xin cam ơn gia đình, ban bè, anh ch% ban HQ c viên cao HQc khóa 2016 2018 ó quan tõm, tao ieu kiắn v c v, đng viên tơi đe tơi hồn thành tot nhi¾m vu cna Hà N®i, ngày 28 tháng 11 năm 2018 HQc viên: Đinh Th% Thúy Ngân Lóp: CH 2016 - 2018 Me ĐAU Trong toán HQ c, HQ c, v¾t lí ngành kĩ thu¾t khác có nhieu van đe liên quan đen phương trình vi phân vói đieu ki¾n biên hay đieu ki¾n ban đau, phương trình đao hàm riêng, dan đen nhung phương trình hàm chưa biet chúa dưói dau tích phân Nhung loai phương trình đưoc gQI phương trình tích phân Phương trình tích phân cơng cu tốn HQ c huu ích nhieu lĩnh vnc nên ln đe tài nghiên cúu mo, thu hút rat nhieu nhà khoa HQc quan tâm nghiên cúu theo nhieu khía canh khác sn ton tai nghi¾m, van đe ve xap xi nghi¾m, tính chinh hay khơng chinh, nghi¾m chinh hóa, » Trong Lu¾n văn này, ta xét lóp phương trình tích phân mien b% ch¾n sau upxq A |u|ppyq Ω |x y|n α dy B (0.1) Ω vói đieu ki¾n biên u β (0.2) BΩ n nguyên dương, Ω € Rn l mđt mien mo b% chắn Rn vúi biờn BΩ thu®c lóp C1 p, α, β, A, B hang so thoa mãn đieu ki¾n sau α n p, A ¡ 0; β, B ¥ 0; (0.3) Đoi vói vi¾c tìm nghi¾m tőng qt cna lóp phương trình m®t tốn rat khó hi¾n van chưa tìm đưoc lịi giai Vì v¾y, tơi chi t¾p trung nghiên cúu ve tính chat nghi¾m dương tính chat mien cna lóp phương trỡnh tớch phõn trờn Nđi dung Luắn oc lay tù tài li¾u [2] cna tác gia D Li, G Străohmer v L Wang Cỏc ket qua chớnh cna Lu¾n văn bao gom: Chi đưoc rang neu nghi¾m cna lóp phương trình nghi¾m dương mien b% ch¾n Ω Ω hình cau Neu nghi¾m cna lóp phương trình nghi¾m dương mien b% ch¾n Ω nghi¾m có tính chat đoi xúng qua tâm hình cau Ω đơn đi¾u giam xa tâm hình cau Ω Ve bo cuc, Lu¾n văn đưoc chia làm chương đưoc đánh so tù đen Trong Chương 0, tơi giói thi¾u Bài tốn Fosdick–Serrin tù đưa lý cHQN đe tài nghiên cúu, m®t so ký hi¾u, quy ưóc hay dùng giói thi¾u ket qua Chương dành đe trình bày m®t so ket qua chuan b% se đưoc dùng chương tiep theo Trong Chương 2, tơi t¾p trung chúng minh đ%nh lý bang phương pháp di chuyen m¾t phang M¾c dù het súc co gang thòi gian thnc hi¾n Lu¾n văn khơng nhieu kien thúc cịn han che nên làm Lu¾n văn khó tránh đưoc thieu sót Tơi rat mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban thi¾n Tơi xin chân thành cam ơn! ĐQ c đe Lu¾n văn đưoc hồn Chương Giái thi¾u van đe » Lu¾n văn đe c¾p đen nghi¾m dương cna phương trình tích phân upxq A |u|ppyq Ω |x y|n α dy B (0.1) Ω vói đieu ki¾n biên u β (0.2) BΩ Ω € Rn m®t mien mo b% chắn vúi biờn B thuđc lúp C p, α, β, A, B hang so thoa mãn đieu ki¾n sau α n p, A ¡ 0; β, B ¥ 0; (0.3) Muc tiêu cna muon phân loai tat ca nghi¾m dương cna (0.1) phân loai tat ca mien Ω mà (0.1) có nghi¾m Trong muc tiep theo, se tìm hieu lý nghiên cúu toán 0.1 Bài toán Fosdick–Serrin lý cHQN đe tài Đe hieu đưoc lý cna vi¾c nghiên cúu (0.1) trên, trưóc tiên ta xét tốn chuyen đ®ng cna m®t dịng chat long nhót khơng nộn bờn mđt ong thang cú thiet diắn Ta cHQN hắ truc toa đ Oxyz cho truc Oz có hưóng vói đưịng ong cịn m¾t phang Oxy vng góc vói đưịng ong Khi v¾n toc u cna dịng chat long m®t hàm theo x y, nghi¾m cna phương trình Poisson u A thiet diắn vúi A l mđt hang so phu thu®c vào yeu to ve đ® nhút, mắt đ cna chat long, ỏp suat, v.v Tai “biên cna ong” chat long khơng chuyen đ®ng nên ta can bő sung thêm đieu ki¾n biên u BΩ Cuoi ta nh¾n thay rang lnc nén lờn trờn mđt n v% diắn tớch cna thnh ong oc ắc trng boi Bu B ú đ® nhót ν pháp tuyen vói thành ong hưóng phía ngồi Khi ta ket lu¾n đưoc neu lnc nén µBν u hang so tai MQi điem thành ong thiet di¾n cna ong có dang hình trịn, túc Ω hình trịn Lay cam húng tù tốn chuyen đ®ng cna dịng chat long trên, R.L Fosdick đ¾t câu hoi li¾u neu phương trình ∆u (0.4) Ω vói hai đieu ki¾n biên u 0, Bu Bν hang so (0.5) BΩ, Ω € Rn mien mo b% ch¾n vói biên BΩ trơn, có nghi¾m Ω phai m®t hình cau Trong cơng trình khoi nguon cho m®t phương pháp mà sau thưịng xun đưoc su dung tốn phân loai nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng, J Serrin [4]đe xuat phng phỏp di chuyen mắt phang v cung cap mđt câu tra lòi cho câu hoi cna Fosdick trưòng hop biên BΩ thu®c lóp C Hơn nua, bang cách su dung phương pháp mói này, Serrin cịn chi nghi¾m u cna tốn có dang upxq 2n pR2 |x|2q R bán kính cna hình trịn Ω; xem [4, Đ%nh lý 1] Rõ ràng ket qua cna Fosdick–Serrin cho phương trình (0.4) khơng cịn neu ta bo m®t hai đieu ki¾n biên (Dirichlet/Neumann) o (0.5) bang ky thu¾t bien phân đơn gian ta chúng minh đưoc sn ton tai nghiắm (manh) cna (0.4) ỳng vúi mđt cỏc ieu ki¾n biên o (0.5) Muc tiêu cna chúng tơi muon nh¾n đưoc ket qua tương tn cna Serrin nhng ó bo i mđt ieu kiắn biờn o (0.5), chang han đieu ki¾n biên Neumann Đe có so khôi phuc lai ket qua tương tn Serrin, nghiên cúu tốn tốn khơng đ%a phương cna (0.4) bang cách xét phương trình tích phân tương úng Bang cách này, rõ ràng nghi¾m cna phương trình (0.1) cho tương úng vói nghi¾m cna phương trình p ∆qα{2u A|u|p (0.6) mien Ω Tuy nhiên ngưoc lai nghi¾m u cna phương trình (0.6) cho tương úng » nghi¾m cna phương trình tích phân upxq A |u|ppyq |x y|n α dy Bpxq (0.7) Ω B khơng nhat thiet l mđt hang so Vỡ vắy e (0.1) v (0.6) tương đương đoi vói phương trình vi phân (0.6) ta can thêm đieu ki¾n, chang han đieu ki¾n biên Neumann câu hoi cna Fosdick 0.2 Mđt so kớ hiắu v quy ỏc hay dựng Trong suot lu¾n văn này, ta su dung kí hi¾u sau: Ωn The tích hình cau đơn v% Rn Ta có the tính Ωn thơng qua cơng thúc Ωn πn{2 Γp 2n 1q kí hi¾u Γ đe chi hàm Gamma Rõ ràng nΩn 2πn{2 Γp n q p pdq : T λvng góc vói BΩ tai điem z - q Σλ xλ x yλ y q Ωλ BΩ x1 T λ0 Σ1 q q λ Tλ Hình Phương pháp di chuyen m¾t phang Tλ ve bên phai q Phương pháp di chuyen m¾t phang ve bên phai đưoc tien hành tù v% trí λ λ0 bang cách d%ch chuyen Tλ ve bên phai chựng no upxq Ô upxq q q q ³³ » » Neu vi¾c di chuyen ket thúc tai λ mien Ω phai đoi xúng qua Tλ Trưóc tiên ta thay rang, vói MQI |x Ô v vúi y| |x y|, |x MQI x, y P Σλ , yλ| Σλ q Do tù phương trình (0.1) bang cách tách Ω u tai x tai xλ sau $ '' » & '' % upxq A » Σ q λ uppyq |xλ y|n α α Σλ q dy Ω q λ ΩzpΣ A dy A q q λ Y Σλ q ta có the viet lai B, (2.13) α up p yq Ωλ q Ωλ uppyq |x y|n λ q |xλ y|n α |x y|n α Σλ q Ω up py λ q uppyq λ upx q A uppyq |x y|n y| |x |xλ y|n α B, q Đoi vói vi¾c di chuyen m¾t phang sang bên phai ta có ket qua tương tn Bő đe 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 Do chúng minh cna bő đe trưịng hop di chuyen m¾t phang sang bên phai hồn toàn tương tn chúng minh cna bő đe nên ta chi phác hoa van tat chúng minh mà không vào chi tiet chúng minh cna bő đe nhac đen o q Bő đe đau tiên ta chi rang ta có the bat đau di chuyen m¾t phang Tλ tù v% trí λ λ Bo đe 2.12 Gia su λ vái q q q MQI xPΣ q λ λ q 1, neu λ λ q đu nhó upxq Ô upx q Chỳng minh Ta chỳng minh tương tn chúng minh cna Bő đe 2.5 Do vói x P Σλ y P Ωλ |y x| ¡ |y xλ| nên bang cách su dung phân tích (2.13) ta » thu đưoc upxq upxλq A ruppyq uppyλqs |x y|n α Σλ q Đ¾t q Σ q q Rừ rng up pxq Ô up px q Σ q tx P Σ λ λ 1 thu đưoc upxq upxλq Bây giò ta se chúng minh neu λ q suy Σ λ p p λ A ru pyq u py qs Σλ λ q hay upxq Ô upx q vúi Trng hap 1: Σλ Σλ » q ta q q q λ u ta ³³ : upxq ¡ upxλ u nên bang cách phân tích λ zΣ dy |xλ y|n α đn nho thìλ|Σ MQI xPΣ q q ΣλzΣλ dy |x y|n α | tù tính liên tuc cna p Ô Trong trũng hop ny ta đánh giá tương tn chúng minh cna Bő đe 2.5 đe thu đưoc }up q up λq} q Ô A}pup q up qqp} L p q q » q L pΣλ q q dx sup L p q yP Theo Bat ang thỳc Hăolder thỡ }rup q up λqsp} |x y|n α Σλ q ¤ |Σ q |1 p }up q up λ q} Theo Bő đe 1.2 λ » dx |x y|n α λΣ q q L pΣλ q nΩn | Ô q n | {n Vỡ v¾y ta thu đưoc λ α An up q}L p Ô n q }up q q n q Tù ta thay neu λ λ q q p |Σ λ | đn nho thìλ|Σ α n λ }up q up q}L pΣ λq q ta ket thúc chúng minh | Trưàng hap 2: p ¡ Trong trưòng hop ta van đánh giá tương tn chúng minh cna Bő đe 2.5 đe thu đưoc }up q up λq} ú r Ô Cn,,rpA up 1p qrup q up qs q L p q r Ô q Su dung thờm Bat ang thỳc Hăolder ta i en n n }up q up q} 1Ô r L p q q Cn,,rpA}u} λ Đen ta lai thay neu λ hop ta đeu có |Σ q q, L1pΣλ q λ q p }up q up λq} n pp 1q Lα pΣλ q đn nho λ|Σ q | q Lr q pΣ q λ V¾y ca hai trưịng ta ket thúc chúng minh | λ Bő đe tiep theo, tương tn Bő đe 2.6 cho phép di chuyen m¾t phang Bo đe 2.13 Gia su λ vái λ q λ xPΣ MQI xPΣ q Neu upxq Ô upx q q MQI q upxq upxλq vái Chúng minh Bő đe đưoc chúng minh tương tn chúng minh cna Bő đe 2.6 Th¾t v¾y ta se có upxλq upxq ¥ A » Ωλ q uppyq 1 dy Ω q λ ∅ vói MQI λ P pλ q q 0, λ |xλ y|n α 1q |x y|n α nên ta có đieu phai chúng minh Bő đe tiep theo, tương tn Bő đe 2.7 khang đ%nh rang ta thnc sn có the di chuyen m¾t phang ve bên phai Bo đe 2.14 Gia su λ vái vái MQI MQI q xPΣ q xPΣ λ q λ λ q upxq λ λ q upx Khi ton tai ε ¡ cho r upxq Ô upxq r λ q Chúng minh Ta lí lu¾n tương tn chúng minh cna Bő đe 2.7 q Trong hai bő đe tiep theo ta xét trưòng hop λ λ1 Do chúng minh bő đe tương tn chúng minh Bő đe 2.9 2.10 nên ta khơng trình bày lai Bo đe 2.15 Gia su λ q Σ λ q trưàng hap (c) cua (2.12) xay ra, có nghĩa tiep λ q xúc vái BΩ tai điem z R T Khi đó, neu q vái Σ q MQI r xP thỡ upxq Ô upx1 q q q λ1 qq Ω Y pΩ X T q Y Σ Σ q q q Bo đe 2.16 Gia su λ T q p λ q λ1 λ1 λ1 trưàng hap (d) cua (2.12) xay ra, túc vái BΩ tai điem z Khi ú vuụng gúc q upxq Ô upx1 q q vái Σ MQI xP λ1 q Σ q q q YΣ λ1 Ω Y pΩ X T q q λ1 λ1 q Cuoi ta phát bieu ket qua tương tn ket qua cna Bo đe 2.11 Tat nhiên đe chúng minh ket qua ta can l¾p lai ý chúng minh cna Bő đe 2.8 2.11 ( Bo đe 2.17 Ta có q q q λ Σ λ sup λ : upxq ¤ upxλ q vái Σ MQI xP λ €Ω λ q tù trái sang cho đen t¾n λ Ket hop Bő đe 2.14 2.17 ta thay m¾t phang Tλ đưoc di chuyen liên tuc 2.4 ChÉng minh Đ%nh lý Trưóc tiên ta se chúng minh ket qua ve tính đoi xúng cna mien Ω cna nghi¾m u qua siêu phang Tλ vói λ e siêu phang đưoc cHQN vng góc vói truc x1 có hưóng ý M¾nh đe 2.18 Ton tai m®t so thnc λ cho khang đ%nh sau đúng: (i) Σλ Y pΩ X Tλ q Y Σ1λ Ω; (ii) upxλ q upxq vái MQI x P Σλ Đe chúng minh m¾nh đe trên, trưóc het ta co đ%nh m®t hưóng cho x1 thnc hi¾n vi¾c di chuyen m¾t phang tù phai sang trái Nhac lai rang m¾t phang Tλ bat đau đưoc di chuyen tù thòi điem λ λ0 ket thúc o thòi điem λ λ1 Ta se chúng minh λ λ1 Th¾t v¾y, tù Bő đe 2.11 tính liên tuc cna u ta thay upxq Ô upxq vúi MQI Ô v MQI x P Σλ Do theo Bő đe 2.6 ta có upxq vói MQI λ1 λ λ0 MQI upxλq x P Σλ Tù Bő đe 2.9 2.10 ta có khang đ %nh (i) Nói cách khác ta vùa chúng minh đưoc tính đoi xúng cna mien Ω qua Tλ1 Tiep theo ta se chúng minh tính đoi xúng cna nghi¾m qua Tλ1 , nghĩa khang đ%nh (ii), túc upxλ1 q vói MQI upxq x P Σλ1 Th¾t v¾y ta thay upxλ1 q ¥ upxq q q bat đau tù v% trí λ boi Bő đe 2.17 ta biet rang vi¾c di chuyen ket thúc vói MQI x P Σλ1 Bây giị ta thnc hi¾n vi¾c di chuyen m¾t phang Tλ tù trái sang phai o thịi điem λ Hơn the nua, q • boi Bő đe 2.17 tính liên tuc cna u nên upxλ1 q ¥ upxq vói MQI q x λP Σ q • boi Bő đe 2.15 2.16 ta thay Ω đoi xúng qua Tλ q cho ta biet Rõ ràng tính đoi xúng cna Ω qua Tλ q λ q λ1 q Σ Σ q , λ1 λ1 q λ1 Σλ1 q Σ Như v¾y ta vùa chúng minh đưoc upxλ1 q ¥ upxq vói MQI x P Σλ1 upxλ1 q ¥ upxq vói MQI q xPΣ λ Tù de kiem tra đưoc rang u đoi xúng qua Tλ1 Tiep theo ta nh¾n thay M¾nh đe 2.18 hưóng bat kì cna siêu phang Tλ Ta se chúng minh trưòng hop Ω hình cau nghi¾m u cna (0.1) đoi xúng vói tâm đoi xúng tâm cna hình cau Ω Trưóc tiên ta chúng minh Ω hình cau Đe thu đưoc đieu ta can chúng minh Ω có tâm đoi xúng mà ta gia thiet điem x0 P Ω Lan lưot su dung N siêu phang Tλ thu đưoc tù M¾nh đe 2.18 bang cách cHQN N hưóng đơi m®t vng góc vói lay giao ta suy ton tai nhat điem x0 thu®c N siêu phang Lan lưot lay đoi xúng qua đn N siêu phang ta suy mien Ω có tâm đoi xúng điem x0 Tiep theo ta chúng minh phang Tλ MQI siêu thu đưoc tù M¾nh đe 2.18 vói hưóng tuỳ ý cho truc x1 đeu qua x0 Bang phan chúng neu ton tai m®t siêu phang Tλ khơng qua x0 , bang cách lan lưot lay đoi xúng qua Tλ x0 ta xây dnng đưoc m®t dãy điem tien vơ (khoang cách đen x0 vô cùng) đieu vô lý Ω b% ch¾n Bây giị ta se chúng minh Ω hình cau Th¾t v¾y trưóc tiên ta đ¾t R suptdpx, x0 q : x P Ωu ta se chi rang Ω Do Ω mien b% ch¾n nên R Bpx0, Rq Lay x P Ω bat kỳ Rõ ràng Ω mo nên dpx, x0 q R suptdpx, x0 q : x P Ωu túc x P Bpx0, Rq Tù suy Ω € Bpx0, Rq Ngưoc lai, lay x P Bpx0, Rq bat k v ú ta luụn cú Ô dpx, x0q Do hàm khoang cách liên tuc nên nh¾n MQI R giá tr% trung gian giua R Đieu có nghĩa ton tai x1 P Ω cho dpx1, x0q dpx, x0q Lay T siêu phang nh¾n x˙1 x làm véc tơ pháp tuyen Do Ω đoi xúng qua T x1 P Ω nên x P Ω Tù ta suy Bpx0, Rq € Ω V¾y Ω Bpx0, Rq Cuoi ta chúng minh tính đơn đi¾u giam cna nghi¾m xa khoi tâm cna hình cau Ω BΩ x0 x y xλ x1 Tλ Hình Tính đơn đi¾u giam cna nghi¾m Th¾t v¾y lay x, y P Ω bat kì khơng mat tính tőng qt ta gia su |y x0| |x x 0| R, túc điem y nam gan tâm x0 so vói iem x Khi ú ta chQn hắ truc toa đ cho hưóng cna x1 trùng vói hưóng cna đưịng thang noi x y GQI T phang trung trnc cna đoan thang noi x y Rõ ràng T λ q m¾t λ q q chia Ω thành hai phan có m®t phan chúa đong thịi hai điem y x0 Theo cách cHQN λ q xλ y Do x0 R T nên ta có λ q q upxλq ¡ upxq, hay upy1q ¡ upxq V¾y ta vùa chúng minh đưoc u hàm đoi xúng giam xa tâm cna Ω Đ%nh lý đưoc chúng minh hồn tồn KET LU¾N Muc tiêu cna Lu¾n văn đe c¾p o phan đau vi¾c phân loai tat ca nghi¾m dương cna (0.1) phân loai tat ca mien Ω mà (0.1) có nghi¾m Bang cách su dung phương pháp di chuyen m¾t phang ta chúng minh đưoc lóp phương trình (0.1) thoa mãn đieu ki¾n (0.3) (0.8) có sn đoi xúng ca hai phương di¾n mien nghi¾m cna Nhung ket qua đat đưoc Lu¾n văn bao gom: Chi đưoc m®t so ket qua ve tính quy cna nghi¾m dương cna lóp phương trình tích phân (0.1); xem bő đe 2.1 2.2 Dùng phương pháp di chuyen m¾t phang tù trái qua phai tù phai qua trái chúng minh đưoc neu nghi¾m cna lóp phương trình nghi¾m dương mien b% chắn thỡ ã l hỡnh cau ã Nghiắm dương có tính chat đoi xúng qua tâm hình cau Ω đơn đi¾u giam xa tâm hình cau Ω M¾c dù co gang, nhiên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung sai sót rat mong đưoc sn góp ý cna thay ban đQc Tài li¾u tham khao [1] L.C EvANS, Partial differential equations, Second edition, Graduate Studies in Mathematics, 19, American Mathematical Society, Providence, RI, 2010 [2] D Li, G STROăHMER, L WANG, Symmetry of integral equations on bounded domains, Proc Amer Math Soc 137 (2009) 3695–3702 [3] E.H LIEB, M Loss, Analysis, Second edition, Graduate Studies in Mathematics, 14, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001 [4] J SERRIN, A symmetry problem in potential theory, Arch Rational Mech Anal 43 (1971) 304–318 54 Phiên ban: Ngày 18 tháng năm 2019 lúc 06:02:49 ...ĐINH THỊ THÚY NGÂN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG MIỀN BỊ CHẶN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... đao hàm riêng, dan đen nhung phương trình hàm chưa biet chúa dưói dau tích phân Nhung loai phương trình đưoc gQI phương trình tích phân Phương trình tích phân cơng cu tốn HQ c huu ích nhieu lĩnh... toán tốn khơng đ%a phương cna (0.4) bang cách xét phương trình tích phân tương úng Bang cách này, rõ ràng nghi¾m cna phương trình (0.1) cho tương úng vói nghi¾m cna phương trình p ∆qα{2u A|u|p