Thông tin tài liệu
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Phùng Hai Minh TÍNH ON бNH CUA M®T LéP CÁC Hfi CHUYEN MACH TUYEN TÍNH TRÊN THANG THốI GIAN LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - Năm 2017 Phùng Hai Minh TÍNH ON бNH CUA M®T LéP CÁC Hfi CHUYEN MACH TUYEN TÍNH TRÊN THANG THèI GIAN Chuyên ngành: Toán Éng dnng Mã so: 60460112 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS C THUắN H Nđi - Nm 2017 iii Mnc lnc Lài cam ơn ii Danh mnc ký hi¾u Lài nói đau Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Thang thịi gian, tính kha vi, tính kha tích 1.2 Hàm mũ thang thòi gian 12 1.3 Khái ni¾m tính őn đ%nh .15 1.4 H¾ chuyen mach 19 1.5 Tính őn đ%nh cna h¾ chuyen mach 21 Chương Tính on %nh cua mđt lỏp cỏc hắ chuyen mach tuyen tớnh thang thài gian 26 2.1 Phát bieu toán 26 2.2 Trưịng hop h¾ riêng őn đ%nh 28 2.3 Trưịng hop h¾ Ac őn đ%nh h¾ Ad khơng őn đ%nh 35 2.4 Trưịng hop h¾ Ac khơng őn đ%nh h¾ Ad őn đ%nh 42 Ket lu¾n 48 Tài li¾u tham khao 49 Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna t¾n tình nghiêm khac cna TS Đo Đúc Thu¾n Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna suot q trình làm lu¾n văn Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói thay Tác gia xin chân thành cam ơn Khoa Toán - Cơ - Tin hQc, Phòng Sau đai HQ c, Đai HQc Khoa HQc tn nhiên, quý thay cô tham gia giang day khóa cao HQc 2015-2017 có cơng lao giang day tác gia suot thịi gian HQc t¾p tai trưịng Nh¾n d%p tơi xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên tơi cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ tơi suot q trình HQc t¾p thnc hi¾n lu¾n văn tot nghiắp H Nđi, ngy 15 thỏng 11 nm 2017 HQc viên Phùng Hai Minh Danh mnc ký hi¾u Ac Ma tr¾n cna h¾ liên tuc Ad Ma tr¾n cna h¾ rịi rac Bδ Hình cau tâm O bán kính δ ∆f Sai phân cna hàm f ep(t, s) Hàm mũ suy r®ng cna p f ∆ ∆-đao hàm cna hàm f Hmin Đưòng tròn Hilger nho nhat Hµ(t) Đưịng trịn Hilger úng vói hàm hat µ(t) K Lóp hàm liên tuc, đơn đi¾u tăng ng¾t K∞ Lóp hàm liên tuc, đơn đi¾u tăng ng¾t khơng b% chắn trờn à(t) Hm hat à(t) = (t) t Pa,b Thang thịi gian R(T, Mn(R)) Lóp hàm hoi quy rd-liên tuc ρ(t) Toán tu nhay lùi σ(t) Toán tu nhay tien S(T) S(T) Spec(A) Mien őn đ%nh mũ cna thang thòi gian T Mien őn đ%nh mũ đeu cna thang thịi gian T Phő cna ma tr¾n A T Thang thòi gian tőng quát ξh(z) Phép bien i tru Li núi au Lý thuyet hắ đng lnc thang thòi gian bat kỳ T đưoc quan tâm ý nhieu boi the hi¾n sn tương tác giua lý thuyet h¾ liên tuc h¾ rịi rac Nó cho phép phân tích tính őn đ%nh cna hắ đng lnc trờn mien thũi gian khụng eu R Khi T = R, phương trình đ®ng lnc thang thịi gian rút GQN thành phương trình vi phân liên tuc thơng thưịng Khi T = hZ (h so thnc), chúng rút GQN thành phương trình sai phân thơng thưịng Bên canh hai trưịng hop này, cịn có nhieu thang thịi gian thú v% khác vói Σ bưóc thịi gian khơng đeu (ví n du thang T = {tn}n∈N gom so đieu hịa tn = ) Tính őn đ%nh mũ k=1 k đưoc tìm cho h¾ tuyen tính su dung thang thịi gian hàm mũ Mđt so mo rđng cho hắ đng lnc thũi gian bien đői, phương trình đ®ng lnc vói nhieu cau trúc tőng quát h¾ đieu khien huu han chieu phi tuyen thang thòi gian đưoc nghiên cúu Tuy nhiên, tính chat khơng de dàng mo r®ng cho lóp h¾ chuyen mach H¾ chuyen mach hắ liờn quan ca đng lnc liờn tuc v đng lnc rịi rac Chúng bao gom m®t so huu han cỏc hắ v mđt quy tac rũi rac e đưa sn chuyen mach giua h¾ Chúng oc nghiờn cỳu rđng rói hai thắp ki gan boi chúng miêu ta m®t lóp r®ng h¾ v¾t lý h¾ thong ky thu¾t Hau het phương pháp hi¾n tai đe phân tích tích őn đ %nh cna h¾ chuyen mach tuyen tính khơng the áp dung cho h¾ phát trien (evolving) mien thịi gian liên tuc ho¾c rịi rac Tù nh¾n xét bên trên, báo [9], tác gia phân tích tính őn đ %nh cho m®t trưịng hop đ¾c bi¾t cna h¾ chuyen mach tuyen tính mà ú hắ đng lnc chuyen mach giua hắ tuyen tính liên tuc h¾ tuyen tính rịi rac m®t chu kỳ thịi gian nhat đ%nh Có nhieu úng dung liên quan tói nhung h¾ chuyen mach nh vắy Mđt vớ du cu the l hắ khuech đai (cascaded system) bao gom m®t b® đieu chinh thịi gian liờn tuc (continuous-time plant), mđt ieu khien thũi gian rịi rac chuyen mach giua b® đieu khien Th¾t ra, tính chat thịi gian cna chúng khơng the bieu dien đưoc bang đưịng thang liên tuc (túc R) hay đưòng ròi rac (túc Z) Trong mđt so ti liắu trúc õy, mđt so ieu ki¾n őn đ%nh đưoc đưa cho h¾ chuyen mach tuyen tính mà đưoc xác đ%nh boi hai h¾ tien trien mien thòi gian liên tuc mien thịi gian rịi rac đeu vói chu kỳ co đ%nh Tính őn đ%nh giai tích đưoc dna m®t hm Lyapunov bắc Tuy nhiờn, sn mo rđng cho lóp h¾ lón tien trien mien thịi gian khơng đeu khơng tam thưịng Đe giai quyet van e ny, lý thuyet hắ đng lnc trờn thang thũi gian tùy ý T dưịng thích hop Tính giai tích cna h¾ chuyen mach thang thịi gian tùy ý đưoc trình bày [6, 1] su dung hàm Lyapunov chung b¾c bon Theo cách tương tn, tính őn %nh cna mđt lúp hắ chuyen mach tuyen tớnh m bao gom mđt cỏc hắ tuyen tớnh liờn tuc őn đ%nh h¾ tuyen tính rịi rac őn đ%nh vói hàm hat co đ%nh đưoc nghiên cúu [7] Tuy nhiờn, viắc tỡm mđt hm Lyapunov cho h¾ chuyen mach khơng đơn gian Ngồi ra, phương pháp tiep c¾n [6, 7] khơng áp dung đưoc neu mđt hắ riờng biắt khụng n %nh tiắm cắn Do tam quan TRQNG đ¾c bi¾t cna lý thuyet mà nhieu nhà tốn HQc nưóc ngồi Vi¾t Nam dành nhieu thịi gian cơng súc cna cho vi¾c nghiên cúu tính őn đ%nh giai tích cna h¾ chuyen mach Trong khn khő lu¾n văn chúng tơi xin đưoc trình bày đe tài: “Tính on %nh cua mđt lỏp cỏc hắ chuyen mach tuyen tính thang thài gian” Lu¾n văn đưoc tőng hop tù báo [9] cna F Z Taousser, M Defoort M Djemai vói m®t so giáo trình ve lý thuyet hắ đng lnc trờn thang thũi gian, hắ chuyen mach thang thịi gian Muc đích cna lu¾n văn mo r®ng ket qua cho mien thịi gian khơng đeu T = Pak,bk tao boi hop khoang rịi vói đ® dài bien thiên ak khoang cách bien thiên bk H¾ đưoc nghiên cúu chuyen mach giua mđt hắ đng lnc liờn tuc v mđt hắ rũi rac vúi hm hat b% ch¾n Moi h¾ liên tuc ho¾c rịi rac có the khơng őn đ%nh Su dung tính chat cna hm m thang thũi gian, mđt so ieu kiắn oc đưa đe đam bao tính őn đ%nh mũ cna lóp h¾ dưói đieu ki¾n hàm hat b% ch¾n h¾ őn đ%nh mũ Các ket qua ny oc mo rđng khao sỏt hắ rũi rac khơng őn đ%nh ho¾c h¾ liên tuc khơng őn đ%nh Ngồi Lịi mo đau, Ket lu¾n Tài li¾u tham khao, bo cuc cna lu¾n văn bao gom chương: Chương 1: Kien thúc chuan b% Trong chương chúng tơi trình bày tóm tat khái ni¾m nêu ví du ve thang thịi gian, ∆-đao hàm, hàm mũ thang thịi gian, khái ni¾m h¾ chuyen mach thang thịi gian, khái ni¾m tính őn đ%nh Chng 2: Tớnh n %nh cna mđt lúp cỏc hắ chuyen mach tuyen tính thang thịi gian e chúng tơi trình bày ba đ%nh lý nêu đieu ki¾n őn đ %nh mũ cna h¾ chuyen mach thang thòi gian Pak,bk ba trưòng hop khác Bao gom trưịng hop h¾ őn đ%nh mũ trưịng hop h¾ rịi rac khơng őn đ%nh ho¾c h¾ liên tuc khơng őn đ%nh M¾c dù het súc co gang van đe nghiên cúu phúc tap kinh nghi¾m nghiên cúu cịn han che nên lu¾n văn có the van cịn nhieu khiem khuyet Trong q trình ĐQc d%ch tài li¾u, viet lu¾n văn xu lý văn ban chac chan khơng tránh khoi nhung sai sót nhat đ%nh Tác gia rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna q thay ban đe lu¾n văn oc hon thiắn hn H Nđi, ngy 15 thỏng 11 năm 2017 HQc viên Phùng Hai Minh Chương Kien thÉc chuan b% Trong Chương chúng tơi trình bày mđt so kien thỳc s so liờn quan hắ chuyen mach bao gom khái ni¾m thang thịi gian, ∆-đao hàm, ∆-tích phân, khái ni¾m tính őn đ%nh dna vào tài li¾u [2, 9] Sau đó, dna vào tài li¾u [8], chỳng tụi trỡnh by lai khỏi niắm hắ đng lnc liờn tuc, hắ đng lnc rũi rac e dan tói khái ni¾m h¾ chuyen mach đ%nh nghĩa mo r®ng tính chat liên quan 1.1 Thang thài gian, tính kha vi, tính kha tích Đ%nh nghĩa 1.1.1 ([2]) Mđt thang thi gian T l mđt đóng khác rong tùy ý cna R Do đó, t¾p so thnc R, t¾p so nguyên Z, t¾p so tn nhiên N, t¾p so tn nhiên khơng âm N0 ví du ve thang thịi gian Trong t¾p so huu ti Q, t¾p so vơ ti R\Q, t¾p so phúc C, khoang mo (0, 1) không phai thang thòi gian Đ%nh nghĩa 1.1.2 ([2]) Cho T m®t thang thịi gian, vói moi t ∈ T, ta đ%nh nghĩa toán tu nhay tien (forward jump) toán tu nhay lùi (backward jump) sau: Toán tu nhay tien σ(t) : T → T đưoc đ%nh nghĩa boi σ(t) := inf{s ∈ T : s > t} Toán tù nhay lùi ρ(t) : T → T đưoc đ%nh nghĩa boi ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} Ta quy ưóc: neu t = max T σ(t) = t, neu t = T ρ(t) = t Đ%nh nghĩa 1.1.3 ([2]) Ánh xa µ : T → R+ xác đ%nh boi µ(t) = σ(t) − t, t ∈ T đưoc gQI hàm hat cna thang thòi gian T Đ%nh nghĩa 1.1.4 ([2]) Điem t ∈ T GQI điem: l¾p phai (right-scattered) neu σ(t) > t; trù m¾t phai (right-dense) neu t < sup T σ(t) = t; l¾p trái (left-scattered) neu ρ(t) < t; trù m¾t trái (left-dense) neu t > inf T ρ(t) = t; điem vùa l¾p phai vùa l¾p trái đưoc GQI điem l¾p; điem vùa trù m¾t phai vùa trù m¾t trái đưoc GQI điem trù m¾t Neu thang thịi gian T có phan tu lón nhat m điem l¾p trái ta đ¾t Tk = T\{m}, neu ngưoc lai đ¾t Tk = T Chang han, [a, b]k = [a, b] neu b trù m¾t trái [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] neu b l¾p trái Ví dn 1.1.5 Ta xét hai trưòng hop T = R T = Z (i) Neu T = R ta có vói bat kỳ t ∈ R σ(t) = inf{s ∈ R : s > t} = inf{t, ∞} = t tương tn ρ(t) = t Cho nên MQI điem t ∈ R l iem trự mắt Hm hat tro thnh µ(t) ≡ vói MQI t ∈ R (ii) Neu T = Z ta có vói bat kỳ t ∈ Z σ(t) = inf{s ∈ Z : s > t} = inf{t + 1, t + 2, t + 3, } = t + tương tn ρ(t) = t − Cho nên MQI điem t Z l iem cụ lắp Hm hat trưịng hop µ(t) ≡ vói MQI t ∈ Z = e2 32 = e3 V¾y đieu ki¾n (iii) cna Đ%nh lý 2.3.2 đưoc thoa mãn Su dung Đ%nh lý 2.3.2, h¾ Q chuyen mach (2.25) őn đ%nh mũ Đe chúng minh tính hi¾u qua cna Đ%nh lý 2.3.2, ta có the tìm nghi¾m giai tích cna (2.25) sau x(t) = C1 e −2(t− Σ i=1 µ(ti)) k k Y i=1 + C2 e −3(t− Σ i=1 µ(ti)) k vói V1 = Σ −1 x0 (1 + 3µ(ti)) V1 k Y (1 + 4µ(ti)) V2 i=1 Σ C2 hang so biet trưóc phu thu®c vào , V2 = , C1 −1 Nghi¾m b% ch¾n boi ǁx(t)ǁ ≤ | C1|e (t− Σi=1 k Σ µ(t )) Σ−i µmax) 2+minlog(1+3 j (tj −σ(tj −1)) ǁV1ǁ Σ−i Σ i=1 + |C2|e (t−Σ µ(t )) k = |C1 | e µ(ti ))[−2+ Σk (t− µmax) 3+minlog(1+4 j (tj −σ(tj −1)) log(1+3(1)) ǁV2ǁ ] ǁV ǁ i=1 + |C2 | Σk i=1 µ(ti ))[−3+ log(1+4(1)) ] ǁV2 ǁ (t− e √ √ | −9+2 log(5) µ(ti ))[ −6+23 log(4) ] i=1 i=1 µ(ti ))[ ] + 2| 2| = |C1 Σk Σk e(t− e(t− C ≤ Ce Σ (t− k i=1 µ(ti ))[ −6+2 log(4) ] Quy đao h®i tu ve khơng, minh HQA Hình 2.3 trang thái ban đau x0 = [2 5]T Nh¾n xét 2.3.7 ([9]) Neu h¾ chuyen mach tuyen tính đưoc đ%nh nghĩa thang thịi gian Pa,b (Ví du 1.1.6) tao boi hop khoang rịi vói đ® dài a co đ%nh khoang cách b co đ%nh, ta có µmax = max{0, b} = b, ti − σ(ti−1) = ti − (ti−1 + b) = i(a + b) + a − [(i − 1)(a + b) + a] − b = a Hình 2.3: Quy đao h®i tu cna h¾ chuyen mach (2.25) vói giá tr% ban đau x0 = [2 5]T (ti − σ(ti−1)) = nên 1≤i≤k a = a 1≤i≤k Đe đam bao tính őn đ%nh mũ, đieu ki¾n (2.14) có the đưoc thay the bang bat thúc sau max |1 + bλd j | < ea 1≤i≤ n (−λ c ) j (2.26) 1≤j≤n 2.4 Trưàng hap h¾ Ac khơng on đ%nh h¾ Ad on đ %nh Đ%nh lý 2.4.1 ([9]) Xét h¾ chuyen mach tuyen tính (2.2) gia su rang có đieu ki¾n sau đây: (i) Các giá tr% riêng λj c (tương úng λj ) cua Ac (tương úng ca Ad) so thnc d ∀j = 1, , n Ngoài ra, Ad Hilger őn đ%nh vái thang thài gian Ptσk,tk+1 (túc tat cua λj nam Hmin) h¾ liên tnc (túc Ac) đưac d gia su không őn đ%nh (ii) Ac Ad giao hoán vái nhau, túc AcAd = AdAc, S (iii)hm hat b% chắn, tỳc l < àmin µ(t) ≤ µmax vái MQI t ∈ ∞ k=0 {tk+1 } (tk+1 − tσk ) b% ch¾n (túc thài gian song cua h¾ liên tnc b% ch¾n) vái MQI k ∈ N (iv)các giá tr% riêng cua Ac Ad thóa mãn đieu ki¾n sau vái MQI k ∈ N max j 1≤j≤n,1≤i≤k |1 + µ(ti )λd | < e− max 1≤j≤n (λjc) max1≤i≤k (ti+1 −σ(ti )) (2.27) Dưái đieu ki¾n (i)-(iv) bên trên, h¾ chuyen mach (2.2) őn đ%nh mũ Chúng minh Tương tn chúng minh cna Đ%nh lý 2.3.2, nghi¾m tőng quát cna (2.2) đưoc cho boi (2.15) Suy rang nghi¾m cna (2.2) đưoc đ¾c trưng boi (2.16) Tù đieu ki¾n (i)-(iii), ta thu đưoc c¾n cna nghi¾m (2.16) chúng minh trưóc vói MQI t ∈ Ptσk ,tk+1 sau ǁx(t)ǁ ≤ ecλj (t− i=1 µ(ti ))+k log(max1≤i≤k {|1+µ(ti )λj |}) d j ǁV ǁ (2.28) Σk Vì hàm hat b% ch¾n (tk+1 − σ(tk )) = (tk+1 − tσk ) b% ch¾n vói mQI k ∈ N, ta suy vói t ∈ [tσk , tk+1 ], Σ t k+1≤ − k i=1 µ(ti) (2.29) max1≤i≤k(ti+1 − σ(ti)) Vì Ad őn đ%nh, λdj nam hình trịn Hilger, túc |1 + µ(t)λj d| < 1, ∀t ∈ S∞ k=0 {tk+1 }, ∀1 ≤ j ≤ n Đieu kéo theo c¾n cna (2.28) tro thành µ(t i) λc(t Σ i=1 µ(ti ))+ ∫ max 1≤i≤ki=1 (ti+1 − σ(ti )) j − k ǁx(t)ǁ ≤ e =e ∫ Σk j (t− i=1 µ(ti )) − 1, (log(max | ))| i )λd j 1≤i≤k 1+µ(t ǁVj ǁ Σk t− λc + j log(max1≤i≤k |1+µ(ti )λ |) d max 1≤i≤ (ti+1 −σ(t )) i k , j −log(max1≤i≤k |1+µ(ti )λd |) ǁVjǁ (2.30) Su dung đieu ki¾n (iv), ta thu đưoc log( max 1≤j≤n,1≤i≤ k |1 + µ(ti)λj|) + max (λ )[ max(ti+1 − σ(ti))] < Cho nên, ta rút 1≤j≤n d (2.31) c 1≤i≤k j max (λ ) + 1≤j≤n c log(max1≤j≤n,1≤i≤k |1 + µ(ti)λj |) max1≤i≤k(ti+1 − σ(ti)) < (2.32) Đieu có nghĩa vói MQI k ∈ N log(max1≤j≤n,1≤i≤k |1 + µ(ti)λj |) λjc + < 0, ∀1 ≤ j ≤ n max1≤i≤k(ti+1 − σ(ti)) (2.33) Tù phương trình (2.30)-(2.32) bat thúc (2.33), nghi¾m tőng quát cna (2.2) đưoc cho boi (2.15) h®i tu cap so mũ ve Nh¾n xét 2.4.2 ([9]) Ta có the làm nhe đieu ki¾n (iv) Th¾t ra, neu giá tr % riêng cna ma tr¾n Ac Ad khơng so thnc, ta có the thay đieu ki¾n (iv) bang max j 1≤j≤n,1≤i≤k |1 + µ(ti )λd | < e− max 1≤j≤n (− Re(λjc)) max1≤i≤k (ti+1 −σ(ti )) (2.34) Re(λj) phan thnc cna λj |1 + µ(ti)λ |j môđun cna so phúc c c d j (1 + µ(ti)λd ) Ví dn 2.4.3 Ta xét ví du sau su dung thang thòi gian T = P{tσk ,tk+1} = Σ S∞ Σ 3k 5k + , 5(k + 1) k=0 2k+4 −1 ∆ − 1 72 x = ∞k= t∈ x, S 2k+43k 5k + Σ Σ , 5(k + 1) (2.35) x, t ∈ {5(k + 1)} S∞ k=0 −2 −1 H¾ (2.35) có the đưoc viet lai theo (2.2) vói tk = 5k, σ(tk) = tσk 3k = 5k 2k+4 , + 3k ≤ µ(tk) = σ(tk) − tk = , k = 1, , Do ú, hắ đng lnc 2k+4 (2.35) chuyen đői giua h¾ tuyen tính liên tuc őn đ%nh vói Σ Ac = − 36 −1 72 vói h¾ tuyen tính rịi rac khơng őn đ%nh Σ −26 Ad = − 41 m®t khoang thịi gian nhat đ%nh 12 (i) Các giá tr% riêng cna Ac λ1 = > λ2 = c 18 không őn đ%nh Các giá tr% riêng cna Ad λ1 = −1 c 36 > nên h¾ liên tuc , λ2 = −1 Tù µmax = , kéo d theo d 2 H {z ∈ C : z +µ < µ } = {z ∈ C.: z + < 3} max max V¾y λd , λd ∈ Hmin Ad Hilger őn đ%nh Đieu ki¾n (i) cna Đ%nh lý 2.4.1 đưoc = thoa mãn (ii) Ta có the de dàng kiem tra rang AcAd = AdAc V¾y đieu ki¾n (ii) cna Đ %nh lý 2.4.1 đưoc thoa mãn {tk+ }, ta có (iii) Vói MQI t ∈ S∞ 1 ≤ µ(t) ≤ , nên hàm hat b% ch¾n M¾t k=0 khác, thịi gian song cna h¾ liên tuc b% ch¾n 3.5 ≤ tk+1 − σ(tk) = − 3k 2k + ≤ 5, ∀k ∈ N V¾y đieu ki¾n (iii) cna Đ%nh lý 2.4.1 đưoc thoa mãn (iv) Ngồi ra, j |1 + µ(t )λ | = 0.75 < e− max 1≤i≤2 (λi ) max1≤i≤k (ti+1 −σ(ti )) max 1≤j≤2,1≤i≤k i c d = e− 18 ×4.5 = e− = 0.7788 Do đieu ki¾n (iv) cna Đ%nh lý 2.4.1 đưoc thoa mãn Su dung Đ%nh lý 2.4.1, Q h¾ chuyen mach (2.25) őn đ%nh mũ Đe chúng minh tính hi¾u qua cna Đ%nh lý 2.4.1, ta có the tìm nghi¾m giai tích cna (2.35) sau x(t) = C e (t− Σk i=1 18 Σ − 1µ(t ) V µ(ti)) k Y i=1 Σk (t− i=1 µ(ti)) + C2e vói V1 x0 = Σ, V k Y i (1 − µ(t )) i V = Σ, C C 22 1 hang so biet trưóc phu thu®c vào Hình 2.4: Quy đao h®i tu cna h¾ chuyen mach (2.35) vói giá tr% ban đau x0 = [5 1]T Nghi¾m b% ch¾n boi Σ Σ 1− ( ) log Σ 1− ( ) log (t − ǁx(t)ǁ ≤ | C1|e k i=1 µ(ti)) Σ + log + + |C2|e (t − k i=1 µ(ti)) − 52 Σ 1− log ǁV1ǁ 52 Σ 1− − 5 ǁV2ǁ µ(t ))(−0.002)−0.0575 √ | (t−Σk i=1 = 17|C1 e √ | Σk µ(t ))(−0.1109)−0.1386 + 37|C2 e(t− i=1 Quy đao h®i tu ve khơng minh HQA Hình 2.4 trang thái ban i i đau x0 = [5 1]T Nh¾n xét 2.4.4 ([9]) Neu h¾ chuyen mach tuyen tính đưoc đ%nh nghĩa thang thịi gian Pa,b (Ví du 1.1.6) tao boi hop khoang rịi vói đ® dài a co đ%nh khoang cách b co đ%nh, ta có 0 neu t ∈ b neu t ∈ µ(t) = S∞ S∞ k=0 [k(a + b), k(a + b) + a) k=0 {k(a + b) + a} ti+1 − σ(ti) = ti − (ti + b) = (i + 1)(a + b) + a − i(a + b) − a − b=a nên max(ti+1 − σ(ti)) = max a = a 1≤i≤k 1≤i≤k Đe đam bao tính őn đ%nh mũ, đieu ki¾n (2.27) có the đưoc thay the bang bat thúc sau max |1 + bλd j | < e−a max 1≤i≤ n (λc ) j (2.36) 1≤j≤n Nh¾n xét 2.4.5 ([9]) Trưịng hop ca hai h¾ đeu khơng őn đ%nh khơng the khao sát đưoc bang mơ hình o Th¾t ra, khơng có đieu ki¾n có the thu đưoc tù vi¾c su dung giá tr% riêng cna Ac Ad bang mơ hình bên Ket lu¾n Trong lu¾n văn chúng tơi trình bày: Kien thúc chuan b% ve thang thịi gian, tính kha vi, tính kha tích thang thịi gian, hàm mũ thang thịi gian, khái ni¾m tính őn đ%nh cna h¾ vi phân tuyen tính thang thịi gian, khái ni¾m h¾ chuyen mach, tính őn đ%nh cna h¾ chuyen mach h¾ chuyen mach tùy ý Các ví du phan kien thúc chuan b% ve thang thòi gian, tính kha vi, tính kha tích Chương đưoc chúng tơi tính tốn cu the, chi tiet Chúng tơi xét tính őn đ%nh cna lóp h¾ chuyen mach vói h¾ chuyen mach tùy ý thang thịi gian Ptσ ,tk+1 k Có ba trưịng hop đưoc khao sát trưịng hop moi h¾ riêng bi¾t őn đ%nh, trưịng hop h¾ tuyen tính liên tuc őn đ%nh h¾ tuyen tính rịi rac khơng őn đ%nh trưịng hop cuoi h¾ tuyen tính liên tuc khơng őn đ%nh h¾ tuyen tính rịi rac őn đ%nh Ba ví du minh HQA cho ba trưịng hop đưoc chúng tơi tính tốn chi tiet, cu the, áp dung đ%nh lý đe kiem tra tính őn đ%nh Tìm m®t phan ví du cho Đ%nh lý 2.2.1 Khi bo đieu ki¾n giao hốn Đ %nh lý 2.2.1 khơng đam bao đieu ki¾n őn đ%nh cna h¾ Tài li¾u tham khao [1] J.M Davis, I.A Gravagne and A.A Ramos (2010), Stability of Switched Linear Systems on non-uniform time domains, in: IEEE Southeastern Symposium on Systems Theory, Texas [2] M Bohner and A Peterson (2001), Dynamic Equation on Time Scales, An Introduction with Applications, Birkhauser, Boston [3] T.S Doan, A Kalauch and S Siegmund (2009), “Exponential Stability of Linear Time-Invariant Systems on Time Scales”, Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 9(1), pp 37–50 [4] G Eisenbarth, J Davis and I Gravagne (2014), “Stability of simultaneously triangularizable switched systems on hybrid domains”, Electron J Differential Equations, 63, pp 1-19 [5] L Gauthier (1956), “Commutation des matrices et congruences d’ordre un”, Bull Soc Math., France 84, pp 283-294 [6] I.A Gravagne, E Johns and J.M Davis (2011), Switched linear systems on time scales with relaxed commutativity constraints, in: IEEE Southeastern Symposium on Systems Theory, Auburn University [7] F.Z Taousser and M Djemai (2013), Stability of switched linear systems on time scale, in: 3rd International Conference on Systems and Control, Algeria [8] Z Sun and S S Ge (2011), Stability Theory of Switched Dynamical Systems, Springer [9] F Z Taousser, M Defoort and M Djemai (2014), “Stability analysis of a class of switched linear systems on non-uniform time domains”, Systems & Control Letters, 74, pp 24-31 k ...Phùng Hai Minh TÍNH ON бNH CUA M®T LéP CÁC Hfi CHUYEN MACH TUYEN TÍNH TRÊN THANG THèI GIAN Chuyên ngành: Tốn Éng dnng Mã so: 60460112 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA... chuan b% 1.1 Thang thịi gian, tính kha vi, tính kha tích 1.2 Hàm mũ thang thòi gian 12 1.3 Khái ni¾m tính őn đ%nh .15 1.4 H¾ chuyen mach 19 1.5 Tính őn đ%nh... có nhieu thang thịi gian thú v% khác vói Σ bưóc thịi gian khơng đeu (ví n du thang T = {tn}n∈N gom so đieu hịa tn = ) Tính őn đ%nh mũ k=1 k đưoc tìm cho h¾ tuyen tính su dung thang thịi gian hàm
Ngày đăng: 24/12/2021, 21:10
Xem thêm:
